高中數學論文：高考題中的新“主角”—導數

1、高考題中的新“主角”導數導數是高中數學新課程中的新增內容，它是微積分的初步知識，是研究函數、解決實際問題的有力工具從近幾年高考來看，對導數這部分內容的考查力度逐年加強，是新增內容的主要得分點命題的熱點主要是：考查導數的幾何意義；考查利用導數解決有關函數的單調性問題；考查利用導數解決有關函數的極值問題；考查利用導數解決有關函數的最值問題；考查導數在實際問題中的應用；考查導數與其它知識相融合的綜合問題基于以上認識，下文通過例題加以詳述一、考查導數的幾何意義【例1】（05北京卷理12）過原點作曲線的切線，則切點的坐標為；切線的斜率為解：設切點為，則切線的斜率為，切線方程是 切線過原點，從而切點為，切

2、線斜率是點評：函數在點處的導數的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，切線方程是注意：切點既在切線上，又在曲線上二、考查利用導數解決有關函數的單調性問題【例2】（05福建19）已知函數的圖象在點處的切線方程為.(1)求函數的解析式；(2)求函數的單調區(qū)間.解：(1)略解由點在切線上可得又且由得，所以所求的函數解析式為(2)由得，；由得，或函數的遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是和【例3】（05湖南卷理21）已知函數， (1)若，且函數存在單調遞減區(qū)間，求的取值范圍解：當時，則函數存在單調遞減區(qū)間有解又，則有的解當時，為開口向上的拋物線，總有的解；當時，為開口向下的拋物線，而有的解，則，且方程至少有一正根此時

3、，綜上述，的取值范圍為點評：導數的引進為解決某些復雜函數的單調性問題提供了有效途徑對于區(qū)間d內的可導函數，(1)若時，都有，則在d內是增函數；若時，都有，則在d內是減函數(2)若函數在d內是增函數，則時，恒有；若 在d內是減函數，則時，恒有(注意此結論成立的前提條件是：在區(qū)間d的任何子區(qū)間內不恒為零)三、考查利用導數解決有關函數的極值問題【例3】（05重慶卷理19）已知，討論函數的極值點的個數解：，令，得當，即或時，方程有兩個不同的實數根、不妨設因為當時，；當時，；當時，函數有兩個極值點當即或時，方程有兩個相同的實數根，于是，故當時，；當時，因此函數無極值當，即時，恒有，故函數為增函數，此時無

4、極值綜上述，當或時，函數有兩個極值點；當時，函數無極值點評：對于可導函數 ，把滿足的點稱為函數的駐點切記兩個結論：(1)可導函數的極值點一定是它的駐點；(2)可導函數的駐點不一定是極值點求可導函數的極值法則：先求函數的駐點，再判斷函數駐點左右兩側的符號，若的符號相反，則駐點是極值點；若的符號相同，則駐點不是極值點.四、考查利用導數解決有關函數的最值問題【例4】（05全國卷理22）已知，函數(1)當為何值時，取得最小值？證明你的結論解：令，則，解得，從而有下表+0待添加的隱藏文字內容20+極大值極小值在處取得極大值，處取得極小值，當時，而當時，且在為減函數，在為增函數當時，取最小值點評：連續(xù)函數

5、在閉區(qū)間上必有最值求函數在閉區(qū)間上的最值可分兩步進行：(1)求在內的極值；(2)將極值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值注意：利用導數求函數在開區(qū)間上的最值時，一定要根據函數單調性、連續(xù)性以及函數值的符號來判斷，一般最值在極值點取得(如本題)五、考查導數在實際問題中的應用【例5】（04福建理16）如圖1，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器（圖2）當這個正六棱柱容器的底面邊長為時，其容積最大 圖1圖2解：設正六棱柱的底面邊長為，則容器高為容積由，得當時，時，由實際問題的意義可知，當時，取最大值為點評：解決實際應用問題

6、的關鍵在于建立數學模型和目標函數把實際問題譯為數學語言，抽象成數學問題，選擇合適的數學方法求解，尤其要注意使用導數解決最優(yōu)化的問題及即時速度、邊際成本問題，可使復雜問題簡單化注意：在實際問題中，有時會遇到函數在區(qū)間內只有一個點使的情形，如果函數在這點有極值，那么極值就是最值六、考查導數與其它知識相融合的綜合問題【例6】（01北京春季）在1與2之間插入個正數，使這個數成等比數列；又在1與2之間插入個正數，使這個數成等差數列記，(1)求數列和的通項；(2)當時，比較和的大小，并證明你的結論解：(1)略解. (2)構造函數()，則又在上單調遞增即，也就是()點評：導數的引進為不等式的證明提供了新途徑，本題的關鍵在于構建函數 另外，數列作為一種特殊函數，也經常可以通過導數來解決相關的問題，主要在于構造一個合理的函數，再根據函數的性質來研究數列問題導數還可以與解析幾何融合，體現了代數與幾何的完美結合注意：欲用導數，先構造函數小結：導數作為一類特殊函數，為研究函數的單調性、極值、最值、圖象、曲線的