圓心角與圓周角

1、圓心角與圓周角【知識要點】一、弧、弦、圓心角的關系1. 弧、弦、圓心角之間的關系： 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.2. 推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應 的其余各組量分別相等.【注意】因為一條弦對的弧有兩條，所以由弦等得出弧等時，這里的弧等指的是弦對的劣弧與劣弧 相等，優(yōu)弧與優(yōu)弧相等?！狙a充】“圓心角、弧、弦和弦的弦心距”四組量中，有一組量對應相等，其他的三組量也對應相等，換言之為“四有一推三”，但當用到“弦心距”時，需要用全等先證明再用。二、圓周角定理1. 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條

2、弧所對的圓心角的一半. 【注意】在應用定理時，一定要保證“同弧或等弧”的前提。2. 圓周角定理的推論(1) 推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等。【注意】不能把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，因為一條弦所對的圓周角有兩種情況。一般 情況下不相等(2) 推論2：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等.【注意】“相等的圓周角所對的弧也相等”這一結論的前提條件是“在同圓或等圓中”，離開這一 前提條件，結論不成立。(3) 推論3：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑.【注意】一般情況下，當條件中有直徑時，往往做出直徑所對的圓周角，從而得到直角三角形?！纠}】【

3、例1】一條弦把圓周角分成兩部分，其中一部分是另一部分的4倍，求這條弦所對的圓周角的度數(shù)?！纠?】 如圖，O O中，AB為直徑，弦CD交AB于P，且0P二PC，試猜想弧AD與弧BC之間的 關系，并證明你的猜想.BD【例3】 如圖，弧AB是半圓，0為AB中點，C、D兩點在弧AB上，且AD/ 0C,連接BC BD.若.CBD =31，則.ABD的度數(shù)為何？（）A . 28B . 29C. 30D . 31【例4】 已知：如圖，MN是 0的直徑，點A是半圓上一個三等分點,點b是弧AN的中點，p是MN上一動點，0 0的半徑為1，貝U PA：-PB的最小值是【例5】 ABC中，/A -70 ，0O截厶AB

4、C的三邊所截得的弦都相等，則 N BOC =【例6】如圖所示，在0 0中,AB= 2CD，那么（）A.AB 2CDB.C.AB =2CDD.AB ：:2CDAB與2CD的大小關系不能確定【例7】PB PC ABC內接于0C如圖，PD,當BD的長度為多少時， PAD是以AD為底邊的等腰三角形？并加以證明.O, AB=8, AC=4, D是AB邊上一點，P是優(yōu)弧BAC的中點，連接PA、【例8】 如圖，已知AB是半圓0的直徑，C為半圓周上一點，M是弧AC的中點，MN _AB于N , 試判斷MN與AC的數(shù)量關系并證明.題型二：圓周角定理【例9】 如圖， ACD和厶ABE都內接于同一個圓， / ADC+

5、Z AEB+Z BAC=【例10】 在OO中，直徑AB丄CD于點E,連接CO并延長交AD于點F，且CF丄AD .則Z D=【例11】 如圖，點A、B、C、D在O 0上，0點在Z D的內部，四邊形 OABC為平行四邊形，則Z OAD + Z OCD= .【例12】如圖，A、B、C、D是。O上的點，直徑 AB交CD于點E，已知MC=57, / D=45,貝H NCEB =.DB【例13】 已知oo的弦AB長等于圓的半徑，則該弦所對的圓周角為 【例14】 已知如圖，在 oo中，AB是O O的直徑，AC、BC分別父o O于E、D， D是弧BE的中點，ZA =40，求/C的大小.【例15】如圖， abc

6、內接于OO， OD _ AC 于 D，OD =2，OC =4，則.B =A（北大附中月考）【例16】CD如下左圖， ABC內接于O O , AB =BC，/ABC =120 , AD為O O的直徑，AD =6 , 那么BD =.【例17】如下中圖,AB是O O的直徑，占八、在O O上，.BOC =110 ，AD / OC，則.DCA【例18】如下右圖,數(shù)為B.60C. 2040OO的半徑為1 ,AB是O O的一條弦,AB - 3，則弦AB所對圓周角的度【例19】OA如圖，面積為2的四邊形ABCD內接于OO，對角線AC經過圓心,若也BAD =45 : CD =，貝U AB的長等于 .【例20】

7、如圖，已知圓內接四邊形 ABCD中AB =11 bc=9 CD =3，若AB +CD =BC +AD，貝AD =C911AD -3【例21】 如圖，OO是厶ABC的外接圓，已知 NABO =50*，則NACB的大小為 C【例22】 如圖，AB是O O的弦，OD _AB，垂足為C，交O O于點D，點E在。O 上. 若乙AOD =52，求.DEB的度數(shù); 若OC =3 , OA =5，求AB的長.匚?AC的值是一個常數(shù)。【例23】 已知：在O O中，CD過圓心O,且CtU AB垂足為D,過C點作一弦CF交O O于F點，交AB于E點，求證：BC=CFCE【例24】如圖A、B、C三點都在O O上，人。

8、是厶ABC的高，O O的半徑R=4cm AD=6cm試說明AB【例25】已知：如圖所示，AABC是O O的內接三角形，OO的直徑BD交AC于E, AF丄BD于 F,D延長 AF交 BC于 G.求證：AB2 =BG BC【練習】1.已知：如圖，四邊形 ABCD是OO的內接正方形，點 P是劣弧CD上不同于點C的任意一點，則 BPC的度數(shù)是()A.45B.60 C. 7 5 D .9 0P2.如圖，量角器外沿上有 A B兩點，它們的度數(shù)分別是70，則0的度數(shù)為 3.如圖，OO是. ：ABC的外接圓，已知 B =60，則.CAO的度數(shù)是（ ）A. 15B . 30C. 45D . 60B4.如圖，AB

9、是L O的直徑，CD是O O的弦，連接AC, AD，若 CAB = 35，則.ADC的度 數(shù)為.5.如圖，已知L O的弦AB, CD相交于點E , AC的度數(shù)為60 , BD的度數(shù)為100，則 AEC等于( )A. 60 B. 100 C. 80 D . 130OB6.如圖，AB是O O的直徑，弦PC交OA于點D，弦PE交OB于點F,且OC二DC ,OF EF 若ZC=ZE，則 NCPE =7.如圖所示的半圓中,AD是直徑，且 AD =3, AC =2，貝sinB的值是BEAAB 2 n8.如圖，AB是OO的直徑，CD丄AB，設NCOD，貝卩 sin =AD 2CB9.如圖，AB為OO的直徑，

10、CD是OO的弦，AB、CD的延長線交于點 求 AOC的度數(shù).E，若 AJ 二CEE =8E10.如圖，已知 AB 為O O 的直徑，NE =20 , N DBC=50，則NCBE =E11.如圖，在。O中，.AOB的度數(shù)為m , C是ACB上一點，D、E是AB上不同的兩點（不與A B兩點重合），則ND +ZE的度數(shù)為 OAB12.如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點A處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是65 為了監(jiān)控整個展廳，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器臺.13.如圖所示，在 ABC中，.C =45 , AB=4，則。O的半徑為（）A.2 2B .4 C. 23D .5C14.如圖，ABC 內接于 OO , AB=：BC,. ABC =120 , AD 為。O 的直徑,AD =6，那么 BD =B15.如圖，已知 AB是OO的直徑