淺談中學二次函數(shù)解析式的求法

1、-姓名：朱志群 題目：淺談中學二次函數(shù)解析式的求法淺談中學二次函數(shù)解析式的求法 摘 要 二次函數(shù)是初中數(shù)學的一個重要內容之一，二次函數(shù)解析式的確定既是重點也是難點，實質上確定二次函數(shù)的解析式，就是確定函數(shù)解析式中未知數(shù)的系數(shù)，求二次函數(shù)解析式的方法很多，如：一般式、交點式、頂點式等，受文獻1、2、3的啟迪本文簡單總結了常見的六種求二次函數(shù)解析式的方法，及這六種方法在初中數(shù)學中的簡單應用。關鍵詞：二次函數(shù)解析式; 交點式; 頂點式; 平移思想; 數(shù)形結合思想analysis of a quadratic functionof schooi-based methodabstractquadrati

2、c function is a junior high school mathematics and an important part of the quadratic function of the analytical focus is not only difficult to determine, in essence, to determine the analytical quadratic function is determined in the unknown analytical coefficient, and analytical quadratic function

3、 many ways, such as: general type, intersection type, top-set blocks, due to the literature of the enlightenment 1、2、3 this article briefly summarizes the six kinds of common quadratic function for analytical methods and their applications.key words: analytic quadratic function; point type; vertex t

4、ype; translational thinking;numeber shape union thinking目錄摘 要1abstract21 引言42 中學二次函數(shù)解析式的幾種求法42.1一般式求二次函數(shù)的解析式42.2坐標與頂點式求二次函數(shù)的解析式52.2.1已知二次函數(shù)對稱軸的方程及圖象上另外兩點的坐標求二次函數(shù)的解析式52.2.2已知二次函數(shù)圖象上兩點的坐標及頂點的縱坐標，求二次函數(shù)的解析式62.2.3頂點式求二次函數(shù)的解析式72.3交點式求二次函數(shù)的解析式82.4對稱點式析式82.5平移法求二次函數(shù)的解析式92.6數(shù)形結合法求二次函數(shù)的解析式123 總結13參考文獻13致謝131

5、引言 函數(shù)是中學數(shù)學最重要的內容之一，它的建立是數(shù)學從常量轉入變量的樞紐，從數(shù)量關系反映客觀世界之間的相互依存，相互制約的變化規(guī)律。而函數(shù)思想是用變量和函數(shù)之間的關系來思考問題，其本質是變量和函數(shù)之間的對應關系，它與方程的思想是不可分割的。在中學考試方面，函數(shù)部分通常把一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、幾何等綜合在一起，在解決實際問題方面，?？祭枚魏瘮?shù)的性質求面積、利潤等的最大值和最小值，然而求二次函數(shù)的解析式通常是解決題目的出發(fā)點，因此探究求二次函數(shù)解析式的方法已成為重點內容之一，本文從二次函數(shù)解析式的一般形式到特殊形式依次總結出一般式、頂點式、交點式、對稱點式、平移法、數(shù)形結合法六種求二

6、次函數(shù)解析式的方法，及這六種方法在初中數(shù)學中的簡單應用。2 中學二次函數(shù)解析式的幾種求法從二次函數(shù)的定義出發(fā)，利用二次函數(shù)圖象與一元二次方程根的關系、二次函數(shù)圖象在平移前后圖像上對應點的坐標之間與向量的關系及二次函數(shù)的性質，本文簡單談怎樣運用一般式、頂點式、交點式、對稱點式、平移法、數(shù)形結合法求二次函數(shù)的解析式。2.1一般式求二次函數(shù)的解析式 求函數(shù)解析式最基本的方法是定義法，(a0)是二次函數(shù)的一般解析式，從解析式的形式上看有三個待定系數(shù)，只要知道圖像上三個點的坐標，進而將這三個點的坐標分別代入二次函數(shù)的一般解析式，即可求出二次函數(shù)的解析式。例1 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過a（-1，10），b（

7、1，4），c（2，7）三點，求這個二次函數(shù)的解析式。解：設二次函數(shù)的解析式為y=ax+bx+c，由函數(shù)圖像經(jīng)過a（-1，10），b（1，4），c（2，7）三點，得:由（1）-（2）得:-2b=6 即b=-3由（3）-（1）得:3a+3b=-3將b=-3代入得:a=2將a=2,b=-3代入（1）得:c=5即 所以，所求函數(shù)的解析式為:.2.2坐標與頂點式求二次函數(shù)的解析式由經(jīng)過配方變形可化為，此時，頂點坐標為，對稱軸為，根據(jù)對稱軸和頂點坐標的定義可分三種情況求二次函數(shù)的解析式。2.2.1已知二次函數(shù)對稱軸的方程及圖象上另外兩點的坐標求二次函數(shù)的解析式將已知兩點的坐標和對稱軸的方程分別代人二次函數(shù)

8、的一般式和對稱軸的坐標公式即可求出二次函數(shù)的解析式。 例2 已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于a，b(4,0)兩點,與y軸交于點c（0，8），對稱軸為，求二次函數(shù)的解析式。 解：設二次函數(shù)的解析式為，由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，對稱軸，得： 由（3）得: 將（2）（4）代入（1）得： ,即 將代入（4）得:即所以,所求二次函數(shù)的解析式為：.2.2.2已知二次函數(shù)圖象上兩點的坐標及頂點的縱坐標，求二次函數(shù)的解析式將已知兩點的坐標和頂點的縱坐標坐標分別代人二次函數(shù)的一般式和頂點坐標公式即可求出二次函數(shù)的解析式。例3 已知二次函數(shù)的圖像與軸交于a、b兩點,與y軸交于點c，其頂點的縱坐標為求二次函數(shù)的解析式。

9、 解：設二次函數(shù)的解析式為由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，頂點的縱坐標為得： 將代入得:將代入得:或分別將和代入得:或 即 或 所以,所求二次函數(shù)的解析式為或.2.2.3頂點式求二次函數(shù)的解析式已知函數(shù)圖象的頂點坐標為，則二次函數(shù)的解析式可以設為 因此只要知道函數(shù)圖象上任意一個點的坐標，將已知點的坐標代入所設解析式即可求出的值,從而求出二次函數(shù)的解析式。例4 已知拋物線在點達到最高點，且與軸交于點求拋物線的解析式。解：根據(jù)題意知點為拋物線的頂點，則可設拋物線的解析為將點代入得: 所以,所求函數(shù)的解析式為： . 一般地，只要知道函數(shù)圖像上任意一點的坐標和頂點坐標，均可以運用以上三種方法求二次函數(shù)的解析

10、式，然而從函數(shù)解析式的形式上看運用頂點式求解比較簡便。2.3交點式求二次函數(shù)的解析式 利用二次函數(shù)圖象與一元二次方程根的關系，若知道二次函數(shù)與軸有兩個交點,相當于方程有兩個不相等的實根即，因此二次函數(shù)可以表示為，此 時只要知道二次函數(shù)圖象上任意一點的坐標即可求出二次函數(shù)的解析式。例5 已知二次函數(shù)圖象與軸交于點且過點，求二次函數(shù)的解析式。 解：設二次函數(shù)的解析式為. 將點代入得： 所以,所求的函數(shù)的解析式為 即 .2.4對稱點式求二次函數(shù)的解析式若已知拋物線上的兩個對稱點時，拋物線的解析式可設為.注：（1）當0時,把原直角坐標系中的軸向上平移個單位,則在新坐標系中拋物線的解析式可設為,因而原坐

11、標系下的拋物線是新坐標系下的拋物線不動, 軸向下平移個單位,即 ,亦即.（2）當0時,把原直角坐標系中軸向下平移個單位,則在新坐標系中拋物線的解析式可設為,因而原坐標系下的拋物線是新坐標系下的拋物線不動,軸向上平移個單位,即 亦即 .例6 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點，求二次函數(shù)的解析式。 解：因為點為拋物線上關于軸對稱的兩點， 所以可設二次函數(shù)的解析式為.將點代入得: 所以,所求函數(shù)的解析式為：.本題根據(jù)題意可以運用一般式求二次函數(shù)的解析式，從一般式和對稱點式的表達式上看運用對稱點式求解比較簡單、快捷，因此在做題時要注意觀察任意兩點坐標之間的關系。2.5平移法求二次函數(shù)的解析式平移法是運用平移

12、原則建立平移前后圖像上對應點坐標之間的等量的關系，然后運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法，運用平移法求二次函數(shù)的解析式是非常直接和簡便的。 (1)已知拋物線的頂點坐標為.將拋物線向右平移個單位，則頂點的縱坐標不變，橫坐標加，即頂點的坐標變?yōu)?若向左平移個單位,則橫坐標減即頂點的坐標為.將拋物線向上平移個單位,則頂點的橫坐標不變,縱坐標加,即頂點的坐標變?yōu)?若向下平移個單位,則頂點的橫坐標不變,縱坐標減,即頂點的坐標變?yōu)?(2)特別地,直接在變量的位置和變量的位置平移時,坐標滿足“左加右減，上加下減”的原則。注：設原函數(shù)圖象上的任意一點的坐標為經(jīng)過平移后的坐標變?yōu)?若將函數(shù)圖象向左平移個單位，

13、相當于函數(shù)圖象按向量平移，由平移坐標公式得:即代入二此函數(shù)的一般解析式得.若將函數(shù)向右平移個單位,相當于函數(shù)圖象按向量平移, 由平移坐標公式得:即代入二此函數(shù)的一般解析式得.若將函數(shù)向上平移個單位, 相當于函數(shù)圖象按向量平移, 由平移坐標公式得:即代入二此函數(shù)的一般解析式得即.若將函數(shù)圖象向下平移個單位, 相當于函數(shù)圖象按向量平移, 由平移坐標公式得即代入二此函數(shù)的一般解析式得即.例7 已知拋物線的圖象經(jīng)過點，且向右平移2個單位，再向上平移3個單位所得函數(shù)的解析式為，求拋物線的解析式。 解：因為將圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位得,且過點，則 解得： 所以,所求函數(shù)解析式為. 運用平移

14、法求二次函數(shù)解析式的時候，首先要記得平移原則，其次要知道是經(jīng)過怎樣的平移得到怎樣的函數(shù)表達式，即要分清平移前后函數(shù)表達式的形式。2.6數(shù)形結合法求二次函數(shù)的解析式數(shù)形結合思想是在解決函數(shù)問題過程中的一種重要思想，而數(shù)形結合法是最直觀的方法，是運用函數(shù)圖像直接體現(xiàn)已知條件，在根據(jù)已知條件選擇恰當?shù)亩魏瘮?shù)解析式的形式，使得問題簡單易求。例8 如圖，已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為，求二次函數(shù)的解析式。 解：由圖象可知二次函數(shù)經(jīng)過點，對稱軸為，則由二次函數(shù)的對稱性知圖像與軸的另一個交點坐標為 根據(jù)交點式可將二次函數(shù)的解析式設為： 將點代入得: 所以,所求函數(shù)解析式為：. 3 總結求二次函數(shù)解析式的方法很

15、多，本文只是列出常見的六種，求二次函數(shù)解析式的這類問題比較常見，所給出的條件往往是多種多樣的，解題時要注意根據(jù)題意轉化問題，從不同的角度尋找條件，再根據(jù)條件選擇恰當?shù)姆椒▉碓O二次函數(shù)的解析式，盡可能使表達式中待定系數(shù)的個數(shù)較少，簡單易求，最終達到事半功倍的效果。 參考文獻 1 曾文.二次函數(shù)解析式的求法,黔東南民族師范高等?？茖W校學報.2005年12月,第23卷第6期. 2 薛美.淺析二次函數(shù)解析式的求法,中學數(shù)學雜志.2002年,第2期.3 喻俊鵬.二次函數(shù)解析式的求法,讀與算（中考版）.2007年1、2月. 致謝本課題在選題及研究過程中得到文開庭老師和郭愛麗老師的悉心指導，文老師和郭老師多次詢問研究進程