例說(shuō)平面幾何陰影部分面積的求法

1、例說(shuō)平面圖形陰影部分面積的求法連州市慧光中學(xué) 歐陽(yáng)禮摘 要 本文主要對(duì)平面圖形中求陰影部分面積，作具體的方法介紹。關(guān)鍵詞 作差法 等積法 重疊法 割補(bǔ)法 位移法 特值法 方程法九年制義務(wù)教育課本中“求陰影部分面積”的題目大量出現(xiàn)，并且在中考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，也逐步增多出現(xiàn)。不規(guī)則陰影部分常常由三角形、四邊形、弓形、扇形和圓、圓弧等基本圖形組合而成的。此類(lèi)題目能較好地考查學(xué)生的識(shí)圖能力和數(shù)學(xué)綜合知識(shí)。本文通過(guò)實(shí)例介紹求陰影部分面積的幾種常用方法。（一）和差法。對(duì)于求圖形面積問(wèn)題，計(jì)算時(shí)往往將所求圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積和或差，這是求面積的常用方法【例1】如圖1，正方形的內(nèi)切圓的半徑為r ，這個(gè)

2、正方形將它的外接圓分割出四個(gè)弓形，其中一個(gè)弓形的面積是（ ）。 （a） ； （b） ； （c）（1）r2； （d）(2) r2. 解：一個(gè)弓形的面積等于正方形外接圓面積與正方形面積的差的四分之一，得故選（b）。圖2圖1ro 【例2】如圖2，已知邊長(zhǎng)為a的正方形abcd內(nèi)接于o，分別以正方形的各邊為直徑向正方形外作半圓，求四個(gè)半圓與o的四條弧圍成的四個(gè)新月形的面積。解：四個(gè)新月形的面積s等于正方形面積與四個(gè)半圓面積的和減去o的面積： 【例3】如圖3，b是ac上的一點(diǎn)，分別以ab、bc、ac為直徑作半圓，從b作bdac，與半圓相交于d。求證：圖中陰影部分面積等于以bd為直徑的圓的面積。 證：ac=

3、abbc, 以bd為直徑的圓面積因bdac ，adc=90，故bd2 =abbc . 陰影部分面積等于以bd為直徑的圓的面積。 圖3圖4abcdo（二）等積法。一個(gè)圖形的面積不易求或難以求出時(shí)，常借助于兩個(gè)圖形之間的面積相等來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，改求與其面積相等的圖形面積【例4】如圖4，abcd為o的內(nèi)接梯形，abcd，且cd為直徑，如果o的半徑為r，acb =15，那么圖中陰影部分的面積等于 。解：連結(jié)oa、ob，abcd， oab與cab等積,又aob = 2acb = 30. . 【例5】如圖5，已知半圓的直徑ab = 40cm，點(diǎn)c、d是這個(gè)半圓的三等分點(diǎn)，求弦ac、ad和弧 圍成的圖形的陰影面

4、積.圖6baoc圖5 ac= bdadcdab cdab sacdsocd解：連結(jié)oc、od . 【例6】已知，如圖6，o的半徑為1，c是o上一點(diǎn)，以c為圓心，以1為半徑作弧與o相交于a、b兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是 。解：連結(jié)ab，則s陰影 =2s弓形acb 。 可得oab30，從而aob120， 所以（三）重疊法。把所求陰影部分的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可求面積的規(guī)則圖形的重疊部分的方法。這類(lèi)題陰影一般是由幾個(gè)圖形疊加而成。【例7】如圖7，正方形abcd的邊長(zhǎng)為a，以每邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓，求中間所圍成的陰影部分的面積。圖8abcd圖7 解：陰影部分的面積可看作是四個(gè)同樣的半圓重疊面積減去正方

5、形面積。 說(shuō)明：此題也可用“作差法”來(lái)解：陰影部分面積等于半圓aob的面積減去直角三角形aob的面積所得差的4倍。 【例8】已知，如圖8，菱形abcd的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為a、b，分別以每邊為直徑向形內(nèi)作半圓，求4條半圓弧圍成的花瓣形面積（陰影部分的面積）。解：設(shè)以bc為直徑的半圓面積為s半圓，則 所以 . 【例9】如圖9，正三角形的邊長(zhǎng)為a，以各邊為弦，向形內(nèi)作三條120的弧，求中間陰影部分的面積。解：陰影部分的面積可看作三個(gè)同樣的弓形重疊面積減去三角形面積。（說(shuō)明：一個(gè)弓形的面積是 .）abcdp圖10o圖9（四）割補(bǔ)法。將一個(gè)圖形的一部分割下來(lái)，而移放到其他合適位置上，從而構(gòu)成易求面積的圖

6、形，這種求面積的方法叫做割補(bǔ)法【例10】如圖10，abcd是面積為1的正方形，pbc為正三角形，則pbd的面積為（ ）。（a） ； （b）； （c）； （d）； （e）。解：連結(jié)ac交bd于o，連結(jié)po，則pbd被分為兩部分：pbo與pod，且spbo = spoc = spod . ac ac故應(yīng)選（b）。 【例11】如圖11，o的半徑為r， 是o的圓周長(zhǎng)的1/4 ，在 上取與a、c等距的兩點(diǎn)b、d，且。作beoc于e，dfoc于f，求曲邊梯形befd的面積。 解：由已知條件，易證得odfboe，于是可把梯形gefd割下來(lái)補(bǔ)到ogb上，即梯形gefd的面積等于ogb的面積。 oeabdfgc

7、圖11bac圖12【例12】如圖12，a、b、c兩兩不相交，且半徑都是0.5cm，則圖中的三個(gè)扇形（即三個(gè)陰影部分）的面積之和為（ ）。 解：三圓是等圓，可把三個(gè)扇形割補(bǔ)到同一個(gè)圓中，所得扇形的圓心角是180（即得半圓）。 故選（b）。（五）位移法。把一個(gè)圖形通過(guò)平移變換或旋轉(zhuǎn)變換，使題目中不相關(guān)或關(guān)系不密切的幾何元素相對(duì)集中，以便于研究它們之間的關(guān)系。這種變換是全等變換，圖形的面積沒(méi)有改變，而變換后往往容易找到面積的求法。abcdo圖13【例13】如圖13，兩個(gè)半圓，大半圓的弦cd平行于直徑ab，且與小半圓相切，已知cd = 24，試求大半圓中挖去小半圓后剩下部分的面積。abomcd圖14

8、解：為了計(jì)算方便，可把小半圓移動(dòng)，使它與大半圓同心（如圖14），它的陰影部分面積與原來(lái)的陰影部分面積相等。此時(shí)有cm = 12，則 【例14】如圖15左圖，以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)a為半徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是_。 分析：左圖中可以這樣計(jì)算但是這樣計(jì)算比較麻煩。如果把左邊陰影，沿著圓弧順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與右邊陰影相接（如右圖），陰影結(jié)合成三角形；還可把左邊陰影圖形按中心線翻折，兩部分陰影部分相接成三角形。求出三角形面積就可以了，并且此三角形的面積是正方形面積的一半?？傻脠D15（六）特值法。特值法意指用一個(gè)特殊的數(shù)值代替題中的某些未知量，使得計(jì)算簡(jiǎn)單化，從而找到計(jì)算方法，再?gòu)奶厥獾揭话阃?/p>

9、過(guò)歸納、猜想出解題方法，這種方法也常常用在求解圖形的面積的題型中。【例14】如圖16，在半圓的直徑ab上取一點(diǎn)c，分別以ac、bc為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)c作cdab交圓于d，cd的長(zhǎng)為h，則陰影部分面積為（ ）。 （a）； （b） （c） （d）.圖16odcab解：設(shè)直徑ab = 4，且c與圓心o重合，則 因c與o重合，所以h = 2，當(dāng)h = 2時(shí)， 只有 . 故應(yīng)選（b）。（七）方程法。將圖形按形狀、大小分類(lèi)，并設(shè)其面積為未知數(shù)，通過(guò)建立方程或方程組來(lái)解出陰影部分面積的方法?！纠?5】如圖17，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，分別以a、b、c、d四點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫(huà)弧，則所得四個(gè)扇形的公共部分的面

10、積是（ ）。 axyyyzzzbc圖18abcdxyyyyzzzz圖17 解：由對(duì)稱(chēng)性，用x、y、z分別表示曲邊形的面積，則 解之，得 . （說(shuō)明：上面方程組中，是圓心角為900的扇形面積，是正方形面積圓心角為900的扇形面積，是線段bc、弧ce、弧eb圍成的面積=2圓心角為600的扇形面積正三角形bce的面積。）故選（a）?！纠?6】如圖18，以邊長(zhǎng)為2a的正三角形的各頂點(diǎn)為圓心, 為半徑作弧，求陰影部分的面積。cos=解：由對(duì)稱(chēng)性，用x、y、z分別表示曲邊形的面積。作如圖輔助線。 = 45于是xz可看作半徑為 ，含（452）弧的弓形面積。 又由圖可知：x3y3z = xy2z = 解由（1）、（2）、（3）聯(lián)立的方程組，得x = .（說(shuō)明：式中半徑為，圓心角為90的扇形面積是，而所含直角三角形的面積為。式abc的底與高分別是2a、.式表示圓心角為60，半徑為的扇形面積。）【例17】如圖19，abcd是長(zhǎng)方形，圖中的數(shù)字是各部分的面積數(shù)，求圖中陰影部分的面積.解：注意到afd和ced的面積都等于長(zhǎng)方形abcd的面積的一半，ade與bce的面積的和也等于長(zhǎng)方形abcd面積的一半。設(shè)陰影部分面積為x,圖中另一部分的面積為y（標(biāo)注在圖上），則有即有