血樣的分組檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型

1、血樣分組檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型摘 要本文為了解決減少血樣檢驗(yàn)次數(shù)這個實(shí)際問題,通過把人群分為若干組,每組若干人,易得到混合血樣檢驗(yàn)次數(shù)、陽性組的概率,進(jìn)而引入陽性組數(shù)的平均值,從而得到平均總檢驗(yàn)次數(shù),最后通過一個人的平均檢驗(yàn)次數(shù)的一元函數(shù),把問題歸結(jié)為一個關(guān)于每組人數(shù)k的一元函數(shù)E(k) ,求解得;通過計(jì)算,得當(dāng)p0.307時不應(yīng)分組;將第1次檢驗(yàn)的每個陽性組再次分m組,通過建立一個關(guān)于k,m的二元函數(shù)E(k,m),通過求導(dǎo)得穩(wěn)定點(diǎn)函數(shù),解方程組得:.關(guān)鍵詞：先驗(yàn)概率； 平均總檢驗(yàn)次數(shù)； 血樣的陰陽性； 組的基數(shù)1問題的提出在人群（數(shù)量很大）中進(jìn)行血樣檢驗(yàn)，設(shè)已知先驗(yàn)陽性率為 p, 為減少檢驗(yàn)次數(shù)將人

2、群分組。 若 k人一組，當(dāng) k份血樣混在一起時，只要一份呈陽性，這組血樣就呈陽性，則該組需人人檢驗(yàn)；若一組血樣呈陰性，則該組不需檢驗(yàn)。1) 當(dāng) p固定時(0.1%, 1%, )，k多大可使檢驗(yàn)次數(shù)最小2) p多大就不應(yīng)再分組3) 討論兩次分組的情況，即陽性組再分組檢驗(yàn)。4) 討論其它分組方案，如半分法、三分法。1 模型假設(shè)與符號約定2.1 血樣檢查到為陽性的則患有某種疾病,血樣呈陰性時的情況為正常2.2 血樣檢驗(yàn)時僅會出現(xiàn)陰性、陽性兩種情況,除此之外無其它情況出現(xiàn),檢驗(yàn)血樣的藥劑靈敏度很高，不會因?yàn)檠獦咏M數(shù)的增大而受影響.2.3 陽性血樣與陽性血樣混合也為陽性2.4 陽性血樣與陰性血樣混合也為

3、陽性2.5 陰性血樣與陰性血樣混合為陰性n 人群總數(shù)p 先驗(yàn)概率血樣陰性的概率q=1-p血樣檢驗(yàn)為陽性（患有某種疾病）的人數(shù)為:z=np發(fā)生概率:檢查次數(shù):平均總檢驗(yàn)次數(shù):2 問題的分析根據(jù)題意,由已知的先驗(yàn)概率是一個很小的數(shù)值,我們大可不必要一個一個地檢驗(yàn),為減少檢驗(yàn)次數(shù),我們通過一次分組,從而可使檢驗(yàn)次數(shù)大大減少;然而通過再一次分組,可使結(jié)果進(jìn)一步優(yōu)化,從而達(dá)到一個更佳的結(jié)果.3 模型建立與求解設(shè)總?cè)藬?shù)為n,已知每人血樣陽性的先驗(yàn)概率為p,記血樣陰性的概率q=1-p4.模型4.1 模型一設(shè)分x組,每組k人（n很大,x能整除n,k=n/x）,混合血樣檢驗(yàn)x次.陽性組的概率為,分組時是隨機(jī)的,

4、而且每個組的血樣為陽性的機(jī)率是均等的,陽性組數(shù)的平均值為,這些組的成員需逐一檢驗(yàn),平均次數(shù)為,所以平均檢驗(yàn)次數(shù),一個人的平均檢驗(yàn)次數(shù)為N/n,記作: (1)問題是給定p求k使E(k)最小.p很小時利用可得 (2)顯然時E(k)最小.因?yàn)镵需為整數(shù),所以應(yīng)取和,比較E（K）,得到K的最優(yōu)值,見表1.P0.01%0.1%1%2%5%K100321085E(k)0.0200.0630.1960.2740.426表1 一次分組檢驗(yàn)結(jié)果圖一當(dāng)p=0.01%時,可用Maple模擬出的圖像如圖一,曲線是關(guān)于k的圖像.圖二同上法,當(dāng)p=0.1%時,可用Maple模擬出的圖像如圖二,曲線是關(guān)于k的圖像.其它情況

5、我們一樣可用其所長Maple模擬出類似的圖像.隨著p的增加k減小,E（k）變大.只要E（k）1時,不應(yīng)分組,即:,用數(shù)學(xué)軟件求解得檢查k=2,3,可知當(dāng)p0.307不應(yīng)分組.4.3 模型三將第1次檢驗(yàn)的每個陽性組再分y小組,每小組m人（y整除k,m=k/y）.因?yàn)榈?次陽性組的平均值為,所以第2次需分小組平均檢驗(yàn)次,而陽性小組的概率為（為計(jì)算簡單起見,將第1次所有陽性組合在一起分小組）,陽性小組總數(shù)的平均值為,這些小組需每人檢驗(yàn),平均檢驗(yàn)次數(shù)為,所以平均總檢驗(yàn)次數(shù),一個人的平均檢驗(yàn)次數(shù)為N/n,記作(注意:n=kx=myx) (3)問題是給定p求k,m使E（k,m）最小.P很小時（3）式可簡化

6、為 (4)對（4）分別對k,m求導(dǎo)并令其等于零,得方程組:舍去負(fù)數(shù)解可得: (5)且要求k,m,k/m均為整數(shù).經(jīng)在（5）的結(jié)果附近計(jì)算,比較E(k,m),得到k,m的最優(yōu)值,見表2.P0.01%0.1%1%2%5%K70012522148M100251174E(k,m)0.00280.01610.08970.1310.305表2 二次分組檢驗(yàn)結(jié)果與表1比較可知,二次分組的效果E(k,m)比一次分組的效果E(k)更好.4.4 模型四（平均概率模型）患病人數(shù):z=np組的基數(shù):每組需要檢驗(yàn)的人數(shù)平均檢驗(yàn)次數(shù):陽性血樣的分組模型:可分為x組,每組k人分組要滿足的條件:其中y為患病人數(shù).4.1分組人

7、數(shù)=患病人數(shù)(即：血樣呈陽性的人數(shù))時,通過這樣的分組模型可以使檢驗(yàn)次數(shù)達(dá)到最優(yōu).4.2當(dāng)zk(k=n/x)時,一組人不能包括所有的病人數(shù),第一次檢驗(yàn)的基數(shù)較大.4.3當(dāng)zk時,檢驗(yàn)多一組時組的基數(shù)會很大,而且每一組的概率相差無幾十年來.具體例子見附錄二5 模型推廣本數(shù)學(xué)模型也可適用于某人民醫(yī)院要對某地區(qū)的居民是否患有某種?。ㄈ缫腋危┑臋z驗(yàn),并對該地區(qū)的病情作一定的預(yù)測,從而達(dá)到預(yù)防和及早治療的效果.乙肝的血樣檢驗(yàn)只有陰性、陽性兩種情況,我們可用本數(shù)學(xué)模型切實(shí)地解決這個問題.6 模型評價(jià)由于血樣的先檢概率通常很小,為減少檢驗(yàn)次數(shù),我們通過先對檢驗(yàn)的人群進(jìn)行分組,引入陽性組的概率,通過陽性組數(shù)的

8、平均值作為橋梁,由于陽性組的人需要全部重新檢驗(yàn),最后可得平均總檢驗(yàn)次數(shù),進(jìn)而得到一個人的平均檢驗(yàn)次數(shù)的一元函數(shù).然而我們通過對陽性組人群進(jìn)行再次分組（即對檢驗(yàn)人群進(jìn)行二次分組）,從而得到一個關(guān)于兩次分組人數(shù)二元函數(shù),進(jìn)而得到更為優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型.最后,我們引入平均概率模型,再把血樣檢驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性細(xì)化,得到當(dāng)血樣檢驗(yàn)為陽性的人數(shù)等于分組后每一組的人數(shù)時,通過這樣的分組模型可以使檢驗(yàn)次數(shù)達(dá)到最優(yōu),但是我們尚未能給出確實(shí)的理論證明.【參考文獻(xiàn)】1 姜啟源,謝金星,葉俊 數(shù)學(xué)模型(第三版) 高等教育出版社2003.22 姜啟源 數(shù)學(xué)模型（第四版） 高等教育出版社19933 王沫然 MATLAB6.0

9、與科學(xué)計(jì)算 電子工業(yè)出版社2001.94 魏宗舒 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 高等教育出版社. 1982.35王庚 實(shí)用計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模M 安徽大學(xué)出版社. 2000附錄【A】假定陽性血樣的人群有6個小組時的Matlab的程序如下:clear;clc;counter=0;z=input(請輸入病人數(shù) )for r1=1:z for r2=r1:z-r1 for r3=r2:z-r1-r2 for r4=r3:z-r1-r2-r3 for r5=r4:z-r1-r2-r3-r4 if r1+r2+r3+r4+r5=z r1,r2,r3,r4,r5 counter=counter+1;#計(jì)數(shù)器 end e

10、nd end end endendcounter#輸出計(jì)數(shù)的結(jié)果輸入z的值為10,輸出計(jì)算結(jié)果:couter=7附錄【B】1. n=1000,p=1%,分100組陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗(yàn)次數(shù)平均檢驗(yàn)次數(shù)1991P1=1/421102.6192985P2=4/4212011.4293978P3=8/4213024.7624969P4=9/42140305957P5=7/42150256945P6=5/4216019.0487933P7=3/4217012.1438922P8=2/421808.5719911P9=1/421904.52410901P10=1/422004.762平均檢驗(yàn)次

11、數(shù):= 142.9個人平均檢驗(yàn)次數(shù)：E=N/1000= 0.14292. n=1000,p=1%,分125組,每組8人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗(yàn)次數(shù)平均檢驗(yàn)次數(shù)1124000021234P1=4/4014114.10031228P2=8/4014929.80041219P3=9/4015735.32551207P4=7/4016528.87561195P5=5/4017321.62571183P6=3/4018113.57581172P7=2/401899.45091161P8=1/401974.925101151P9=1/402055.125平均檢驗(yàn)次數(shù):= 162.8個人平均檢驗(yàn)次數(shù)：E=N/1000= 0.16283. n=1000,p=1%,分50組,每組20人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗(yàn)次數(shù)平均檢驗(yàn)次數(shù)1991P1=1/530700.132129810P2=10/530901.698139733P3=33/5301106.849149664P4=64/53013015.69815958