線性代數(shù)電子教案：1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算

1、,1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算,特點(diǎn),一、行列式的轉(zhuǎn)置,定義,其轉(zhuǎn)置行列式為,1. 轉(zhuǎn)置行列式的概念與特點(diǎn),一、行列式的轉(zhuǎn)置,1. 轉(zhuǎn)置行列式的概念與特點(diǎn),2. 性質(zhì)及其意義,行列式中的 “行” 與 “列” 具有同等的地位，,意義,因此凡是對(duì)“行”成立的性質(zhì)對(duì)“列”也同樣成立.,即,對(duì) 1 階行列式，性質(zhì)顯然成立；,假設(shè)對(duì)于 階行列式成立，,則對(duì)于 n 階行列式有,同理,即性質(zhì)對(duì)于 n 階行列式也成立。,二、幾個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì),(2) 若行列式的某列(行)的元素都是兩數(shù)之和，,行列式等于兩個(gè)行列式之和，,則該,即,(2) 交換第 i, j 兩行(或列)的所有元素，,(1) 將第 i 行(或列)中所有

2、的元素 k 倍，,三、行列式的三個(gè)基本操作及其性質(zhì),1. 三個(gè)基本操作,為了方便討論，通常用 ri 表示第 i 行，ci 表示第 i 列.,(3) 將第 i 行(或列)的各元素的 k 倍加到第 j 行(或列),對(duì)應(yīng)的元素上，,三、行列式的三個(gè)基本操作及其性質(zhì),1. 三個(gè)基本操作,2. 相應(yīng)的三個(gè)性質(zhì),將行列式的某一行(列)中所有的元素 k 倍，,性質(zhì)1,證明,只需將上式兩邊的行列式按第 i 行展開(kāi)即可證明.,則行列式,的值 k 倍，,即,證,故 D = 0。,例如,對(duì)于 2 階行列式, 結(jié)論顯然成立；,假設(shè)對(duì)于 階行列式結(jié)論成立，,下證對(duì)于 n 階行列式,結(jié)論也成立。,(注意此時(shí) ),設(shè) 是行

3、列式 D 交換第 i , j 兩行后得到的行列式，,令 和 分別是行列式 和 D 的第 k 行的代數(shù),由歸納假設(shè)有,于是有,余子式，,證明,設(shè)行列式 D 的第 i 行與第 j 行的元素相同，,的值為零.,即得,將 D 的第 i 行與第 j 行的元素交換，,由性質(zhì) 2 有,證明,的值為零.,即,對(duì)應(yīng)的元素上，行列式的值不變，,證明,只需將上式右端行列式的第 j 列拆開(kāi)即可證明.,?,?,四、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),引例,已知,四、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),代數(shù)余子式乘積之和等于零，,即,把 換成,可得,同理,四、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),綜合,其中,解,利用行列式的性質(zhì)把行列式化為上三角形行列

4、式。,五、行列式的計(jì)算,基本思路,(2) 交換兩行(或列)；,(1) 某行(或列) k 倍；,基本操作,(3) 某行(或列)的 k 倍加到另一行(或列)。,常用技巧,(5) 高化(低階化為高階)。,(1) 用某行(或列)去減其它行(或列)；,(4) 遞歸(高階化為低階)；,(3) 逐行(或列)相減；,(2) 所有行(或列)全部加到某一行(或列)上；,例 計(jì)算行列式,解,例,注,本例的方法適合于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。,例 計(jì)算行列式,例 計(jì)算 n 階行列式,例 計(jì)算,例 計(jì)算行列式,(采用“高化”方法),(2) 當(dāng) 時(shí)，,例 計(jì)算行列式,例 計(jì)算,進(jìn)一步，由 遞推可得：,例 計(jì)算 n 階行列式,(B)

5、,由 (A), (B) 求解得,(漸悟),(頓悟),例 計(jì)算 n 階行列式,考慮一個(gè)一般的兩步遞推式,則有,即 a , b 是方程 的兩個(gè)根。,比如，對(duì)于遞推式 有,進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為,因此，當(dāng) n = 2 時(shí)結(jié)論成立。,證,從 Dn 的最后一行開(kāi)始，,下面假設(shè)結(jié)論對(duì) n -1 階成立，要證結(jié)論對(duì) n 階也成立。,的 x1 倍減到下一行，得,由下而上，依次將上一行,按第 1 列展開(kāi)，并把每列的公因子提出，就有,n-1 階范德蒙德行列式,由歸納法假設(shè)，即得：,3 階范德蒙德行列式,行列式中行與列具有同等的地位，,計(jì)算行列式的常用方法：,(1) 利用定義;,(2) 利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立。,小結(jié),從而得到行列式的值。,解,解,提示：按第 1 列展開(kāi)。,答案：,提示：各行 (列) 之和相等