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1、f(x),x(-,af2(x),xa,+)在r上是增函數(shù),則f2x在a,+)上);學(xué)習(xí)-好資料復(fù)習(xí)專題1分段函數(shù)專題不務(wù)正業(yè)收集、整理、點(diǎn)評知識點(diǎn)梳理一、定義:分段函數(shù)是指自變量在不同范圍內(nèi),有不同對應(yīng)法則的函數(shù)。二、注意:1、分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù);2、分段函數(shù)的定義域是自變量各段取值的并集;3、分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值的并集。4、解決分段函數(shù)的方法:先分后合三、涉及的內(nèi)容及相應(yīng)的常用方法:1、求解析式:利用分段中遞推關(guān)系,如平移、周期、對稱關(guān)系,已知其中一段的解析式,得到整個(gè)定義域的解析式;2、求值、解不等式:注意只有自變量在相應(yīng)的區(qū)間段才可以代入對應(yīng)的解析式。不能確定時(shí)常需
2、要分情況討論;3、單調(diào)性:各段單調(diào)(如遞增)+連接處不等關(guān)系。f(x)在(-,a)上1(如f(x)=1()f1(a)f2(a)4、奇偶性:分段討論,各段均符合相同的定義中的恒等式,才有奇偶性,否則為非奇非偶函數(shù);5、圖像性質(zhì)或變換等:作圖、賦值等,注意變量的范圍限制;6、最值:求各段的最值或者上下界再進(jìn)行比較;7、圖像:分類討論,如零點(diǎn)分段法得到各段解析式再作圖;例題講解:題型一、分段函數(shù)的圖像。1.作出函數(shù)y=x(x+1)的圖象2.函數(shù)y=elnx-|x-1|的圖象大致是(d)y1y1y1y110更多精品文檔ax-10bx0c1x0d1x學(xué)習(xí)-好資料題型二、分段函數(shù)的奇偶性x(1-x)(x0
3、).的奇偶性2、已知函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-2x+3.求f(x)的解析式。題型三、分段函數(shù)的最值1、(2005上海高考題)對定義域分別是d,d的函數(shù)y=f(x),y=g(x).規(guī)定:函數(shù)h(x)=f(x),當(dāng)xd且xd當(dāng)xd且xdfgf(x)g(x),當(dāng)xd且xd,fgfgg(x),gf(i)若函數(shù)f(x)=1,g(x)=x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式;x-1(ii)求問題(i)中函數(shù)h(x)的值域;題型四、與分段函數(shù)有關(guān)的不等式與方程1、已知f(x)=(x10)(x-10),則不等式x+(x+2)f(x+2)5的解集是_,2x22、(2011年高考北京卷
4、理科13)已知函數(shù)f(x)=x若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則(x-1)3,x03、(2011年高考陜西卷理科11)設(shè)f(x)=ax+03t2dt,x0題型五、分段函數(shù)創(chuàng)新題,若f(f(1)=1,則a=x1、定義運(yùn)算x*y=y(xy)(xy),若m-1*m=m-1,則m的取值范圍是()a.m11b.m1c.m022,baa-1,2、(2011年高考天津卷理科8)對實(shí)數(shù)a與b,定義新運(yùn)算“”:ab=b,a-b1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)(x-x2),xr.若函數(shù)y=f(x)-c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()(-,-2-1,3(-,-2-1,-311-1,-
5、,+c-,+d.442444ab31log(x2-1),x2,2、已知f(x)=是(-,+)上的增函數(shù),那么a的取值范圍是()logx,x1總結(jié):1、分段函數(shù)是高考的一個(gè)熱點(diǎn),它可以考查函數(shù)的很多重要知識,如求值、作圖、解方程、求解析式、求周期和最值、函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性等。2、解分段函數(shù)的問題時(shí),關(guān)鍵的是根據(jù)自變量的分段情況選擇相應(yīng)解析式。3、解不等式或求范圍時(shí)應(yīng)根據(jù)自變量的分段情況,轉(zhuǎn)化為若干個(gè)不等式(組)求解,然后取這些不等式(組)解集的并集。4、研究分段函數(shù)的最值問題時(shí),應(yīng)先分段進(jìn)行,再整體進(jìn)行判斷。課后作業(yè):2ex-1,x2的解集為3(a)(1,2)(3,+)(b)(10,+
6、)(c)(1,2)(10,+)(d)(1,2)(3-a)x-4a,x1,a5(d)(1,3)(a)(1,+)(b)(-,3)(c)3,3)3、lgx-1,x1,4、設(shè)定義為r的函數(shù)f(x)=則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=00,x=1.有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的充要條件是()更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料a.b0b.b0且c0c.b0,則f(2009)的值為()7、求函數(shù)f(x)=x+3(01)a.-1b.0c.1d.26、4x+3(x0)8、(2011年高考湖北卷理科17)(本小題滿分12分)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時(shí)
7、)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí),車流速度為60千米,/小時(shí),研究表明:當(dāng)20x200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).()當(dāng)0x200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;()當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料參考答案:題型一、分段函數(shù)的圖像。1.作出函數(shù)y=x(x+1)的圖象分析:原函數(shù)可化為:y=x(x+1),x0-x(x+1),x02.函數(shù)y=elnx-
8、|x-1|的圖象大致是(d)y1y1y1y10a1x-10bx0c1x0d1xx+-1,x(0,1),很明顯,在x1,+)分析:原函數(shù)可化為:y=1,x1,+)1x時(shí),圖像是一條平等于x軸的射線,當(dāng)x(0,1)時(shí),是一個(gè)對勾函數(shù)的形狀。所以選d。題型二、分段函數(shù)的奇偶性1、判斷函數(shù)f(x)=x(1-x)(x0).的奇偶性分析:設(shè)x0,則f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)。(注意:f(0)并不存在,如果存在,一定有f(0)=0)2、已知函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-2x+3.求f(x)的解析式.分析:設(shè)x0。f(-x)=
9、(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3x222xx-xx0又f(x)是定義在r上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以有:f(x)=-x+-2+3,3,0f(x)=-x2-2x-3,x01、(2005上海高考題)對定義域分別是更多精品文檔d,dfg的函數(shù)y=f(x),y=g(x).規(guī)定:函數(shù)h(x)=f(x),當(dāng)xd且xd當(dāng)xd且xd學(xué)習(xí)-好資料f(x)g(x),當(dāng)xd且xd,fgfgg(x),gf(i)若函數(shù)f(x)=1,g(x)=x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式;x-1(ii)求問題(i)中函數(shù)h(x)的值域;本題好像有點(diǎn)問題。題型四、與分段函數(shù)有關(guān)的不等式與方程1、已知f(x)=(
10、x10)(x-10),則不等式x+(x+2)f(x+2)5的解集是_,2x22、(2011年高考北京卷理科13)已知函數(shù)f(x)=x若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則(x-1)3,x03、(2011年高考陜西卷理科11)設(shè)f(x)=a3t2dx,x0,若f(f(1)=1,則a=【答案】1【解析】f(f(1)=f(lg1)=f(0)=0+a3t2dt=t3|a=a3=1a=100a.a0b.0a1題型五、分段函數(shù)創(chuàng)新題x1、定義運(yùn)算x*y=y(xy)(xy),若m-1*m=m-1,則m的取值范圍是(a)a.m11b.m1c.m0222、(2011年高考天津卷理科8)對實(shí)數(shù)a與b,定義
11、新運(yùn)算“”:ab=設(shè)函數(shù)b,a-b1.a,a-b1,f(x)=(x2-2)(x-x2),xr.若函數(shù)y=f(x)-c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的取值范圍是更多精品文檔a(-,-2-1,b(-,-2-1,-4學(xué)習(xí)-好資料()323c-,+d.-1,-,+44【答案】b114431【解析】由題意知,若x2-2-(x-x2)1,即-1x32時(shí),f(x)=x2-2;當(dāng)x2-2-(x-x2)1,即x32時(shí),f(x)=x-x2,要使函數(shù)y=f(x)-c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),只須方程f(x)-c=0有兩個(gè)不log(x2-1),x2,logx,x1(a)(1,+)(b)(-,3)(c)35(d
12、)(1,3)相等的實(shí)數(shù)根即可,即函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即可,畫出函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=c,不難得出答案b.總結(jié):1、分段函數(shù)是高考的一個(gè)熱點(diǎn),它可以考查函數(shù)的很多重要知識,如求值、作圖、解方程、求解析式、求周期和最值、函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性等。2、解分段函數(shù)的問題時(shí),關(guān)鍵的是根據(jù)自變量的分段情況選擇相應(yīng)解析式。3、解不等式或求范圍時(shí)應(yīng)根據(jù)自變量的分段情況,轉(zhuǎn)化為若干個(gè)不等式(組)求解,然后取這些不等式(組)解集的并集。4、研究分段函數(shù)的最值問題時(shí),應(yīng)先分段進(jìn)行,再整體進(jìn)行判斷。作業(yè):2ex-1,x2的解集為()3(a)(1,2)(3,+)(b)(10
13、,+)(c)(1,2)(10,+)(d)(1,2)答案:c分別對x進(jìn)行討論。當(dāng)x2,得1x2得x1033(3-a)x-4a,x1,2、已知f(x)=是(-,+)上的增函數(shù),那么a的取值范圍是()a,3)答案:d。3-a0a11a3(3-a)1-4alog1a更多精品文檔0,x=1.則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0學(xué)習(xí)-好資料3、設(shè)定義為r的函數(shù)f(x)=lgx-1,x1,有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的充要條件是()a.b0b.b0且c0c.b0。畫出圖像是關(guān)鍵。從圖像可以明顯看出,當(dāng)t0時(shí),對應(yīng)每一個(gè)t,x有4個(gè)不同的值與之對應(yīng),t=0時(shí),有3個(gè)不同的x與之對應(yīng),本題要求是7個(gè)根,所以,必須
14、滿足:其中一根t=0,另一根t0。則t*t=0=c;t+t=-b012124、定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=log(1-x),x0,2f(x-1)-f(x-2),x0,則f(2009)的值為()a.-1b.0c.1d.2答案:c。分析:分別求出f(1)、f(2)、f(6),觀察可得周期為6或者:由f(x)=f(x-1)-f(x-2),迭代得f(x+1)=f(x)-f(x-1),由f(x+1)=-f(x-2)f(x)=-f(x-3),令:x=x+3,則,f(x)=-f(x+3),所以:f(x+3)=f(x-3),令x=x+3,得出f(x)=f(x+6)5、求函數(shù)f(x)=x+3(01)4
15、x+3(x0)這幾個(gè)分段函數(shù)全是線性函數(shù),最值一定出現(xiàn)在“臨界點(diǎn)”上。f(maxx)=4.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料6、(2011年高考湖北卷理科17)(本小題滿分12分)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí),車流速度為60千米,/小時(shí),研究表明:當(dāng)20x200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).()當(dāng)0x200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;()當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí)).本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力解析:()由題意:當(dāng)0x20時(shí),v(x)=60;當(dāng)20x200時(shí),設(shè)v(x)=ax+ba=-,3,解得再由已知得200a+b=0,20a+b=60.1200b=.3當(dāng)20x200時(shí),f(x)=x(200-x)12=,60,0x20,故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)=13(200-x),20x200
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