梁昆淼 第12章 數(shù)學物理方法

1、1,(method of green function),introduction,第十二章 格林函數(shù)法,行波法,無界空間波動問題，有局限性,分離變量法,格林函數(shù)法,直接求特解，各種定解問題， 解一個含有格林函數(shù)的有限積分,各種定解問題（有界），其解為無窮級數(shù),2,格林（green）函數(shù)：又稱為點源影響函數(shù)，是數(shù)學物理中的一個重要概念,格林函數(shù)法是解數(shù)學物理方程的常用方法之一,喬治格林 ( george green ,1793 1841) 英國的數(shù)學物理學家。,格林函數(shù)代表一個點源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場,知道了點源的場，就可以用疊加的方法計算出任意源所產(chǎn)生的場,3,12.1 泊

2、松方程的格林函數(shù)法,一、解方程的基本思路,1、泊松方程的求解問題，能否化為簡單方程求解?,2、實際物體的場能否用點源場的疊加表示出來？,3、點源的場滿足的方程是否為易于求解的方程？,4、物體的形狀畢竟影響場的情況，物體的表面在求解場的函數(shù)中一定有所體現(xiàn)?,4,單位時間內(nèi)流體流過邊界閉曲面s的流量,單位時間內(nèi)v內(nèi)各源頭產(chǎn)生的流體的總量,上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù),在區(qū)域,及其邊界,和,而在 中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，,二、數(shù)學上的格林公式,應(yīng)用矢量分析的高斯定理,5,同理有,第一格林公式,第一格林公式,6,上述兩式相減得到,第二格林公式,第一格林公式,表示沿邊界 的外方向求導(dǎo)數(shù),7,三 泊松方程的解用點源函數(shù)

3、與邊界條件表示解出積分公式,討論具有一定邊界條件的泊松方程的定解問題,(1) 泊松方程,邊界條件,是區(qū)域邊界 上,1. 泊松方程的求解：,給定的函數(shù),對應(yīng)第一類邊界條件,對應(yīng)第二類邊界條件,對應(yīng)第三類邊界條件,8,（2）點源函數(shù)滿足的場方程：,為位于點 ，電量為-0的點電荷在點 產(chǎn)生的場,（電勢）,（3）泊松方程解的積分公式：,泊松方程的解，物體的場,特殊方程的解，點源的場,9,在去掉含有點源的體積 中積分有：,0,(1)(2)式,10,應(yīng)用第二類格林公式將左邊的體積分化為面積分,(3)上式右端,11,(3)上式左端第二項面積分,(3)式改寫為：,12,泊松方程解的基本積分展式,需要知道 u

4、以及u/n 在上的表示。而實際問題中，只能知道它們兩者之一。因此，還不能利用上式解決三類邊值問題。,怎樣解決？讓green函數(shù)受邊界條件的影響,13,四 泊松方程解的簡化：,具有實際意義的解,令格林函數(shù)滿足一定的邊界條件,相應(yīng)的格林函數(shù) 是下列問題的解：,(1) 滿足第一類齊次邊界條件：,14,(2) 滿足第二類齊次邊界條件：,相應(yīng)的格林函數(shù) 是下列問題的解：,15,(3) 滿足第三類齊次邊界條件：,相應(yīng)的格林函數(shù) 是下列問題的解：,方程(2)兩邊同乘g，,方程(4)兩邊同乘u，,然后相減得,16,17,典型的泊松方程（三維穩(wěn)定分布）邊值問題,引入：為了求解定解問題，我們必須定義一個與此定解問

5、題相應(yīng)的格林函數(shù),它滿足如下定解問題，邊值條件可以是第一、二、三類條件：,小 結(jié),18,在物體內(nèi)部（t內(nèi)）r0處放置一個單位點電荷，而該物體的界面保持電位為零, 那么該點電荷在物體內(nèi)產(chǎn)生的電勢分布，就是定解問題的解格林函數(shù)由此可以進一步理解通常人們?yōu)槭裁捶Q格林函數(shù)為點源函數(shù)。,解的基本思想：引用格林函數(shù)的目的：主要就是為了使一個非齊次方程與任意邊值問題所構(gòu)成的定解問題轉(zhuǎn)化為求解一個特定的邊值問題。一般后者的解容易求得,格林函數(shù)的物理意義：,19,格林函數(shù)互易定理：,因為格林函數(shù) 代表 處的脈沖（或點源）在 處所產(chǎn)生的影響（或所產(chǎn)生的場）,所以它只能是距離 的函數(shù)，故它應(yīng)該遵守如下的互易定理：,

6、利用格林函數(shù)的互易性，可得到泊松方程的解,20,利用格林函數(shù)的互易性，可得到第一類邊值問題的解,利用格林函數(shù)的互易性，可得到第三類邊值問題的解,21,對于泊松方程,第一邊值問題的解為,第三邊值問題的解為,對于拉普拉斯方程,22,12.2 用電像法求格林函數(shù),無界區(qū)域的格林函數(shù),1 一般邊值問題的格林函數(shù)g的處理：,將一般邊值問題的格林函數(shù)g分成兩部分：,使?jié)M足,這樣可以使g1帶有g(shù)的邊值條件，而g0不具有邊界條件，成為無界問題,無界區(qū)域的格林函數(shù)成為相應(yīng)方程的基本解,23,2 無界區(qū)域格林函數(shù)的解基本解,對于點電荷知，-0的點電荷在無界空間的電勢為：,所以，可以給出無界空間格林函數(shù),在二維極坐

7、標系下，可以給出,下面具體推導(dǎo)一下:,24,三維球?qū)ΨQ,對于三維球?qū)ΨQ情形，先選取,對式 兩邊在球內(nèi)積分,高斯定理,即點源位于坐標原點處,25,選點源位于坐標原點處,26,選點源位于坐標原點處,若點源位于任一點 ，,對于三維無界球?qū)ΨQ情形的格林函數(shù),可以選取為,從而得到三維無界區(qū)域問題的解為,代入(12.1.11),上式正是我們所熟知的靜電場的電位表達式,27,二維軸對稱情形,用單位長的圓柱體來代替球，積分在單位長的圓柱體內(nèi)進行，即,由于,只是垂直于z軸，且向外的分量,所以上式在圓柱體上、下底的面積分為零，只有沿側(cè)面的積分,28,選取的圓柱的高度為單位長，則很容易得到下面的結(jié)果,令積分常數(shù)為0

8、，得到,因此二維軸對稱情形的格林函數(shù)為,29,得到二維無界區(qū)域的解為,二維軸對稱情形的格林函數(shù)為,代入(12.1.11),30,二 用電像法求解格林函數(shù),用格林函數(shù)法求解的主要困難還在于如何確定格林函數(shù)本身,一個具體的定解問題，需要尋找一個合適的格林函數(shù),為了求解的方便，對一些具體問題我們給出構(gòu)建格林函數(shù)的方法,電像法的基本思路：,對物體的一部分影響可等效為點源,為了滿足邊界條件：電勢為零，所以還得在邊界外像點（或?qū)ΨQ點）放置一個合適的負電荷，這樣才能使這兩個電荷在界面上產(chǎn)生的電勢之和為零,所產(chǎn)生的場，即某種場源總可以等效為一種點源。,31,2. 實際問題分析：,、問題：接地導(dǎo)體球面內(nèi)有一帶電

9、量為0的點電荷，求激發(fā)的電勢,利用分離變量法求解，但這樣得到的解往往是無窮級數(shù),麻煩！,下面用電像法求解，將得到有限形式的解,32,g1可用電像法求得：,由邊界條件確定電荷所在位置,基本思想：用想象的、處于場區(qū)外的點電荷代替導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷,像m1在球外，距原點 ，電量為q，,在任一點m(r)產(chǎn)生的電勢為,33,因其電勢為零，因此有,對于球面上p點：,、取電量原則：,34,因此，球內(nèi)任一點的總電勢為,35,3 圓內(nèi)泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)滿足,該問題也可用電像法求解，,，其解為,二維軸對稱情形的格林函數(shù),36,三 常見格林函數(shù)：,球坐標系下，無界問題的格林函數(shù),極坐標系下的二維無界平面的格林函數(shù),球內(nèi)第一邊值問題的格林函數(shù),平面圓內(nèi)第一類邊值問題的格林函數(shù),37,例1、在球內(nèi)解拉普拉斯方程的第一邊值問題：,解：這是球內(nèi)的第一邊值問題，,其格林函數(shù)為：,38,矢徑 與 的方向分別為 與,球坐標系下：,39,40,41,代入,球的泊松積分,42,例2、在半空間z0內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題：,