等差數列與等比數列

1、第 06 講 等差數列與等比數列溫故知新知識要點一等差數列1已知 sn 求 a n 的方法（只有一種） ：即利用公式s1, (n1)a n=sn1,(n 2)sn2 等差數列的有關概念： 等差數列的定義：如果數列 an 從第二項起每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列叫做等差數列，這個常數叫等差數列的公差。即a n an 1 d (n N * , 且n2) (或 an 1and (nN*) )等差數列的判斷方法：1） 定義法 ： a n 1and (常數 )a n為等差數列。2） 中項法 ： 2 an1ana n 2a n 為等差數列。3） 通項公式法 ： ananb （ a,b

2、為常數）a n為等差數列。等差數列的通項：ana1 ( n1)d 或 anam( nm) d 。公式變形為 :a n anb 其中 a=d, b=a1 d等差中項 ：如果 A ab，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項23等差數列的常用性質1）若 an 為等差數列，且k l m n， (k， l， m，n N * )，則 ak alam an2）在等差數列 an中，若 m n2 p ，則 aman2ap ；3）若 an ， bn 是等差數列，則 pan qbn 也是等差數列4）若 an 是等差數列，公差為 d，則 ak，akm，ak2m， (k，mN* )是公差為 md 的等差數列Sn5）等

3、差數列 an 中，數列Sm， S2m Sm， S3m S2m 也成等差數列； n 也是等差數列6）在等差數列 an 中，當項數為偶數 2n 時， snn(anan 1) ；s偶s奇nd ；s偶an 1 s奇an項數為奇數2n1時，s2n1(2n 1) an ； s偶 s奇a1 ； s偶n1 。s奇n7 ） 若 等 差 數 列 an 、 bn的 前 n 和 分 別 為 An、 Bn ， 且Anf (n) ， 則Bnan(2 n1)anA2n1f (2 n 1) 如 設a 與 bn 是兩個等差數列， 它們的前 nbn(2 n1)bnB2n1n項和分別為Sn 和 Tn4 等差數列的前n 項和公式n

4、a1 ann n 1設等差數列 an 的公差為 d，其前 n 項和 Sn或 Sn na12d25 等差數列的前n 項和公式與函數的關系d 2dSn 2n a1 2 n數列 an 是等差數列 ? SnAn 2 Bn( A、 B 為常數 )6 已知 a n 成等差數列，求sn 的最值問題： 若 a10 ,d0 且滿足 a0,n,則 sn 最小an10典例分析例 1已知數列 an 中，a13，an 21(n 2，n N* )，數列 bn 滿足 bn1 (n N *)5an 1an 1(1)求證：數列 bn 是等差數列；(2)求數列 an 中的最大項和最小項，并說明理由【解析】因為an 21 (n2，

5、 nN * )，an 11*bnan 1(n N ) ，1 1所以 bn 1bnan 1 1an 111an11an 1an1an 11 1an1 5又 b1 a1 1 2所以數列 bn 是以 52為首項， 1 為公差的等差數列(2) 解 由(1) 知 bn n 7， 2則 an 1 1 12bn2n 7設 f(x)12，2x7則 f(x)在區(qū)間 (，72)和( 72， )上為減函數所以當 n3 時， an 取得最小值1，當 n 4 時， an 取得最大值3例 2 (1)（ 2016?江西自主招生）等差數列 a n 中， 2（ a1+a4+a7 ）+3（ a9+a11） =24，則其前13 項

6、和為（）A 13B26C52 D 156(2)已知等差數列 an 的前 n 項和為 Sn，且 S10 10， S20 30，則 S30_【解析】 (1)解： 2（ a1+a1+3d+a1+6d ）+3（ a1+8d+a1+10d）=2（ 3a1+9d ）+3 （ 2a1+18d ）=12a1+72d=24 ， a1+6d=2 ， 即 a7=2S13=213=26故選B(2) S10， S20 S10， S30S20 成等差數列，且S10 10， S20 30， S20 S10 20，S30 30 10 210 30， S3060例 3已知 Sn 是等差數列 an 的前 n 項和，若 a1 2

7、014， S2 014 S2 008 6，則 S2 013等于2 0142 008（）A2 013B 2 013C 4 026D4 026【解析】由等差數列的性質可得 Snn 也為等差數列又 S2 014 S2 008 6d 6， d 12 0142 008故 S2 013 S1 2 012d 2 014 2 012 2，20131 S2 013 22 013 4 026，故選 C例 4設等差數列 an ， bn 的前 n 項和分別為Sn， Tn，若對任意自然數n 都有 Sn2n 3，Tn 4n 3a9a3則b5 b7b8 b4的值為 _【解析】 an ， bn 為等差數列， a a a9 a

8、3 a93a9 a36b5 b7b8 b4 2b62b62b6b6 S11 a1 a112a6211 3 19， T11 b1 b11 2b6 411 3 41 a6 19 b6 41例 5數列 an的首項 a13 , 通項 an 與前 n 項和 Sn 之間滿足 2an Sn Sn 1 ( n 2)(1) 求證 :1是等差數列 , 并求公差 ;Sn(2) 求數列 an 的通項公式 ;(3)數列 an中是否存在正整數k, 使得不等式 akak 1 對任意不小于 k 的正整數都成立?若存在 , 求出最小的 k, 若不存在 , 請說明理由 .【解析】(1) 當時anSnSn 1111n 2 ,2an

9、Sn Sn 12Sn2S n 1 Sn Sn 1Sn 1,Sn2而 11,1是首項為 1 , d1 的等差數列 .S13Sn32(2) 11( n1)(1)5 3n, Sn6SnS12653n當時118n2,an2Sn Sn 1(3n5)(3n 8)3(n 1),an18(n 2)(3n5)(3n18)108(3) akak 1(3k2)(3k5)(3k8)02k5 或 k8, 當k3時,有 akak 1 所求最小 k=3.333學霸說方法與技巧1在解有關等差數列的基本量問題時，可通過列關于a1， d 的方程組進行求解2證明等差數列要用定義；另外還可以用等差中項法，通項公式法，前n 項和公式法

10、判定一個數列是否為等差數列3等差數列性質靈活使用，可以大大減少運算量舉一反三1設等差數列an的前 n 項和為 Sn ，若 S972,則 a2 a4 a9 =?！窘馕觥縜n是等差數列 ,由 S972 ,得S99a5 , a58a2a4a9( a2 a9 ) a4( a5a6 ) a43a524 .2已知數列 an 滿足 a1 1，若點an， an 1 在直線 x y 1 0 上，則 an _n n 1anaaanan n1n1 n 1，所以數列n【解析】由題設可得n11 0，即n 1n是以 1 為公差的等差數列，且首項為1，故通項公式 an n，所以 an n2.n3(1) 等差數列an 的前

11、n 項和為 Sn ，已知 am 1am 1am20 ，S2m 138 ,則 m （）A38B 20C 10D 9.(2) 在 數 列 an 中 ， 若 a1 1 ， a2 1， 21 1( nN * ) ， 則 該 數 列 的通 項 為2an 1anan 2_【解析】 因為 an 是等差數列， 所以， am 1 am 12am ，由 am 1 am 1 am20 ，得：2 am am2 0，所以， am 2，又 S2 m 1 38，即 (2m1)(a1a2 m 1 ) 38，即（ 2m 1） 22 38，解得 m 10，故選 .C。(2) 由已知式 2 1 1 可得anan1 an 21 1a

12、1 1，知 1 是首項為1 1，公差為 1 1 21 1 的等差數列， 所以 1 aann 2aana1a2 a1ann 1n 11n，即 an n4兩個等差數列a n 和 b n ，其前 n 項和分別為Sn，T n，且，則是（）ABCD【解析】=故選： D5 已知等差數列 an 的前 n 項和為 Sn，且滿足 S3 S2 1，則數列 an 的公差是 ()321A 2B 1C 2D 3【解析】S n a1 anna1 an32，S，又 S S 1，n2n232得 a1 a3 a1 a2 1，即 a3 a2 2，22數列 an 的公差為26 設等差數列 an 的前 n 項和為 Sn，若 Sm 1

13、 2， Sm0， Sm 1 3，則 m _【解析】數列 an 為等差數列，且前n 項和為 Sn，數列Snn 也為等差數列 Sm1 Sm 1 2Sm，即 23 0，解得 m 5，經檢驗為原方程的解 【解析】m 1 m 1 mm 1 m1知識要點二等比數列1等比數列的概念如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數q( q0) ，這個數列叫做等比數列，常數q 稱為等比數列的公比2通項公式與前n 項和公式通項公式： an a1 qn 1 ， a1 為首項， q 為公比 前 n 項和公式：當 q1時， Snna1當 q1時， Sna1 (1 qn ) a1an q 1 q1q3等比中項如

14、果a,G, b 成等比數列，那么G 叫做a 與 b的等比中項即：G 是 a 與 b的等差中項a ，A ， b 成等差數列G 2a b 4等比數列的判定方法定義法： an1q （ nN， q0 是常數）an是等比數列；an中項法： an2an an2 ( nN) 且 an 0an是等比數列15等比數列的常用性質數列 an 是等比數列，則數列pan 、 pan（ q0是常數）都是等比數列；在等比數列an中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即 an , ank ,an2k , an 3k ,為等比數列，公比為qk anam qn m (n, m N )若 mnpq(m, n, p, qN) ，則

15、 am ana paq ；若等比數列an的前 n 項和 Sn ，則 Sk 、 S2kSk、 S3kS2k 、 S4kS3k 是等比數列典例分析例 1 (1)(2014 安徽 )數列 an 是等差數列，若 a11， a3 3，a5 5構成公比為q 的等比數列，則 q _.(2)已知等比數列 an 的前 n 項和為 Sn，且 a1 a3 5， a2 a45，則 Sn等于 ()24ann-1nA 4B4 1C 2n-1D 2n 1【解析】(1)設等差數列的公差為d，則 a3 a1 2d， a5 a1 4d， ( a1 2d 3)2 (a1 1)( a14d 5)，解得 d 1，a3 3a1 2 3q

16、a1 1a1 1 1.a1 a3 5，a1 a1q2 5，(2) 22a2 a4 5，a1q a1q3 5，442由可得 1 q3 2， q 1，代入得 a12，q q2an1 n 142() n，221n2 4(1 1n)，Sn12121Sn2n 2n 1，故選 D.4ann2例 2已知正項等比數列 an 滿足： a7 a6 2a5，若存在兩項am、 an 使得 aman 4a1，則 14的最小值為()mn3525A 2B 3C 6D不存在【解析】 A由題意可知，2 a5q 2a5(q0)，化簡得2 q 2 0，解得 q 1( 舍去 )a5qq或 q 2.又由已知條件 aman 4a1，得

17、a1qm 1a1qn1 16a21，m n 241 414mn14m n1 q 16 2 ， m n 6 ， m n 6 66m n5 n m5 24m n3，當且僅當4mn，即 m2， n 4時，取 “ ”nmn m2例 3已知數列 an 的前 n 項和為 Sn，數列 bn 中， b1 a1， bn an an 1 (n 2)，且 an Sn n(1)設 cn an 1，求證： cn 是等比數列；(2)求數列 bn 的通項公式【解析】 (1)證明 an Sn n， an1 Sn 1 n1 得 an 1 an an 1 1， 2an 1 an 1， 2(an 1 1) an 1，an1 1 1

18、 ， an 1 是等比數列an 1 21又 a1 a1 1， a1 2，首項 c1a1 1， c1 1，公比 q 122又 cn an 1， cn 是以1為首項， 1為公比的等比數列22(2)解由 (1) 可知 cn 11n 11n，222 an cn 1 1 1 n 2當 n2時， bn an an 1 11n1n 1212 1 n1 1 n 1 n22211n又 b1 a12代入上式也符合，bn2例 4已知 Sn 為等比數列 an前 n 項和， Sn54 ， S2n60 ，則 S3n【解析】an是等比數列，Sn , S2 nSn , S3n S2 n 為等比數列， 54( S3n60) 3

19、6S3n1823例 5成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2、 5、 13 后成為等比數列 bn 中的 b3、 b4、 b5(1)求數列 bn 的通項公式；nn，求證：數列Sn 5是等比數列(2)數列 b 的前 n 項和為S4【解析】設成等差數列的三個正數分別為a d， a， a d，依題意，得ad a ad 15，解得 a5所以 bn 中的 b3， b4， b5 依次為 7 d,10,18 d依題意，有 (7 d)(18 d) 100，解得 d 2 或 d 13(舍去 )故 bn 的第 3 項為 5，公比為 2由 b3 b122，即 5b1 22，解得 b154所以 bn

20、是以5為首項， 2 為公比的等比數列，其通項公式為5n 1n34bn 2 5245 2n55(2)證明4n 2n 2數列 bn 的前 n 項和 Sn 52，即 Sn 52 1 244Sn1 5n 1所以 S 5 5，452n 2 2142552Sn4因此 Sn 5是以 5為首項， 2 為公比的等比數列42例 6已知數列a 滿足，a11a22, an2 an an 1 , n N * .n2令 baa ，證明： bn 是等比數列；nn 1n( )求an 的通項公式?！窘馕觥浚?1）證 b1a2a11,當 n 2 時， bn an 1 anan 1anan1 ( anan 1 )1 bn 1,22

21、2所以 bn 是以 1 為首項，1 為公比的等比數列。2（2）解由（ 1）知 bnan 1 an( 1 )n 1 ,2當 n2 時， ana1(a2a1 ) ( a3a2 )(anan 1 ) 1 1 ( 1)( 1 )n 2221(1 )n12 1 ( 1) n 2 5 2 ( 1)n 1 ,1211(132332)2當 n1時， 5 2( 1)111 a1 。332所以 an5 2 ( 1 )n 1(n N * ) 。332舉一反三1 (1) 已知各項均為正數的等比數列 an 中， a1a2 a35， a7a8a9 10，則 a4a5a6 等于()A52B 7C 6D42(2)已知 Sn

22、為等比數列 an 的前 n 項和，且 S3 8，S6 7，則 a4 a5 a9 _【解析】(1)把 a1a2a3， a4a5a6， a7a8a9 看成一個整體，則由題意，知它們分別是一個等比數列的第1 項，第 4 項和第7 項，這里的第4 項剛好是第 1 項與第7 項的等比中項 因為數列 an 的各項均為正數，所以a4a5a6a1a2a3a7 a8a9 510 5 2(2)根據等比數列的性質，知S3， S6 S3， S9S6 成等比數列，即8,7 8， S9 7成等比2117數列，所以 ( 1) 8(S9 7)解得 S9 78所以 a4 a5 a9 S9 S3 78 8 82在各項為正的等比數列 an 中，a4 與 a14 的等比中項為 22，則 2a7 a11 的最小值 ()A16B 8C2 2D 4【解析】由題意知 a4a14 (2 2)222a9 a9 ，即 a9 22.設公比為 q(q 0)，所以 2a7 a11 2q24224224224a9q q2 22q 2q2 22q 8，當且僅當q2 2 2q ，即 q2時取等號，其最小值為8.答案B3已知數列 an 的各項均為正數，Sn 為其前 n 項和，且對任意的*