解三角形的實際應用

1、解三角形的實際應用一、基礎知識測量中的有關幾個術語術語名稱術語意義在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線仰角與俯角在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方位角方向線之間的夾角叫做方位角方位角 的范圍是 0 360正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，方向角通常表達為北 (南 )偏東 (西 )坡面與水平面的夾角叫做坡角()；坡面的垂直坡角與坡度高度 (h)與水平寬度 (l)的比 (i)叫做坡度圖形表示例：(1) 北偏東 ：(2)南偏西 ：坡角 坡度 i hl相對于某一正方向的水平角(1)北偏東 ，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向；(

2、2)北偏西 ，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向；(3)南偏西等其他方向角類似考點一測量高度問題典例 如圖，為了測量河對岸電視塔CD 的高度， 小王在點A 處測得塔頂D的仰角為30，塔底 C 與 A 的連線同河岸成15角，小王向前走了1 200 m 到達 M處，測得塔底C 與 M 的連線同河岸成60角，則電視塔CD 的高度為 _m.解析 在 ACM 中， MCA 60 15 45， AMC 180 60 120 ，由正弦定理得AMAC，即 1 200AC，解得 AC 600 6(m) sin MCAsin AMC2322在 ACD 中， tan DAC CD 3，AC3 CD600 6 3 6

3、00 2(m)3答案 6002解題技法 測量高度問題的 3 個注意點(1)在處理有關高度問題時，理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角 )、方向 (位 )角 (它是在水平面上所成的角 )是關鍵(2)在實際問題中， 可能會遇到空間與平面(地面 )同時研究的問題， 這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題題組訓練 1.如圖，為測一樹的高度，在地面上選取A， B 兩點，在 A， B 兩點分別測得樹頂 P 處的仰角為 30，45，且 A，B 兩點之間的距離為10 m ，則樹的高度 h 為 ()A (5 5

4、 3)mB (3015 3)mC(15 30 3)mD (153 3)m解析：選 A在 PAB 中，由正弦定理，得10PB，因為 sin(45 30)sin 4530sin 30sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 6 2，所以 PB 5( 62)(m) ，所以該樹的高度 h4PBsin 45 (5 53) m.2.如圖， 在離地面高 400 m 的熱氣球上， 觀測到山頂 C 處的仰角為 15，山腳 A 處的俯角為 45，已知 BAC 60，則山的高度 BC為()A 700 mB 640 mC600 mD 560 m解析：選C根據(jù)題意，可得在Rt AMD 中， MAD 45，

5、 MD 400(m)，所以 AM MD 4002(m) sin 45因為在 MAC 中， AMC 4515 60， MAC 180 4560 75，所以 MCA 180 AMC MAC 45，3由正弦定理，得AMsin AMC4002 23(m)，AC 400sin MCA22在 RtABC 中， BC ACsin BAC400 3 23 600(m)考點二測量距離問題典例 (2018 保定模擬 )如圖，某游輪在A處看燈塔 B在 A的北偏東 75方向上，距離為 126海里，燈塔 C 在 A 的北偏西 30方向上，距離為 83 海里，游輪由A 處向正北方向航行到 D 處時，再看燈塔 B， B在南

6、偏東 60方向上，則C與D的距離為 ()A20 海里B8 3 海里C23 2 海里D24 海里解析 在 ABD 中，因為燈塔B 在 A 的北偏東 75方向上，距離為12 6 海里，游輪由 A 處向正北方向航行到D 處時，再看燈塔B，B 在南偏東 60方向上，所以 B 180 7560 45，由正弦定理ADABsin Bsin ADB，1262可得 AD ABsin B 2 24(海里 )sinADB32在 ACD 中， AD 24(海里 )， AC 83(海里 )， CAD 30，由余弦定理得CD 2 AD2 AC2 2AD ACcos 30 242 (83) 2 2 24 83 23 192

7、.所以 CD 83(海里 )答案B解題技法 測量距離問題的2 個策略(1) 選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理題組訓練 1一艘船以每小時15 km 的速度向東航行，船在A 處看到一個燈塔M 在北偏東60方向，行駛 4 h 后，船到達 B 處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為()A 15 2 kmB 30 2 kmC45 2 kmD 60 2 km解析： 選 B作出示意圖如圖所示，依題意有AB 15 4 60(km) ，D

8、AC 60， CBM 15， MAB 30， AMB 45.在 AMB60中，由正弦定理， 得 sin 45BMsin 30，解得BM 302(km) 2.如圖，為了測量兩座山峰上P，Q 兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為3003 m 且和 P， Q 兩點在同一平面內(nèi)的路段AB 的兩個端點作為觀測點， 現(xiàn)測得 PAB 90，PAQ PBA PBQ 60，則 P，解析： 由已知，得QAB PAB PAQ 30. PBA PBQ 60， AQB 30， AB BQ.又 PB 為公共邊，PAB PQB， PQPA.在 RtPAB 中， PA ABtan 60 900(m)，故 PQ 900(m)，

9、 P， Q 兩點間的距離為 900(m)答案： 900考點三測量角度問題典例 游客從某旅游景區(qū)的景點A 處至景點C 處有兩條線路 線路1 是從 A 沿直線步行到C，線路 2 是先從 A 沿直線步行到景點B 處，然后從 B 沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A 處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的11倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C 處經(jīng)測量，AB 1 040 m ， BC9500 m，則sin BAC等于 _解析 依題意，設乙的速度為x m/s，則甲的速度為119 x m/s，因為 AB 1 040 m， BC 500 m，所以 AC 1 040 500，解得 AC 1 2

10、60 m.x 119 x在 ABC 中，由余弦定理得，22222212，cos BACAB AC BC1 0401 260 5002AB AC2 1 040 1 2601321225所以 sin BAC1 cos BAC11313.5答案 13解題技法 測量角度問題的基本思路測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上， 畫出表示實際問題的圖形， 并在圖形中標出有關的角和距離， 再用正弦定理或余弦定理解三角形， 最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解題組訓練 1.甲船在 A 處觀察乙船，乙船在它的北偏東60的方向，相距 a 海里的 B處，乙船正向北行駛， 若甲船是乙船速度的3 倍，甲船為了盡快追上乙船，

11、朝北偏東 方向前進，則 ()A15B30C45D60解析：選B設兩船在 C 處相遇，則由題意得 ABC 180 60 120，且 AC3，BCACsin 120由正弦定理得BCsin BAC 3，1所以 sin BAC .又因為 0 BAC60，所以 BAC30.所以甲船應沿北偏東30方向前進2.如圖，甲船在海面上行駛，當甲船位于A 處時，在其正東方向相距40 海里的B 處，有一艘游艇遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30相距 20 海里的 C 處的乙船，乙船立即朝北偏東 30的方向沿直線前往B 處營救，則sin 的值為 _解析： 連接 BC(圖略 )，根據(jù)余弦定理，

12、得BC2 AB2 AC2 2AB ACcos CAB 1 600400 240 20cos(90 30) 2 800.由題可知， ACB 即為角 ，又BCAB，sin CABsin 2233， sin 21BC AB2， sin21sin2 CABsin1 60042 80077 .21答案：7 課時跟蹤檢測1在相距 2 km 的 A，B 兩點處測量目標點C，若 CAB 75， CBA60，則 A，C兩點之間的距離為()A.6 kmB. 2 kmC.3 kmD 2 km解析：選A如圖，在 ABC 中，由已知可得ACB 45， AC2， sin 60 sin 45 AC 2 2 23 6(km)

13、 2.如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18 km，速度為 1 000 km/h ，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0，經(jīng)過 1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到 0.1 km)()A 8.4 kmB 6.6 kmC6.5 kmD 5.6 km解析： 選 B 因為 AB 1 000 1 50，60 3 (km)所以 BC ABsin 30 50(km) sin 453 2所以航線離山頂?shù)母叨萮 BCsin 75 50 sin 75 50 sin(45 30) 11.4(km) 3232所以山高為 18 11.4 6.6(km) 3.如圖，在塔底D 的

14、正西方 A 處測得塔頂?shù)难鼋菫?5，在塔底 D 的南偏東60的 B 處測得塔頂?shù)难鼋菫?0，A，B 的距離是84 m，則塔高 CD為()A 24 mB 12 5 mC12 7 mD 36 m解析： 選 C設塔高 CD x m，則 AD x m， DB 3x m.又由題意得 ADB 90 60 150，在 ABD 中，由余弦定理，得 842 x2 ( 3x)2 2 3x2cos 150 ，解得 x12 7(負值舍去 )，故塔高為 127 m.4.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120 的扇形 AOB，C 是該小區(qū)的一個出入口， 且小區(qū)里有一條平行于AO 的小路 CD.已知某人從 O沿 OD 走

15、到 D 用了 2 min ，從 D 沿著 DC 走到 C 用了 3 min. 若此人步行的速度為 50 m/min ，則該扇形的半徑的長度為()A 50 5 mB 50 7 mC50 11 mD 50 19 m解析： 選 B 設該扇形的半徑為r，連接 CO，如圖所示由題意，得 CD150(m) ， OD 100(m)， CDO 60，在 CDO 中，由余弦定理得， CD2OD 2 2CD OD cos 60 OC2，即 15021002 2 150 1001 r2， 2解得 r 507(m) 5.如圖所示，一艘海輪從A 處出發(fā)，測得燈塔在海輪的北偏東15方向，與海輪相距20 n mile 的

16、B 處，海輪按北偏西60的方向航行了 30min 后到達 C 處，又測得燈塔在海輪的北偏東75的方向上， 則海輪的速度為 _n mile/min.解析： 由已知得 ACB 45， B 60，由正弦定理得AC AB，sin BsinACB所以 AC ABsin B20 sin 60 6(n mile) ，sin 45 10sin ACB1066所以海輪航行的速度為303 (n mile/min) 答案：636.某同學騎電動車以24km/h 的速度沿正北方向的公路行駛，在點A處測得電視塔S 在電動車的北偏東30方向上， 15 min 后到點 B 處，測得電視塔 S 在電動車的北偏東75方向上，則點

17、B 與電視塔的距離是_km.15解析 ：如題圖，由題意知AB 2460 6(km)，在 ABS 中， BAS30， ABS 18075 105， ASB 45，由正弦定理知BS AB，sin 30sin 45 BSABsin 30sin 45 3 2(km)答案：327.一艘海輪從 A 出發(fā)， 沿北偏東 75的方向航行 (2 3 2)n mile 到達海島B，然后從 B 出發(fā)，沿北偏東 15的方向航行 4 n mile 到達海島 C.(1)求 AC 的長；(2)如果下次航行直接從解： (1)由題意，在A 出發(fā)到達ABC 中，C，求CAB的大小 ABC180 75 15 120， AB (23

18、2)n mile ， BC 4 n mile ，根據(jù)余弦定理得，AC2 AB2 BC2 2ABBCcos ABC (2 3 2)2 42 (2 3 2) 4 24，所以 AC 2 6.故 AC 的長為 2 6 n mile.3(2)由正弦定理得， sin CAB BC sin ABC422，所以 CAB 45.AC2 628.已知在東西方向上有 M，N 兩座小山，山頂各有一座發(fā)射塔A，B，塔頂 A，B 的海拔高度分別為AM 100 m 和 BN 200 m，一測量車在小山 M 的正南方向的點 P 處測得發(fā)射塔頂 A 的仰角為 30，該測量車向北偏西 60方向行駛了 100 3 m 后到達點 Q，在點 Q 處測