人教A版高中數(shù)學必修四平面向量的實際背景及基本概念教案

1、課題：2.1平面向量的實際背景及基本概念教學目的：1了解平面向量的實際背景；2掌握向量的幾何表示；3理解向量的有關(guān)概念；4逐步培養(yǎng)學生觀察、分析、綜合和類比能力和“知識重組”意識和“數(shù)形結(jié)合”能力。教學重點：向量的概念、相等向量的概念、向量的幾何表示。教學難點：向量的概念和共線向量的概念。授課類型：新授課授課方式：講授式、探究式教具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：向量這一概念是由物理學和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直

2、線和平面的各種有關(guān)問題。向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運算在向量范圍內(nèi)不都適用。因此，本章在介紹向量概念時，重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運算法則，包括加法、減法、實數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運算法則等。之后，又將向量與坐標聯(lián)系起來，把關(guān)于向量的代數(shù)運算與數(shù)量(向量的坐標)的代數(shù)運算聯(lián)系起來，這就為研究和解決有關(guān)幾何問題又提供了兩種方法向量法和坐標法。本章共分五大節(jié)。第一節(jié)是“平面向量的實際背景及基本概念”，內(nèi)容包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。本節(jié)從物理學中的位移、力這些既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并重

3、點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示”中，主要介紹有向線段、有向線段的三個要素、向量的表示、向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量；在“相等向量與共線向量”中，主要介紹相等向量，共線向量定義等。教學過程：一、引入同學們都知道，數(shù)學是一門基礎學科，是解決其它一些學科問題的有力工具。其實數(shù)學的很多理論是由其它學科的一些知識抽象而來的。成為理論后又反過來對其它學科起作用。比如同學們學習的物理，它與數(shù)學就有非常密切的關(guān)系。二、新

4、授課（一）向量的物理背景與概念（提問）請同學們回憶在物理中所學習過哪些既有大小又有方向的量？在現(xiàn)實生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個實數(shù)就可以表示出來，如長度、質(zhì)量等。還有一些量，如我們在物理中所學習的位移、力是一個既有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向下的（圖2.1-1），物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖2.1-2），物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大；被拉長的彈簧的彈力是向左的（圖2.1-3），被壓縮的彈簧的彈力是向右的（圖2.1-4），并且在彈性限度內(nèi)，彈簧拉長或壓縮的長度越大，彈力越大。我們可以對位移、力這

5、些既有大小又有方向的量進行抽象，形成一種新的量。這種量就是我們本章所要研究的向量。向量是數(shù)學中的重要概念之一，向量和數(shù)一樣也能進行運算，而且用向量的有關(guān)知識還能有效地解決數(shù)學、物理等學科中的很多問題，在這一章，我們將學習向量的概念、運算及其簡單應用。這一節(jié)課，我們將學習向量的有關(guān)概念。向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（物理學中常稱為矢量）（而把那些只有大小，沒有方向的量如：年齡、身高長度、面積、體積、質(zhì)量等，稱為數(shù)量。物理學中常稱為標量）注意：1數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。（二）向量的幾何表示（引

6、入：由于實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，所以數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個點表示，而且不同的點表示不同的數(shù)量。）對于向量，我們常用帶箭頭的線段有向線段來表示，線段按一定比例（標度）畫出，它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。有向線段：帶有方向的線段叫有向線段。（如圖）我們在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向。以a為起點、b終點b為終點的有向線段記作ab，起點寫在終點的前面。a起點已知ab，線段ab的長度也叫做有向線段ab的長度，記作ab.有向線段的三要素：起點、方向、長度。（知道了有向線段的起點、方向和長度，它的終點就唯一確定。）向量的表示方法：幾何表示：用有向線段表示；字母表示：用表示向量的

7、有向線段的起點與終點字母表示如：ab,cd；用字母a、b、c等表示。問題1：“向量就是有向線段，有向線段就是向量?！钡恼f法對嗎？（提問）（向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段）向量的長度（或稱模）：向量ab的大小，也就是向量ab的長度（或稱模）：記作ab。零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作0。注意0與0的區(qū)別（及書寫方法）。長度等于1個單位的向量，叫單位向量。說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向。例1如圖2.1-6

8、，試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示a地至b、c兩地的位移，并求出a地至b、c兩地的實際距離（精確到1km）解：ab表示a地至b地的位移，且ab240km.ac表示a地至c地的位移，且ac300km.（三）平行向量、共線向量與相等向量平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行。說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；ab（2）向量a,b,c平行，記作a/b/c。c共線向量定義：平行向量也叫做共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別

9、于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量。說明：（1）向量a與b相等，記作a=b；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)。在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定。問題2：兩個向量是否可以比較大小？（向量不能比較大小，我們知道，長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相等關(guān)系，沒有大小之分，“對于向量a、b，ab或ab”這種說法是錯誤的。）例2判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.向量ab與cd是共線向量，則a

10、、b、c、d若abdc，則四邊形abcd是平行四邊形；若一個向量的模為0共線的向量，若起點不同，則終點一定不同。解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量ab、ac在同一直線上。不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定。不正確.正確.不正確.如圖ac與bc共線，雖起點不同，但其終點卻相同.abc評述：本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好。三、練習：1下列各量中不是向量的是（）a.浮力b.風速c.位移d.密度2.下列說法中錯誤的是（）a.零向量是沒有方向的b.零向量的長度為0c.零向量與任一向量平行d.零向量的方向是任意的3把平面上一切單位向量的始點放在同一點,那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是（）a.一條線段b.一段圓弧c.圓上一群孤立點d.一個單位圓4已知非零向量a/b,若非零向量c/a，則c與b必定.5已知a、b是兩非零向量,且a與b不共線,若非零向量c與a共線,則c