用坐標(biāo)伸縮變換解決橢圓問題 (1)

1、第33卷第4期2014年4月數(shù)學(xué)教學(xué)研究33用坐標(biāo)伸縮變換解決橢圓問題宋波(蘭州市第四十五中學(xué)，甘肅蘭州730070)在高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)選修44中，介紹了平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換若在坐標(biāo)伸縮變換下，橢圓就可以變?yōu)閳A，二者有很多相似的性質(zhì)，從而可將橢圓的有些問題用圓的知識(shí)來處理，比如研究直線和橢圓、橢例2設(shè)直線kx一1和橢圓xz+=1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k和的取值范圍解令z一號(hào)，yp一，則已知橢圓和圓和橢圓的位置關(guān)系、與橢圓有關(guān)的問題時(shí)，用坐標(biāo)伸縮變換轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系、與圓有關(guān)的問題來處直線變?yōu)橄鄳?yīng)的圓和直線z+y。一1，m理這樣做不僅可以方便理解，還可以避免較為繁瑣

2、的計(jì)算過程下面分類舉例予以說明1直線和橢圓的位置關(guān)系例1當(dāng)m為何值時(shí)，直線z：z+7一。與橢圓m：+一1相交?解橢圓m和直線的方程可變形為(專一)+(詈+)一，2詈一3罷+mo令z：號(hào)，3，一罟，可得相應(yīng)直線和圓z1：2-3y+mo，m1：(一1)+(+1)。一1要使已知的直線z與橢圓m相交，只要相應(yīng)的直線z與圓m1相交因此圓m1的圓心(1，一1)到直線厶的距離小于半徑1，即i二圣=2l1、2+(-3)2解得5一、，m一5+西一所以當(dāng)一5一西一5+、，西時(shí)已知直2尼z一v一lo要使已知的直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，只要相應(yīng)的直線與圓相切由直線和圓相切的充要條件可知l一1i一1(2k)2+m即

3、l-4k，故得01，即o1-4k1，解得號(hào)o)內(nèi)含?解已知兩橢圓方程可變形為線與橢圓相交(詈一)+(詈+)=，34數(shù)學(xué)教學(xué)研究第33卷第4期2o14年4月(專)+(詈)。一2令z一吾，yr一罟，可得相應(yīng)兩圓(一1)。-4-(y-4-1)一1，iz+y2m2要使已知兩橢圓相內(nèi)含，只要使所得相應(yīng)的兩圓相內(nèi)含由兩圓內(nèi)含的充要條件可知(1-o)+(一1-0)。o)，解得ml+或m1+2時(shí)，橢圓c1內(nèi)含于橢圓c2評(píng)析用兩圓的位置關(guān)系來代替兩橢圓的位置關(guān)系顯然問題容易解決，而坐標(biāo)伸縮變換恰好溝通了兩者之間的關(guān)系，化繁為簡(jiǎn)，安全可靠3求橢圓的中點(diǎn)弦直線方程所以，以p(m，九)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為b旦b

4、一一以(詈n一rna)，即易璣z+口72v一6。一n71。=o評(píng)析本題也可用韋達(dá)定理或“點(diǎn)差法”或中心對(duì)稱來解決，但運(yùn)算較繁，而以上方法用坐標(biāo)伸縮變換將橢圓轉(zhuǎn)化為圓，運(yùn)用圓的性質(zhì)輕松求解，其方法有獨(dú)特之處4求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到定直線(或定點(diǎn))的距離最值例5在橢圓等+等一1上求一點(diǎn)，使它到直線z：3z2一16：=0的距離最短，并求此距離解令一號(hào)，y一，則已知橢圓和例4已知橢圓32+一1，定點(diǎn)，直線z變?yōu)橄鄳?yīng)的圓+一1和直線z：組p(，)(mo)在橢圓內(nèi)，求以p(m，72)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程解令72一詈【，y一，則已知橢圓和定點(diǎn)p(m，)變?yōu)橄鄳?yīng)的圓z+一1和定點(diǎn)p(，詈)，從而所求問題變?yōu)椋呵?/p>

5、圓z+3，=1內(nèi)以p(m口，詈)為中點(diǎn)的弦所在直線方程因?yàn)橹本€op的斜率衛(wèi)6一247y一16一o，從而所求問題變?yōu)椋呵髨A。+。mar-1上一點(diǎn)到直線z：6z一2160的距離最短問題，由平面幾何知識(shí)可知，過圓z+=1的圓心0(o，o)作直線z的垂線段，交圓于點(diǎn)p(z，y)，點(diǎn)p到垂足的距離最短，由直線z的垂線op：y等z和圓z+一1相交，解方程一一可求得點(diǎn)p為(3，一)，則相應(yīng)橢圓上所求的點(diǎn)p(32一，一)，所求最短距離為i3x+2l8湎走b72、13op一m一則以p為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為bm弦n，所在直線的方程為y一孕=一tym(一dam一n)評(píng)析此類問題可用函數(shù)法或判別式法或?qū)?shù)法或參數(shù)

6、法求解，而用坐標(biāo)伸縮變換將橢圓和直線(或定點(diǎn))轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圓和直線(或定點(diǎn))，運(yùn)用圓的性質(zhì)和平面幾何知識(shí)使問題易于理解，又可避免較為繁瑣的計(jì)算過程第33卷第4期2014年4月數(shù)學(xué)教學(xué)研究355求橢圓方程中，lnl一導(dǎo)，因?yàn)槔?已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在z嘉+荸一1，即z+芋一m、軸上，離心率為，過點(diǎn)m(o，2)作直線l與橢圓交于a，b，設(shè)n為ab的中點(diǎn)，且尼一，一3，求橢圓的方程解設(shè)橢圓方程為+一1(口6o)，已知e一旦得as=2b。，橢圓方程變?yōu)?，a22令z一，y一，則橢圓和定點(diǎn)m(o，2)變?yōu)橄鄳?yīng)的圓x+y一2b和定點(diǎn)(o，2)變化前后如圖1所示ylmallmal3叮一耐一又n為ab的中

7、點(diǎn)，所以lanl一寺imni一號(hào)，則loal。=2b一+iani。=號(hào)，得b。一魯，故橢圓方程為+一142評(píng)析本題用坐標(biāo)伸縮變換將橢圓轉(zhuǎn)化為圓，使得題目中的已知條件變?yōu)閳A的問題，從而就多增加了圓心與弦的中點(diǎn)的連線與弦垂直這個(gè)條件，利用圓中的垂徑定理和勾股定理，使問題變得容易解決6求以橢圓為載體的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程例7已知橢圓方程為磊+蒹一1，過定二、，點(diǎn)p(0，3)作直線ab，cd，分別交橢圓于a，b，c，d，ad的中點(diǎn)為m，已知點(diǎn)b一一、變換前變換后圖1設(shè)n(xo，yo)，n(z0，yo)，則要一-f2kc一，=因?yàn)閚為ab的中點(diǎn)，所以坐標(biāo)伸縮變換后，n為a，b的中點(diǎn)，所以0，n_l-a，b，則a

8、b=一=-22，所以直線ab方程為一一2z+2，到直線ab的距離一lon一22又10mi一2，所以在rtaomn，i，i求點(diǎn)m的軌跡方程，解已知橢圓的方程可變?yōu)殄?25令=13，y=，則橢圓和定點(diǎn)p(o，3)變?yōu)橄鄳?yīng)的圓x+佗一25和定點(diǎn)p(o，3)變化前后如圖2所示j。，j丁-yz一百5變換前忌b一yl-yzz】一2變換后圖2yl4，z1一236數(shù)學(xué)教學(xué)研究第33卷第4期2014年4月同理可得志一是因?yàn)樽遖b。志一一，所以1(口6o)和定點(diǎn)a(一口，0)變?yōu)橄鄳?yīng)一的圓lz。+一1和定點(diǎn)a(-1，o)變化前后如圖3所示即直線ab-上_c，d，垂足為p，因?yàn)閙為|rkab，kcd，一1lad的中

9、點(diǎn)，所以坐標(biāo)伸縮變換后，為ad的中點(diǎn)，則0，m上ad，a、a一idmf。=25一(丟ipm一告iadi，設(shè)m(x，)，(，y)，則變換前iadf)圖3變換后所以即所以在變換后的圖形中，連結(jié)()，q，延長(zhǎng)一25一lpmliq，0交圓于一點(diǎn)b，再連結(jié)ab由等腰a，q可知0，aq一0，qa，所以rta，q和rt，a相似，因此+。=25一z。一(-3)，。+。-3y一8一o，aq一bq從而得囂iz+。一3y一80，aqa，r一220pqrn，故所求點(diǎn)m的軌跡方程為。一一一25x+16y248一128=o評(píng)析本題用坐標(biāo)伸縮變換將愚ab志轉(zhuǎn)化為圓中的knb，意d，一一1，則，由于坐標(biāo)伸縮變換保持平行線上的

10、兩個(gè)線段的長(zhǎng)度之比不變，所以有aq一2，即aqar=20p。，故aq，2op，ar成等比在圓中就多增加了兩條弦互相垂直這個(gè)條件，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)，給問題的解決帶來了很大的方便7解決以橢圓為載體的有關(guān)證明問題例8(2009年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)已知橢圓+一1(n6o)，過橢圓左頂點(diǎn)a(一口，o)的直線z與橢圓交于點(diǎn)q，與y軸交于點(diǎn)r，過原點(diǎn)與z平行的直線與橢圓交于點(diǎn)p求證：aq，op，ar成等比數(shù)列證明令一詈，一，則橢圓+數(shù)列評(píng)析本題可以通過韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及“設(shè)而不求”的思想給出解答，但求解過程較為繁瑣而以上方法用坐標(biāo)伸縮變換將橢圓問題化作圓處理，解答過程完全退去了代數(shù)運(yùn)算