非線性動(dòng)力：第二講 大氣和海洋中的非線性現(xiàn)象和非線性方程及方法

1、第二講 大氣和海洋中的非線性現(xiàn)象和非線性方程及方法,大氣和海洋流中存在許多非線性現(xiàn)象如阻塞環(huán)流,北大西洋濤動(dòng)(NAO),灣流的彎曲等等.,1.大氣中的非線性現(xiàn)象,2. 海洋中的非線性現(xiàn)象,3.非線性方程,4.獲得非線性方程的方法,北極增暖與中緯度環(huán)流,北極增 暖快23 倍(Walsh 2014),西風(fēng)急流出現(xiàn)大彎曲(NASA衛(wèi)星圖片),(Walsh 2014),大氣對(duì)整個(gè)北極海冰融化的響應(yīng),有趨勢(shì),去趨勢(shì),ARO-,AO-,Arctic response oscillation,Berggren, Rossby, Bolin(1949)最早發(fā)現(xiàn)大氣中存在這種阻塞(多渦結(jié)構(gòu)),黑潮和灣流也有這樣

2、的阻塞結(jié)構(gòu),1.3多渦結(jié)構(gòu)阻塞,-,+,-,+,H,線性Rossby波 也是非線性方程的解,非線性波,1.1 阻塞 環(huán)流,(1)偶極子型,(2)阻高型,1.2北大西洋濤動(dòng)(NAO),NAO+,NAO-事件,NAO事件,NAO300hPa高度場(chǎng)的合成,NAO-,NAO+,NAO-合成(300mb)的距平場(chǎng),結(jié)構(gòu),NAO+合成的距平場(chǎng)(300mb),結(jié)構(gòu),全球增暖與NAO的關(guān)系,NAO指數(shù),1.3臺(tái)風(fēng),2.海洋中的非線性現(xiàn)象,2.1灣流,2.2海洋中的中尺度渦,1. 能量串級(jí)的例子(黑潮延伸體）,Qiu and Chen 2010,彎曲類似于阻塞或 NAO-, 平直類似于 NAO+,與線性理論矛盾

3、：彎曲時(shí)急流弱，不穩(wěn)定弱；EKE應(yīng)該弱。,彎曲,平直,EKE,SSHA,Zonal current anomaly,Anticyclonic recirculation Gyre,弱,強(qiáng),Luo et al. 2016 Ocean dynamics,大尺度偶極子模指數(shù)的定義：,彎曲,平直,SSHA,負(fù)位相（ ）KED-,KED+,緯向流,線性和非線性,任一物理量（如速度）的隨體微商為,其中,為速度V在 x,y,z 方向上的分量,設(shè)時(shí)間尺度為 ，空間尺度為L(zhǎng),速度尺度為U,則在式（1）右端非線性項(xiàng)與非定常項(xiàng)之比為,考慮經(jīng)典的關(guān)于波的概念，它是質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的傳播，則振動(dòng)的振幅(以距離度量)可以表示為,

4、(1),(2),(3),孤立波的發(fā)現(xiàn)(Russell, 1844),什么是孤立波(孤立子),1834年英國(guó)科學(xué)家Scott Russell偶然觀察到了一種奇妙的水波，1844年，他在英國(guó)科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)第14屆會(huì)議報(bào)告上發(fā)表的論波動(dòng)一文中，對(duì)此現(xiàn)象作了生動(dòng)的描述：“我觀察過(guò)一次船的運(yùn)動(dòng)，這條船被兩匹馬拉著沿狹窄的運(yùn)河迅速前進(jìn)著，突然，船停了下來(lái)，而被船所推動(dòng)的大推水卻并不停止，它們積聚在船頭周圍激烈地?cái)_動(dòng)著，然后水浪突然呈現(xiàn)出一個(gè)滾圓而平滑、輪廓分明的巨大孤立波峰，它以巨大的速度向前滾動(dòng)著，急速地離開(kāi)了船頭。,在行進(jìn)中它的形狀和速度并沒(méi)有明顯的改變，我騎在馬上緊跟著觀察，它以每小時(shí)約八、九英里的速

5、度滾滾向前，并保持長(zhǎng)約30英尺、高約11.5英尺的原始形狀。漸漸地它的高度下降了。當(dāng)我跟蹤12英里后，它終于消失在逶拖的河道之中”。這就是Russell觀察到的奇特現(xiàn)象，進(jìn)而他認(rèn)為這種孤立的波動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)穩(wěn)定解，并稱它為“孤立波”。,Russell當(dāng)時(shí)未能成功地證明并使物理學(xué)家們信服他的論斷，從而埋怨數(shù)學(xué)家未能從已知的流體運(yùn)動(dòng)方程預(yù)言出這一現(xiàn)象，之后有關(guān)孤立波的問(wèn)題在當(dāng)時(shí)許多物理學(xué)家中引起了廣泛的爭(zhēng)論。直到60年后的1895年，Korteweg,de Vries研究了淺水波的運(yùn)動(dòng)，在長(zhǎng)波近似和小振幅的假定下，建立了單項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的淺水波運(yùn)動(dòng)方程 。,隨后，1962年P(guān)erring和Skyrme

6、將Sine-Gordon方程用于研究基本粒子時(shí)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：這樣的孤立波并不散開(kāi)，即使兩個(gè)孤立波碰撞后也仍保持原有的形狀和速度。 1965年美國(guó)著名科學(xué)家Zabusky和Kruskal用數(shù)值模擬方法詳細(xì)地考察了等離子體中孤立子碰撞的非線性相互作用過(guò)程，得到了比較完整和豐富的結(jié)果，并進(jìn)一步證實(shí)了孤立子相互作用后不改變波形的論斷。他們的這些結(jié)果使人們感到驚喜。,海洋中的孤立波,孤立波數(shù)學(xué)描述,時(shí)間變化項(xiàng),非線性項(xiàng),？,u,t,=0,u,t,孤立波方程(Korteweg and de Vries,1895),Zabusky, N. J.; Kruskal, M. D. (1965). Inte

7、raction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states. Phys. Rev. Lett. 15 (6): 240243. Bibcode:1965PhRvL.15.240Z. doi:10.1103/PhysRevLett.15.240.,3.大氣和海洋中的非線性方程,3.1大氣中的非線性演變方程,KdV方程:,(Long, JAS, 1963),Kadomtsev-Petviashili 方程:,(Grimshaw and Melville, Stud. App. Math., 1

8、989; Fedrov and Melville 1995, JPO),(K and P, 1970),MKdV方程:,(4),(5),(6),頻散項(xiàng),非線性項(xiàng),有限振幅斜壓不穩(wěn)定方程:,(Pedlosky, 1970, JAS),Camassa-Holm方程:,(Camassa and Holm, PRL, 1993),(7),非線性Burgers方程:,BBM方程(Benjiamin, Bona and Mahoney,1972),KdV-Burgers方程:,包含耗散項(xiàng),(8),(9),Sine-Gordon方程,大氣斜壓波的有限振幅方程可以化為這個(gè)方程.,Benjamin-Davis-

9、Ono方程:,其中,是Hilbert變換,(10),(11),非線性Schrodinger方程:,Lorenz方程:,三波相互作用方程:,(12),(13),3.2海洋中的非線性方程,Landau方程:,Ginzburg-Landau方程:,西邊界流中的擾動(dòng)滿足復(fù)系數(shù)的非線性Schrodinger方程(Cessi, JPO,1993),(14),(15),4.獲得非線性方程的方法,4.1攝動(dòng)法 4.2譜方法,4.1-攝動(dòng)法,1)正則攝動(dòng)法 2)奇異攝動(dòng)法,4.1.1正則攝動(dòng)法,方程:,其中,是小參數(shù),將解,展為,這樣可以得到級(jí)數(shù)解,這樣的方法可以叫WKB(Wentzel-Kramers-Bri

10、llouin)方法,其中,是零級(jí),一級(jí),二級(jí)近似,(16),(17),例子,4.1.2奇異攝動(dòng)法,級(jí)數(shù)解中存在久期項(xiàng),正則攝動(dòng)法將失效,這樣發(fā)展幾種奇異攝動(dòng)方法:,a)多重尺度法,例如:,其中,引入多時(shí)間和多空間尺度:,(18),(19a),(19b),(20),例子,b)約化攝動(dòng)法,將復(fù)雜的非線性方程或方程組,可以通過(guò)坐標(biāo)變換和攝動(dòng)法化為非線性遠(yuǎn)方場(chǎng)方程去求解,這就是所謂的約化攝動(dòng)法. 一般使用Gardner-Morikawa (GM) 變換:,其中,為,或,可表示為,對(duì)于Burgers方程,則,對(duì)于KdV方程,則,(21),對(duì)于非線性Schrodinger方程,則,對(duì)于Burgers方程,在,條件下，它近似地可用線性方程去描寫(xiě)，其相應(yīng)的頻散關(guān)系為,，波的演變是緩變的，則可選一無(wú)量綱的小參數(shù),由于,它通常是無(wú)量綱振幅），而設(shè),其中a待定，,的量級(jí)為1，這樣，有頻散關(guān)系式求得位相為,(22),(23),(24),緩變的空間尺度之間的合適關(guān)系為,和,稱為伸長(zhǎng)變量。,由于,可得,a=1,則,對(duì)