知識講解 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算

1、復數(shù)代數(shù)形式的四則運算編稿：趙雷審稿：李霞【學習目標】1.會進行復數(shù)的加、減運算，理解復數(shù)加、減運算的幾何意義。2.會進行復數(shù)乘法和除法運算。3.掌握共軛復數(shù)的簡單性質(zhì)，理解z、z的含義，并能靈活運用?！疽c梳理】要點一、復數(shù)的加減運算1.復數(shù)的加法、減法運算法則：設(shè)z=a+bi，z=c+di（a,b,c,dr），我們規(guī)定：12z+z=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i12z-z=(c-a)+(d-b)i21要點詮釋：（1）復數(shù)加法中的規(guī)定是實部與實部相加，虛部與虛部相加，減法同樣。很明顯，兩個復數(shù)的和（差）仍然是一個復數(shù)，復數(shù)的加（減）法可以推廣到多個復數(shù)相加（減）的情形（

2、2）復數(shù)的加減法，可模仿多項式的加減法法則計算，不必死記公式。2.復數(shù)的加法運算律:交換律：z1+z2=z2+z1結(jié)合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)要點二、復數(shù)的加減運算的幾何意義1.復數(shù)的表示形式：代數(shù)形式：z=a+bi（a,br）幾何表示：坐標表示：在復平面內(nèi)以點z(a,b)表示復數(shù)z=a+bi（a,br）；向量表示：以原點o為起點，點z(a,b)為終點的向量oz表示復數(shù)z=a+bi.要點詮釋：對應應對復數(shù)z=a+bi一一復平面內(nèi)的點z(a,b)一一平面向量oz2復數(shù)加、減法的幾何意義：如果復數(shù)z、z分別對應于向量op、op，那么以op、op為兩邊作平行四邊形opsp，對

3、角線12121212os表示的向量os就是z+z的和所對應的向量.對角線pp表示的向量pp就是兩個復數(shù)的差z-z1221211所對應的向量.設(shè)復數(shù)z1=a+bi，z2=c+di，在復平面上所對應的向量為oz1、oz2，即oz1、oz的坐標形式為oz=(a，b)，oz=(c，d)以oz、oz為鄰邊作平行四邊21212形oz1zz2，則對角線oz對應的向量是oz，2由于oz=oz+oz=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以oz和oz121第1頁共7頁2的和就是與復數(shù)(a+c)+(b+d)i對應的向量類似復數(shù)加法的幾何意義，由于z1z2=(ac)+(bd)i，而向量z2z1=oz1-oz

4、2=(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以oz和oz12的差就是與復數(shù)(ac)+(bd)i對應的向量要點詮釋：要會運用復數(shù)運算的幾何意義去解題，它包含兩個方面：（1）利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復數(shù)運算去處理（2）反過來，對于一些復數(shù)運算式也可以給以幾何解釋，使復數(shù)做為工具運用于幾何之中。要點三、復數(shù)的乘除運算1共軛復數(shù)：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)。虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。通常記復數(shù)z的共軛復數(shù)為z。2乘法運算法則：設(shè)z=a+bi，z=c+di（a,b,c,dr），我們規(guī)定：12zz=(a+bi)(c+di)=(ac

5、-bd)+(bc+ad)i12za+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbc-ad1=+izc+di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d22要點詮釋：1.兩個復數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并.兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù).2.在進行復數(shù)除法運算時，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復數(shù)(分母實數(shù)化)，化簡后寫成代數(shù)形式。3乘法運算律：(1)交換律：z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)結(jié)合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3要點四、復數(shù)運算的一些技巧：1.

6、i的周期性：如果nn，則有：i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i（nn*）2.(1i)2=2i3.共軛復數(shù)的性質(zhì)：兩個共軛復數(shù)z、z的積是一個實數(shù)，這個實數(shù)等于每一個復數(shù)的模的平方，即zz=x2+y2，其中z=x+yi（x，yr）第2頁共7頁【典型例題】類型一、復數(shù)的加減運算例1.計算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)（2）(12i)(23i)+(34i)(45i)+(19992000i)(20002001i)【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-2-3)+(-6-1-4)i=11i（2）解法一：原式=(12+34+19992000

7、)+(2+34+5+2000+2001)i=1000+1000i。解法二：(12i)(23i)=1+i，(34i)(45i)=1+i，(19992000i)(20002001i)=1+i。將上列1000個式子累加，得原式=1000(1+i)=1000+1000i?！究偨Y(jié)升華】復數(shù)的加減法，相當于多項式加減法中的合并同類項的過程。如果根據(jù)給出復數(shù)求和的特征從局部入手，抓住式子中相鄰兩項之差是一個常量這一特點，適當?shù)剡M行組合，那么可簡化運算。舉一反三：【變式】(1)設(shè)z1=3+4i，z2=2i，求z1+z2,(2)已知z1=(3x+y)+(y4x)i，z2=(4y2x)(5x+3y)i（x，yr）

8、，求z1z2，【答案】(1)z1+z2=(3+4i)+(21)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i(2)z1z1=(3x+y)+(y4x)i(4y2x)(5x+3y)i=(3x+y)(4y2x)+(y4x)+(5x+3y)i=(5x3y)+(x+4y)i，類型二、復數(shù)的乘除運算例2計算：(1)(1i)2；(2)(12i)(34i)(12i)【思路點撥】第(1)題可以用復數(shù)的乘法法則計算，也可以用實數(shù)系中的乘法公式計算；第(2)題可以按從左到右的運算順序計算，也可以結(jié)合運算律來計算(1)解法一：(1i)2(1i)(1i)1iii22i；解法二：(1i)212ii22i.(2)解法一：(12i)

9、(34i)(12i)(34i6i8i2)(12i)(112i)(12i)(114)(222)i1520i；解法二：(12i)(34i)(12i)(12i)(12i)(34i)5(34i)1520i.【總結(jié)升華】此題主要是鞏固復數(shù)乘法法則及運算律，以及乘法公式的推廣應用特別要提醒其中(2i)4i8，而不是8.舉一反三：【變式1】在復平面內(nèi)，復數(shù)z=i(1+2i)對應的點位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】bz=i(1+2i)=i+2i2=2+i，復數(shù)z所對應的點為（2，1），故選b【高清課堂：復數(shù)代數(shù)形式的四則運算401753例題1】【變式2】計算：（1）in(nn)；（2）

10、i+i2+i3+i100；（3）ii2i3i100第3頁共7頁in=4k-3-1n=4k-2【答案】（1）in=-in=4k-1其中kn*；1n=4k（2）i4k+i4k+1+i4k+2+i4k+3=i4k(1+i2+i3+i)=0，（3）ii2i3i100=i100(100+1)2=i5050=-1【高清課堂：復數(shù)代數(shù)形式的四則運算401753例題2】【變式3】計算：（1)(1+i)8(1+i)3-(1-i)3（2）.(1+i)2-(1-i)2【答案】(1)(1+i)8=(1+i)24=(2i)4=24i4=16（2）(1+i)3-(1-i)32i(1+i)+2i(1-i)=1.(1+i)2

11、-(1-i)22i+2i=(1+2i)(3+4i)例3.計算(1+2i)(3-4i)【思路點撥】在復數(shù)的乘除法中，要時時注意i2=-1，不能出錯?！窘馕觥?1+2i)(3-4i)=1+2i3-4i3-8+6i+4i-5+10i12=-+i(3-4i)(3+4i)32+422555【總結(jié)升華】1先寫成分式形式2然后分母實數(shù)化即可運算.(一般分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù))3化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果舉一反三：【變式1】復數(shù)3-i1-i等于（）a1+2ib12ic2+id2i【解析】3)33-i(-i+(1i+-=1-i(1-i)(1+i)1-i222i+i42i=2+i，故選c21【變式2】計算：（

12、1）(i-)3（2）i1+3i3-i1【答案】（1）(i-)3=(i+i-1i)3=(2i)3=8i3=-8i.3-i=（2）1+3i1+3i-i(1+3i)=1-i=i，類型三.復數(shù)代數(shù)形式的四則運算第4頁共7頁例4.計算下列各式：（1）(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i(i-2)(i-1)；（2）。(1+i)(i-1)+i【解析】（1）(1-4i)(1+i)+2+4i(1+4)+(-4+1)i+2+4i7+i(7+i)(3-4i)=3+4i3+4i3+4i(3+4i)(3-4i)=(21+4)+(3-28)i（2）(i-2)(i-1)=(-2-3)+(6-1)i25-25i=1-i。

13、2525(2-1)+(-1-2)i1-3i(1-3i)(-2-i)=(1+i)(i-1)+i(-1-1)+(-1+1)i+i-2+i(-2+i)(-2-i)-5+5i=-1+i。55【總結(jié)升華】題中既有加、減、乘、除運算，又有括號，同實數(shù)的運算順序一致，先算括號，再算乘除，最后算加減舉一反三：【變式1】計算：（1）(1+2i)(3-4i)(2-i)（2）ii2i3i100(1+i)3-(1-i)3（3）；(1+i)2-(1-i)2【答案】（1）(1+2i)(3-4i)(2-i)=(11+2i)(2-i)=24-7i（2）ii2i3i100=i1+2+100=i5050=(i4)1262i2=i

14、2=-1(1+i)3-(1-i)3(1+i)2(1+i)-(1-i)2(1-i)2i(1+i)+2i(1-i)2i2=（3）=1(1+i)2-(1-i)22i-(-2i)4i4i【變式2】計算：1+i61-i+2+3i3-2i；原式=2【答案】方法一：(1+i)26(2+3i)(3+2i)6+2i+3i-6+=i6+=-1+i。(3)2+(2)25原式+(3-2i)i方法二（技巧解法）：(1+i)26(2+3i)i2考點4共軛復數(shù)的有關(guān)計算(2+3i)i=i6+=-1+i。2+3i第5頁共7頁【高清課堂：數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念401749例題2】例5.x,yr，復數(shù)(3x+2y)+5xi與復數(shù)

15、(y-2)i+18的共軛復數(shù)相等，求x，y.【思路點撥】先將(y-2)i+18的共軛復數(shù)要正確寫出，再由復數(shù)相等的充要條件可得方程組，解之即可求結(jié)果，【解析】(y-2)i+18=18+(2-y)i3x+2y=18x=-218-(y-2)i=(3x+2y)+5xi2-y=5xy=12【總結(jié)升華】以z、z的概念與性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，解決有關(guān)應用問題舉一反三：【變式1】設(shè)復數(shù)z滿足：4z+2z=33+i【答案】【變式2】設(shè)z的共軛復數(shù)是z，z+z=4,zz=8，則zz【答案】設(shè)z=a+bi（a,br），則z=a-bi，z+z=2a=4，且zz=a2+b2=8，a=2，b=2，.當

16、a=2，b=-2時，z2+2i=i；z2-2i當a=2，b=2時，=故z=i.z類型四.復數(shù)的幾何意義z2-2iz2+2i=-i.第6頁共7頁（x1，y2）=（1，3），得。y=-1設(shè)d（x，y），則b，d關(guān)于o點對稱，即x=21+y=0y=-1例6.如圖所示，已知復平面內(nèi)的正方形abcd的三個頂點a（1，2），b（2，1），c（1，2），求d點對應的復數(shù)?！舅悸伏c撥】根據(jù)點d的位置，利用解析幾何的方法確定d對應的復數(shù)的實部與虛部?！窘馕觥拷夥ㄒ唬涸O(shè)d（x，y），則ad=od-oa=(x,y)-(1,2)=(x-1,y-2)。bc=oc-ob=(-1,-2)-(-2,1)=(1,-3)。因為ad=bc，x=2d點對應的復數(shù)為2i。解法二：a，c關(guān)于原點對稱，o為正方形abcd的中心。-2+x=0，得。d點對應的復數(shù)為2i?！究偨Y(jié)升華】在平面幾何圖形中，結(jié)合向量的運算法則的幾何意義，以復數(shù)加減法的幾何意義為媒介，實現(xiàn)量之間的轉(zhuǎn)化，進而求相關(guān)問題舉一反三：【變式1】若在復平面上的復數(shù)是_?！敬鸢浮縜bcd中，ac對應的復數(shù)為6+8i，bd對應的復數(shù)為4+6i，則da對應