人教版高中數(shù)學【選修1-2】[知識點整理及重點題型梳理]_《《推理與證明》全章復習與鞏固(文)

1、精品文檔用心整理人教版高中數(shù)學選修1-2知識點梳理重點題型（常考知識點）鞏固練習推理與證明全章復習與鞏固【學習目標】1.了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進行簡單的推理；掌握演繹推理的基本模式；體會它們的重要性，并能運用它們進行一些簡單的推理；2.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異；3.了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點；4.了解間接證明的一種基本方法：反證法；了解反證法的思考過程、特點.【知識網絡】【要點梳理】要點一：有關推理概念歸納推理：又稱歸納法，是從特殊到一般、部分到整體的推理根據歸納對象是否完備，分為完全歸納法和不完全歸納法

2、完全歸納法是根據某類事物中的每一個對象或每一個子類的情況作出的關于該類事物的一般性結論的推理；不完全歸納法是根據某類事物中的一部分對象具有某種特征而作出該類事物都具有這一特征的一般性結論的推理由于僅列舉了歸納對象中的一小部分，因此得出的結論與前提未必有必然的聯(lián)系，故其結論未必正確，必須經過理論的證明和實踐的檢驗類比推理：又稱類比法，是由特殊到特殊的推理這是由兩系統(tǒng)的已知屬性，通過比較、聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)未知屬性的資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理“開拓型”“發(fā)散型”思維方式和歸納推理一樣，能由已知推測未知，推理的結論也不一定為真，有待進一步證明，通常情況下，類比的相似性越多，類比得出的結論

3、就越可靠演繹推理：又稱演繹法是從一般到特殊的推理，是數(shù)學證明中的基本推理形式演繹推理的結論完全蘊涵于前提之中它是“封閉型”的思維方法，只要前提真實，邏輯形式正確，則結論必然真實，但由它一般不能取得突破性進展故合情推理與演繹推理各有側重，相輔相成合情推理有助于發(fā)現(xiàn)新事物、新結論、新規(guī)律，演繹推理保證結論的可靠性，去偽存真要點詮釋：演繹推理更注重推理的形式規(guī)則，常見的有假言推理、關系推理、三段論推理三段論推理：其一般形式為：大前提：所有m都是p；小前提：s是m；結論：s是p要點二：有關證明方法綜合法綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立的

4、證明方法，是數(shù)學推理證明中的主要方法即從已知條件出發(fā)，經過逐步的邏輯推理，最后達到待征結論或需求問題如果要證明的命題是pq，那么證明步驟用符號表示為p(已知)pppq123分析法分析法就是從待征結論出發(fā)，一步一步探索下去，尋求結論成立的充分條件，最后達到題設的已知條件或已被證明的事實用分析法證明的邏輯關系：q(結論)ppppp(已知)n321要點詮釋：綜合法和分析法是兩種思路截然相反的證明方法，應用綜合法證明問題時，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難在實際證明問題時，應當把分析法和綜合法綜合起來使用，轉換解題思路，增加解題途徑間接證法間接證法不是從正面確定論題的真實性

5、，而是證明它的反論題為假或改證它的等價命題為真，間接達到目的反證法就是間接證法的一種反證法證題步驟為：(1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立(2)從這個假設出發(fā)，經過推理論證得出矛盾資料來源于網絡僅供免費交流使用【變式】在平面幾何中，abc的內角平分線ce分ab所成線段的比為ae精品文檔用心整理(3)由矛盾判斷假設不成立從而肯定命題的結論成立反證法導出矛盾常見的有以下幾種情況：導出非p為真，即與原命題的條件矛盾導出q為真，即與假設“非q為真”矛盾導出一個與定義、公理、定理等矛盾的命題要點詮釋：反證法的理論基礎是互為逆否命題的等價性，從邏輯角度看，命題“若p則q”的否定是“若p則q”，

6、由此進行推理，如果發(fā)生矛盾，那么就說明“若p則q”為假，從而可以導出“若p則q”為真，從而達到證明的目的，反證法是高中數(shù)學的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經常用到，在高考題中也經常出現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要反證法主要證明：否定性，唯一性命題；至多，至少型問題；幾何問題【典型例題】類型一：合情推理與演繹推理例1.平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：充要條件_；充要條件_(寫出你認為正確的兩個充要條件)【思路點撥】由平面幾何圖形的性質類比立體幾何圖形的性質時要做到

7、點類比線、線類比面、面類比體【解析】兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且全等；對角線交于一點，底面是平行四邊形(填任意兩個即可)【總結升華】本題考查類比推理，其關鍵是掌握由平面幾何圖形的性質類比立體幾何圖形的性質時，元素間的對應關系舉一反三：ac=，把這個結論類比ebcb到空間：在三棱錐abcd中(如圖所示)，面dec平分二面角acdb且與ab相交于e，則得到的類比的結論是_資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理=【答案】aesdacd.ebsdbcd【變式2】觀察圖中各正方形圖案，每條邊上有n2個圓點，第n個圖案中圓點的總數(shù)是sn按此規(guī)律推斷出s與n的關系式為_n【答案】s=(n

8、-1)4n【解析】依圖構造規(guī)律可以看出：s=24-4，即四角四頂點重復計數(shù)一次2s334-4(3-1)4；s444-4(4-1)4，猜想：sn=(n-1)4(n2，且nn+)例2.已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a0且a1)，若a(x1，y1)、b(x2，y2)(x1x2)是f(x)圖象上兩點，證明直線ab的斜率大于零【解析】當a1時，y=ax是增函數(shù)，設0x1x2，則1ax1ax2，于是0ax1-1ax2-1，故log(ax1-1)log(ax2-1)，即yax21，于是ax1-1ax2-10，故loga(ax1-1)0x-x12【總結升華】依題設函數(shù)特征，要直接由斜率公式求解不易證

9、出，但題設所給函數(shù)的單調性比較明確，資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理可利用遞增函數(shù)斜率一定大于零的性質求解舉一反三：【變式】紙制的正方體的六個面根據其方位分別標記為上、下、東、南、西、北現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“”的面的方位是()a南b北c西d下【答案】b【解析】將所給圖形還原為正方體，如圖所示，最上面為，最左面為東，最里面為上，將正方體旋轉后讓東面指向東，讓“上”面向上可知“”的方位為北類型二：直接證明與間接證明例3.設a0，b0，a+b1，求證：【解析】證法一(綜合法)：a0，b0，a+b1，111+8abab1=a+b2

10、ab，ab11，ab，241ab4又1+=(a+b)+=2+4，111baababab+1118abab證法二(分析法)：a0，b0，要證111+8，abab資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理只需證1+18，即證+8，1a+babab1111abba即證11a+ba+b+4，即證+abab4，ba即證+2abba由基本不等式可知，當a0，b0時，+2成立，所以原不等式成立ab【總結升華】本題既可用綜合法，也可用分析法來解，解題時應靈活運用舉一反三：【變式】求證：以過拋物線y2=2px(p0)焦點的弦為直徑的圓必與直線x=-p2相切【答案】如圖所示，過a，b分別作aa，bb垂直準線于

11、點a，b，取ab的中點m，作mm垂直準線于點m要證明以ab為直徑的圓與準線相切，只需證|mm|=12|ab|由拋物線的定義有|aa|=|af|，|bb|=|bf|，所以|ab|=|aa|+|bb|，因此只需證|mm|=12(|aa|+|bb|)根據梯形的中位線原理可知上式是成立的，所以以過拋物p線y2=2px焦點的弦為直徑的圓必與直線x=-相切2例4.設函數(shù)f(x)對定義域內任意實數(shù)都有f(x)0，且f(x+y)=f(x)f(y)成立求證：對定義域內任意x，都有f(x)0【思路點撥】直接證明有些困難，考慮用反證法.【解析】假設滿足題設條件的任意x，f(x)0不成立，即存在某個x，有f(x)00

12、00f(x)，資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理又知f(x)=f0+0=f0222f0=f200f(x)00xxx0xx22這與假設f(x)0【總結升華】此題證明過程中，“對任意x，都有f(x)0”的否命題是：“存在x0，使f(x0)0”，而不是“對所有的x，都有f(x)0”，因此在應用反證法時正確寫出結論的否定形式是很重要的舉一反三：【變式1】用反證法證明命題“23是無理數(shù)”時，假設正確的是()a假設2是有理數(shù)b假設3是有理數(shù)c假設2或3是有理數(shù)d假設23是有理數(shù)【答案】d【變式2】已知a、br，|a|+|b|1，求證：方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小于1【答案】假設x是x2+ax+b=0的根，且|x|1，11由x2+ax+b=0得-11ab-xx211=1，所以ax1+bx21=1，21，所以|a|+|b|abab+xx2xx1111這與|a|+|b|1矛盾，故兩根絕對值都小于1【變式3】已知函數(shù)f(x)=1x，問：是否存在這樣的正數(shù)a，使得對定義