矩陣的等價(jià)-合同-相似的聯(lián)系與區(qū)別

1、目 錄摘 要I引言11矩陣間的三種關(guān)系1 1.1 矩陣的等價(jià)關(guān)系1 1.2 矩陣的合同關(guān)系2 1.3. 矩陣的相似關(guān)系22 矩陣的等價(jià)、合同和相似之間的聯(lián)系33矩陣的等價(jià)、合同和相似之間的區(qū)別6結(jié)束語6參考文獻(xiàn)6摘 要:等價(jià)、合同和相似是矩陣中的三種等價(jià)關(guān)系，在矩陣這一知識(shí)塊中占有舉足輕重的地位.矩陣可逆性、矩陣的對角化問題、求矩陣特征根與特征向量、化二次型的標(biāo)準(zhǔn)形等諸多問題的解決都要依賴于這三種等價(jià)關(guān)系. 根據(jù)等價(jià)、合同和相似的聯(lián)系的研究的結(jié)論是其一可利用等價(jià)矩陣的性質(zhì)來確定相似矩陣或合同矩陣的性質(zhì)其二可利用正交相似與正交合同的一致性，得到二者間彼此的轉(zhuǎn)化關(guān)鍵詞:矩陣的等價(jià);矩陣的相似;矩陣

2、的合同;等價(jià)條件引言： 在高等代數(shù)中，討論了矩陣的三種不同關(guān)系，它們分別為矩陣的等價(jià)、矩陣的相似和矩陣的合同等關(guān)系本文首先介紹了這三種關(guān)系以及每種關(guān)系的定義，性質(zhì)，相關(guān)定理及各自存在的條件，然后給出了這三種矩陣關(guān)系間的聯(lián)系，即相似矩陣、合同矩陣必為等價(jià)矩陣，相似為正交相似，合同為正交合同時(shí)，相似與合同一致還有矩陣的相似與合同之等價(jià)條件并對這些結(jié)論作了相應(yīng)的理論證明，最后給出了他們的區(qū)別和不變量.1矩陣間的三種關(guān)系1.1 矩陣的等價(jià)關(guān)系 定義1 兩個(gè)矩陣等價(jià)的充要條件為：存在可逆的階矩陣與可逆的 階矩陣，使由矩陣的等價(jià)關(guān)系，可以得到矩陣與等價(jià)必須具備的兩個(gè)條件：（1）矩陣與必為同型矩陣（不要求是

3、方陣）.（2）存在 階可逆矩陣和階可逆矩陣, 使得.性質(zhì)1（1）反身性：即.（2）對稱性：若，則（3）傳遞性：即若，則定理1 若為矩陣，且，則一定存在可逆矩陣（階）和（ 階），使得.其中為階單位矩陣.推論1 設(shè)是兩矩陣，則當(dāng)且僅當(dāng).1.2 矩陣的合同關(guān)系定義2 設(shè)均為數(shù)域上的階方陣，若存在數(shù)域上的階可逆矩陣，使得,則稱矩陣為合同矩陣（若數(shù)域上階可逆矩陣為正交矩陣），由矩陣的合同關(guān)系，不難得出矩陣與合同必須同時(shí)具備的兩個(gè)條件： (1) 矩陣與不僅為同型矩陣，而且是方陣.(2) 存在數(shù)域上的階矩陣,性質(zhì)2（1）反身性：任意矩陣都與自身合同.（2）對稱性：如果與合同，那么也與合同.（3）傳遞性：如果

4、與合同，又與合同，那么與合同.因此矩陣的合同關(guān)系也是等價(jià)關(guān)系，而且由定義可以直接推得：合同矩陣的秩等.定理2 數(shù)域F上兩個(gè)二次型等價(jià)的充要條件是它們的矩陣合同.定理3 復(fù)數(shù)域上秩為的二次型，可以用適當(dāng)?shù)臐M秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形： 1.3. 矩陣的相似關(guān)系定義3 設(shè)均為數(shù)域上階方陣，若存在數(shù)域上階可逆矩陣使得,則稱矩陣與為相似矩陣（若級可逆矩陣為正交陣，則稱與為正交相似矩陣）由矩陣的相似關(guān)系，不難得到矩陣與相似，必須同時(shí)具備兩個(gè)條件(1) 矩陣與不僅為同型矩陣，而且是方陣(2) 在數(shù)域上階可逆矩陣，使得性質(zhì)3 (1)反身性 ; (2)對稱性 由即得;（3）傳遞性 和即得 總之，合同是一種矩陣之間的

5、等價(jià)關(guān)系，而且經(jīng)過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型矩陣是合同的.(4) （其中是任意常數(shù)）；(5）；(6）若與相似，則與相似（為正整數(shù)）；(7) 相似矩陣有相同的秩，而且，如果為滿秩矩陣，那么. 即滿秩矩陣如果相似，那么它們的逆矩陣也相似. (8）相似的矩陣有相同的行列式； 因?yàn)槿绻?，則有： (9）相似的矩陣或者都可逆，或者都不可逆；并且當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣相似；設(shè)，若可逆，則從而可逆.且與相似.若不可逆，則不可逆，即也不可逆.下面這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)重要的結(jié)論，因此我們把它寫成以下定理 定理4 相似矩陣的特征值相同.推論3 相似矩陣有相同的跡.2 矩陣的等價(jià)、合同和相似之間的聯(lián)系（

6、1） 由以上三種矩陣間的關(guān)系的定義，可以知道每一種矩陣關(guān)系存在所必須具備的條件，但是這三種關(guān)系彼此間存在著密切的聯(lián)系定理5 相似矩陣必為等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣未必為相似矩陣證明： 設(shè)階方陣相似，由定義3知存在階可逆矩陣，使得，此時(shí)若記, ,則有,因此由定義1得到階方陣等價(jià) 反過來，對于矩陣,等價(jià)，但是與并不相似，即等價(jià)矩陣未必相似定理 6 對于階方陣，若存在階可逆矩陣 使,(即與等價(jià))，且 (為階單位矩陣)，則與相似證明： 設(shè)對于階方陣與,若存在階可逆矩陣,使,即與等價(jià)又知,若記 ,那么,也即,則矩陣也相似定理7 合同矩陣必為等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣未必為合同矩陣證明： 設(shè)階方陣合同，由定義2有，存在階

7、可逆矩陣，使得， 若記,則有因此由定義1得到階方陣等價(jià)反過來對于矩陣,等價(jià)，但是與并不合同，即等價(jià)矩陣未必合同定理8 正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣證明：若存在一個(gè)正交矩陣,即使得即，則有，即與合同. 同理，若存在一個(gè)正交矩陣，即使得即與合同，則有 由此可得1.相似陣、合同陣必為等價(jià)陣，但過來必成立2.相似陣為正交相似，合同陣為正交合同時(shí)，相似與合同一致.（2）但相似矩陣與合同矩陣有著一定的內(nèi)在聯(lián)系，如果兩者都具有反身性、對稱性和傳遞性，即兩者都是等價(jià)關(guān)系另外，在一定條件下，兩者是等價(jià)的若矩陣與正交相似，則它們既是相似也是合同的對于相似與合同矩陣之等價(jià)條件有以下定理，定理9

8、 如果與都是階實(shí)對稱矩陣，且有相同的特征根則與既相似又合同證明：設(shè)與的特征根均為因?yàn)榕c階實(shí)對稱矩陣，則一定存在一個(gè)階正交矩陣 Q使得同理，一定能找到一個(gè)正交矩陣使得從而有 將上式兩邊左乘和右乘,得由于,有,所以，是正交矩陣，由定理8知與相似定理10 若階矩陣與中只要有一個(gè)正交矩陣，則與相似且合同證明：不妨設(shè)是正交矩陣，則可逆，取,有，則與相似，又知是正交陣，所以與既相似又合同定理11 若與相似且又合同，與相似也合同，則有與 既相似又合同證明: 因?yàn)榕c,與相似，故存在可逆矩陣,，使,令,則且,故與相似又因?yàn)榕c合同，與合同,故存在可逆矩陣,令而故與合同3矩陣的等價(jià)、合同和相似之間的區(qū)別1、矩陣等價(jià)

9、：a.同型矩陣而言 b.一般與初等變換有關(guān) c.秩是矩陣等價(jià)的不變量，其次，兩同型矩陣相似的本質(zhì)是秩相等2、矩陣相似：a.針對方陣而言 b.秩相等是必要條件 c.本質(zhì)是二者有相等的不變因子3、矩陣合同：a.針對方陣而言，一般是對稱矩陣 b.秩相等是必需條件 c.本質(zhì)是秩相等且正慣性指數(shù)相等，即標(biāo)準(zhǔn)型相同 由以上知，秩是矩陣等價(jià)的不變量；不變因子是矩陣相似的不變量；特征值是可對角化矩陣相似的不變量，正負(fù)慣性指數(shù)是對稱矩陣合同的不變量，等價(jià)關(guān)系最弱、合同與相似是特殊的等價(jià)關(guān)系.由相似和合同一定可以推出等價(jià)，而反之不成立.相似與合同不可互推，需要一定的條件.而且等價(jià)是經(jīng)過有限次初等變換變得；相似不一定會(huì)都與對角陣相似，相似矩陣可看作是同一線性變換在不同基下的矩陣；合同可以通過二次型的非退化的線性替換來理解.結(jié)束語：矩陣中的這三種關(guān)系，在高等代數(shù)中是至關(guān)重要的，他們既包含著聯(lián)系，又蘊(yùn)涵著差別.相似矩陣、合同矩陣必為等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣不一定是相似矩陣也不一定是合同矩陣；相似為正交相似，合同為正交合同時(shí)，相似與合同一致；秩是矩陣等價(jià)的不變量；不變因子是矩陣相似的不變量，特征值是可對角化矩陣相似的不變量，正負(fù)慣性指數(shù)是對稱矩陣合同的不變量.參考文獻(xiàn)：1 張禾瑞.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社,1983.2 姚慕生.高等代數(shù)學(xué)M.復(fù)旦：