知識(shí)講解 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理(提高)

1、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理2理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別3會(huì)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理(也稱(chēng)加法原理)1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事,有n類(lèi)辦法.在第1類(lèi)辦法中有m種不同方法,在第2類(lèi)辦法中有m種不同的方法,12在第n類(lèi)辦法中有m種不同方法,那么完成這件事共有n=m+m+m種不同的方法.n12n2加法原理的特點(diǎn)是：完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類(lèi)；用每一類(lèi)中的每一種方法都可以完成這件事；把每一類(lèi)的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所

2、有方法數(shù)要點(diǎn)詮釋?zhuān)菏褂梅诸?lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對(duì)這件事確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，第二步是確定各類(lèi)的方法數(shù)，第三步是取和。3圖示分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：由a到b算作完成一件事.直線(xiàn)型流程線(xiàn)表示第1類(lèi)方案中包括的方法數(shù)，折線(xiàn)型流程線(xiàn)表示第2類(lèi)方案中包括的方法數(shù)。從圖中可以看出，完成由a到b這件事，共有方法m+n種。要點(diǎn)詮釋?zhuān)河梅诸?lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，“類(lèi)”要一竿到底，它的起點(diǎn)、終點(diǎn)就是完成這件事的開(kāi)始與結(jié)束，圖示分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，用意就在其中。要點(diǎn)二、分步乘法計(jì)數(shù)原理1.分步乘法計(jì)數(shù)原理“做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟”，就是說(shuō)完成這件事的任何一種方法，都要分成n個(gè)

3、步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算完成2乘法原理的特點(diǎn)：完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可；完成每一步有若干種方法；把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)要點(diǎn)詮釋?zhuān)旱?頁(yè)共9頁(yè)使用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對(duì)完成這件事進(jìn)行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積。3.圖示分步乘法計(jì)數(shù)原理：由a到c算作完成一件事.設(shè)完成這件事的兩個(gè)步驟為從a到b、從b到c。要點(diǎn)詮釋?zhuān)簭腶到c算作完成一件事，a是起點(diǎn)，c是終點(diǎn)，點(diǎn)b是中間單元，從a到b是第1步，從b到c是第2步。用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題，按著這個(gè)模式施行就可以了，可簡(jiǎn)單地理解為

4、：ab，有m種方法；bc，有n種方法；ac，有mn種方法。要點(diǎn)三、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類(lèi)有關(guān)，一個(gè)和分步有關(guān).完成一件事的方法種數(shù)若需“分類(lèi)”思考，則這n類(lèi)辦法是相互獨(dú)立的，且無(wú)論哪一類(lèi)辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，則用加法原理；若完成某件事需分n個(gè)步驟，這n個(gè)步驟相互依存，具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這n個(gè)步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計(jì)算2.應(yīng)用兩個(gè)原理的分別要注意：若用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，要做到“不重不漏”，分類(lèi)后再分別對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，即加法原理求和得到總數(shù)

5、；若用分步計(jì)數(shù)原理，要做到步驟“完整”完成了所有步驟，恰好完成所有任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，即乘法原理把完成每一步的方法數(shù)相乘得到總數(shù)要點(diǎn)四、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1.利用兩個(gè)基本原理解決具體問(wèn)題時(shí)的思考程序：（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？（2）然后考慮如何完成？主要有三種類(lèi)型分類(lèi)或分步。先分類(lèi)，再在每一類(lèi)里再分步。先分步，再在每一步里再分類(lèi)，等等。（3）最后考慮每一類(lèi)或每一步的不同方法數(shù)是多少？2.利用兩個(gè)基本原理解決具體問(wèn)題時(shí)的注意事項(xiàng)：（1）應(yīng)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，應(yīng)注意：第2頁(yè)共9頁(yè)分類(lèi)時(shí)，要按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分，最忌

6、采用雙重或多重標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)；每一類(lèi)中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；它的起點(diǎn)、終點(diǎn)就是完成這件事情的開(kāi)始和結(jié)束；兩類(lèi)不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類(lèi)不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(lèi)(即分類(lèi)不漏).（2）應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理，應(yīng)注意：任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同.3.利用兩個(gè)基本原理解決具體問(wèn)題時(shí)的方法技巧：利用兩個(gè)基本原理解決具體問(wèn)題，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是分類(lèi)或者分步。類(lèi)與步的關(guān)系式辯證的。有些問(wèn)題需要先分類(lèi)，再在每一類(lèi)里再分步；有些問(wèn)題需要先分步，再在每一步里再分

7、類(lèi)，等等。到底采用何種順序分類(lèi)與分步，要看類(lèi)的趨勢(shì)和步的趨勢(shì)誰(shuí)大誰(shuí)小。下面用用流程圖直觀描述。（1）類(lèi)中有步情形從a到b算作一件事的完成。完成這件事有兩類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有3步，在第2類(lèi)辦法中有2步，每步的方法數(shù)見(jiàn)箭線(xiàn)下面的mi，i=1，2，3，4，5。完成ab這件事，共有方法數(shù)為m1m2m3+m4m5。（2）步中有類(lèi)情形從a到d算作完成一件事，簡(jiǎn)單地記為ad。完成ad這件事，需要經(jīng)歷三步，即ab，bc，cd。其中bc這步又分為三類(lèi)，這就是步中有類(lèi)。箭線(xiàn)下面的mi（i=1，2，3，4，5）表示相應(yīng)步的方法數(shù)。完成ad這件事，共有方法數(shù)為m1(m2+m3+m4)m5。要點(diǎn)詮釋?zhuān)簩?duì)“類(lèi)”與“步

8、”的理解，要再上一個(gè)層次，可進(jìn)一步地理解為：類(lèi)”用“+”號(hào)連結(jié)，“步”用“”號(hào)連結(jié)，“類(lèi)”獨(dú)立，“步”連續(xù)，“類(lèi)”標(biāo)志一件事的完成，“步”缺一不可。使用計(jì)數(shù)原理解題，大部分離不開(kāi)分類(lèi)。分類(lèi)時(shí)，要按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分，最忌采用雙重或多重標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)?！镜湫屠}】類(lèi)型一、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理例1.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有_個(gè)第3頁(yè)共9頁(yè)【思路點(diǎn)撥】首要問(wèn)題是搞清與正八邊形有公共邊的三角形有幾類(lèi)?！究偨Y(jié)升華】應(yīng)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，應(yīng)注意：分類(lèi)時(shí)，要按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分，最忌采用雙重或多重標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)；每一類(lèi)中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；它的起點(diǎn)、終點(diǎn)就是完成這件事情

9、的開(kāi)始和結(jié)束；舉一反三：【變式1】用數(shù)字1,2,3可寫(xiě)出多少個(gè)小于1000的正整數(shù)?(各位上的數(shù)字允許重復(fù))【答案】分三類(lèi)情況：一位整數(shù)，有3個(gè)；二位整數(shù)，有33=32個(gè)；三位整數(shù)，有333=33個(gè)；故共有3+32+33=39個(gè)?！咀兪?】在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？【答案】根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類(lèi)，在每一類(lèi)中滿(mǎn)足題目條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（個(gè)）【變式3】從1,2，3，,10中選出3個(gè)不同的數(shù)，

10、使這三個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的數(shù)列共有多少個(gè)？【答案】根據(jù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差，分為公差為1、2、3、4四類(lèi).公差為1時(shí)，有8216個(gè)；公差為2時(shí)，滿(mǎn)足要求的數(shù)列共6212個(gè)；公差為3時(shí)，有428個(gè)；公差為4時(shí)，只有224個(gè).由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可知，共構(gòu)成了不同的等差數(shù)列16128440個(gè).類(lèi)型二、分步乘法計(jì)數(shù)原理例2.體育場(chǎng)南側(cè)有4個(gè)大門(mén)，北側(cè)有3個(gè)大門(mén)，某學(xué)生到該體育場(chǎng)練跑步，則他進(jìn)出門(mén)的方案有（）a12種b7種c24種d49種【思路點(diǎn)撥】首先弄明白完成一次進(jìn)出門(mén)需分兩步走，先進(jìn)再出?！窘馕觥垮e(cuò)解：學(xué)生進(jìn)出體育場(chǎng)大門(mén)需分兩類(lèi)，一類(lèi)從北邊的4個(gè)門(mén)進(jìn)，一類(lèi)從南側(cè)的3個(gè)門(mén)進(jìn)，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有7

11、種方案.選b錯(cuò)因:沒(méi)有審清題意本題不僅要考慮從哪個(gè)門(mén)進(jìn)，還需考慮從哪個(gè)門(mén)出，應(yīng)該用分步計(jì)數(shù)原理去解題.第4頁(yè)共9頁(yè)正解：學(xué)生進(jìn)門(mén)有7種選擇，同樣出門(mén)也有7種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理，該學(xué)生的進(jìn)出門(mén)方案有7749種.應(yīng)選d【總結(jié)升華】解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清分類(lèi)還是分步用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，確定一個(gè)分步的可行標(biāo)準(zhǔn)；其次還要注意完成這件事情必須且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事情才算圓滿(mǎn)完成，這時(shí)才能使用分步乘法計(jì)數(shù)原理同時(shí)，要弄清每一步驟中完成本步驟的方法種數(shù)舉一反三：【變式1】從甲地到乙地，一天中有火車(chē)2班，從乙地到丙地，一天中有汽車(chē)3班，那么從甲地經(jīng)乙地到丙地共有種

12、不同的走法?！敬鸢浮?；完成這件事，分兩個(gè)步驟：第一步是乘火車(chē)，有2種不同方法；第二步是乘汽車(chē)，有3種不同方法。則完成這件事，由分步計(jì)數(shù)原理，共有n=23=6種不同方法?！咀兪?】從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）a300種b240種c144種d96種【答案】四個(gè)游覽城市中只有巴黎有限制要求，甲、乙不去，因而可以先安排去巴黎的人，再依次安排去其他城市的人，整個(gè)事件的安排可以分為四步，每一步安排一個(gè)城市，因而按分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算去巴黎的人為除甲、乙兩個(gè)人外的其余四人，只

13、能有一人去，所以有4種選擇再安排一人去剩下的三個(gè)城市中的一個(gè)，比如倫敦，剩余有五人，因而有5種選擇再?gòu)氖Ｏ碌乃娜酥羞x一人去剩下的兩個(gè)城市中的一個(gè)，所以有4種選擇最后一個(gè)城市只能從剩余的三人中選一人，所以有3種選擇所以4543=240（種）【變式3】甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，則甲、乙所選的課程中恰有1門(mén)相同的選法有()a6種b12種c24種d30種【答案】c類(lèi)型三、兩個(gè)原理的對(duì)比應(yīng)用例3.一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球，所有這些小球的顏色互不相同（1）從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？（2）從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？【思路點(diǎn)撥】欲完成從兩

14、個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球這件事，可有兩類(lèi)辦法：從第一個(gè)口袋內(nèi)取，或從第二個(gè)口袋內(nèi)取，都能完成這件事，所以第（1）題可用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理來(lái)解欲完成從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，需分兩個(gè)步驟：第一步，在第一個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球；第二步，在第二個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，兩個(gè)步驟都第5頁(yè)共9頁(yè)完成了這件事就完成了，因此第（2）題用分步乘法計(jì)數(shù)原理【解析】（1）從兩個(gè)口袋內(nèi)i任取1個(gè)小球，有兩類(lèi)辦法：第一類(lèi)辦法是從第一個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，可以從5個(gè)小球中任取1個(gè)，有5種方法；第二類(lèi)辦法是從第二個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，可以從4個(gè)小球中任取1個(gè)，有4種方激根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法有n=5+4=9（種）（2）從兩

15、個(gè)口袋內(nèi)各取1個(gè)小球，可以分成兩個(gè)步驟來(lái)完成：第一步，從第一個(gè)口袋內(nèi)取1個(gè)小球，有5種方法；第二步，從第二個(gè)口袋內(nèi)取1個(gè)小球，有4種方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法有n=54=20（種）【總結(jié)升華】在用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)，一定要分清完成這件事，是有，l類(lèi)辦法還是需分成n個(gè)步驟應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理必須要求各類(lèi)中的每一種方法都保證完成這件事應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理則是需各步均是完成這件事必須經(jīng)由的若干彼此獨(dú)立的步驟舉一反三：【變式】現(xiàn)有一分硬幣3枚，兩角紙幣6張，十元紙幣4張，則它們共可以組成多少種非零的幣值?【答案】方法一：利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理.以使用錢(qián)幣的種類(lèi)去分類(lèi)，共可以分為：(1)第一類(lèi)：只使

16、用一種錢(qián)幣.若只使用一分硬幣，可以取出1枚，2枚或3枚硬幣，共可組成3種非零幣值.同理，若只用兩角紙幣，共可以組成6種非零幣值.只用十元紙幣，共可以組成4種非零幣值.因此，只使用一種錢(qián)幣，可以組成非零幣值數(shù)為3+6+4=13種.(2)第二類(lèi)：使用兩種錢(qián)幣.若用一分硬幣和兩角紙幣，共可組成幣值36=18種；若用一分硬幣和十元紙幣，共可組成幣值34=12種；若用兩角紙幣和十元紙幣，共可組成幣值64=24種.因此，使用兩種錢(qián)幣可以組成非零幣值數(shù)為18+12+24=54種.(3)第三類(lèi)：使用三種錢(qián)幣.使用三種錢(qián)幣組成的非零幣值數(shù)為364=72種.根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共可組成非零幣值總數(shù)為13+54+72

17、=139種.方法二：利用分步計(jì)數(shù)原理.第一步，取一分硬幣，可以不取，取l枚，2枚或3枚硬幣，共有4種取法；第二步取兩角紙幣，共有7種取法；第三步取十元紙幣，共有5種取法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，總共的幣值數(shù)為475=140種.除去其中一種零幣值，非零幣值的方法數(shù)為139種.類(lèi)型四、兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用例4.用數(shù)字0，1，2，3，4組成數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)，其中有幾個(gè)偶數(shù)？第6頁(yè)共9頁(yè)【思路點(diǎn)撥】組成的偶數(shù)可以有3類(lèi)情況：個(gè)位數(shù)字為0、2、4，而在每一類(lèi)情況中又需分二個(gè)步驟才能完成?！窘馕觥浚?）第一類(lèi)：當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，分兩個(gè)步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從數(shù)字：1、2、3、4中任選一個(gè)，有4種不同方

18、法；第二步確定十位上的數(shù)字，從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有5種不同方法；共有45=20種不同方法。（2）第二類(lèi)：當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，分兩個(gè)步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從數(shù)字：1、2、3、4中任選一個(gè)，有4種不同方法；第二步確定十位上的數(shù)字，從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有5種不同方法；共有45=20種不同方法。（3）第三類(lèi)：當(dāng)個(gè)位數(shù)字為4時(shí)，分兩個(gè)步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從數(shù)字：1、2、3、4中任選一個(gè)，有4種不同方法；第二步確定十位上的數(shù)字，從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有5種不同方法；共有45=20種不同方法。故不同的偶數(shù)的個(gè)數(shù)是：45+45+45=60（種）。【總結(jié)升華】當(dāng)完成事件中既有分類(lèi)也有分步時(shí)，

19、一般先分類(lèi)，然后再在每一類(lèi)中分步。舉一反三：【高清課堂：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理389221例題3練習(xí)】【變式1】用0，1,2，3,4，5這六個(gè)數(shù)字，（1）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？（3）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位奇數(shù)？（4）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？（5）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的大于3000，小于5421的四位數(shù)？【答案】（1）分三步：先選百位數(shù)字，由于0不能作為百位數(shù)，因此有5種選法；十位數(shù)字有5種選法；個(gè)位數(shù)字有4種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有554100個(gè).（2）分三步：先選百位數(shù)字，由于0

20、不能作為百位數(shù)，因此有5種選法；十位數(shù)字有6種選法；個(gè)位數(shù)字有6種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有566180個(gè)（3）分三步：先選個(gè)位數(shù)字，由于組成的三位數(shù)是奇數(shù)，因此有3種選法；再選百位數(shù)字有4種選法；個(gè)位數(shù)字也有4種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有34448個(gè).（4）分三類(lèi)：一位數(shù)，共有6個(gè)；兩位數(shù)，共有5525個(gè)；三位數(shù)，共有554100個(gè).因此，比1000小的自然數(shù)共有625100131個(gè)（5）分四類(lèi)：千位數(shù)字為3,4之一時(shí)，共有2543120個(gè)；千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為0,1，2,3之一時(shí)，共有44348個(gè)；千位數(shù)字為5，百位數(shù)字是4，十位數(shù)字為0,1之第7頁(yè)共9頁(yè)一時(shí)，共有

21、236個(gè)；還有5420也是滿(mǎn)足條件的1個(gè).故所求自然數(shù)共1204861175【變式2】一個(gè)口袋里有5封信，另一個(gè)口袋里有4封信，各封信內(nèi)容均不相同（1）從兩個(gè)口袋里各取1封信，有多少種不同的取法？（2）把這兩個(gè)口袋里的9封信，分別投入4個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？【答案】（1）各取一封信，不論從哪個(gè)口袋里取，都不能算完成了這件事，因此應(yīng)分兩個(gè)步驟完成，由分步計(jì)數(shù)原理，共有54=20（種）（2）若以每封信投入郵筒的可能性考慮，第一封信投入郵筒有4種可能，第二封信仍有4種可能第九封信還有4種可能共有49種不同的投法【高清課堂：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理389221例題4】【變式3】用5種不

22、同顏色給圖中a，b，c，d四個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色.若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域涂不同顏色，那么共有多少種不同的涂色方法?1324abdc【解析】設(shè)該隊(duì)勝z場(chǎng)，平y(tǒng)場(chǎng)，負(fù)z場(chǎng)，且x、y、z是非負(fù)整數(shù)，則x+y+z=15【答案】如圖所示，將4個(gè)小方格依次編號(hào)為1,2,3,4，第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法（1）當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有12種不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法由分步計(jì)數(shù)原理可知，有5123180種不同的涂法；（2）當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可知有54480種不同的涂法由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得，共有18080260種不同的涂法類(lèi)型五、枚舉法例5.某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分球隊(duì)打完15場(chǎng)，積33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情形有（）a3種b4種c5種d6種【思路點(diǎn)撥】可題意列方程組，討論方程組的解，求得非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)即為問(wèn)題