考點(diǎn)五十五二項(xiàng)分布及其應(yīng)用(理

1、玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂考點(diǎn)五十五二項(xiàng)分布及其應(yīng)用（理）知識梳理1 相互獨(dú)立事件(1) 一般地，對于兩個(gè)事件 A， B，如果有 P(AB) P(A)P(B)，則稱 A、 B 相互獨(dú)立(2) 如果 A、B 相互獨(dú)立，則 A 與 B 、 A 與 B、 A 與 B 也相互獨(dú)立(3) 如果 A1， A2， ， An 相互獨(dú)立，則有： P( A1A2 An) P(A1)P(A2) P( An)2 二項(xiàng)分布如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是 P(X k) CnkPkqn k，其中 k0，1，2， 3， ， n，q 1 P.于是得到隨機(jī)變量X的概

2、率分布如下：X01kn0 0 n1 1 n 1k k n kn n 0PnCnP qCnP qnC P qC P qk k n kn0 0 n1 1 n 1k k n kn n 0中由于 CnP q恰好是二項(xiàng)展開式 (P q) CnP q Cn P q CnP q Cn P q的第 k 1 項(xiàng) (k 0， 1， 2， ， n)中的值，故稱隨機(jī)變量 X為二項(xiàng)分布，記作X B( n， P)3 二項(xiàng)分布特點(diǎn)(1) 每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對立的結(jié)果：“成功”和“失敗”；(2) 每次試驗(yàn)“成功”的概率均為P，“失敗”的概率均為(3) 各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的4 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的 n 次試驗(yàn)稱為

3、 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，用試驗(yàn)結(jié)果，則 P(A1A2A3 An) P(A1)P(A2) P(An )1P；Ai(i 1， 2， ， n)表示第 i 次典例剖析題型一相互獨(dú)立事件例 1設(shè)進(jìn)入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購買商品也是相互獨(dú)立的(1) 求進(jìn)入商場的 1 位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(2) 求進(jìn)入商場的 1 位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(3) 記 表示進(jìn)入商場的3 位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列解析記 A 表示事件：進(jìn)入商場的1 位顧客購買甲

4、種商品；記B 表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買乙種商品；記 C 表示事件： 進(jìn)入商場的1 位顧客購買甲、 乙兩種商品中的一種；記 D 表示事件：進(jìn)入商場的1 位顧客沒有購買甲、乙兩種商品中的任何一種玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂(1) C AB A B，P(C) P(AB A B) P(AB ) P( A B) P(A) P( B ) P( A ) P( B) 0.5 0.4 0.5 0.60.5.(2) D AB，P(D ) P( A B ) P( A ) P( B ) 0.5 0.4 0.2，P( D )1 P(D) 0.8.(3) B(3， 0.8)，故 的分布列P( 0) 0.23 0.0

5、08；P( 1) C13 0.8 0.22 0.096；P( 2) C23 0.82 0.2 0.384；P( 3) 0.83 0.512.0123P0.0080.0960.3840.512變式訓(xùn)練（ 2015 北京理節(jié)選） A， B 兩組各有7 位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位：天 )記錄如下：A 組： 10,11,12,13,14,15,16B 組： 12,13,15,16,17,14， a假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間互相獨(dú)立，從A， B 兩組隨機(jī)各選1 人， A 組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙(1) 求甲的康復(fù)時(shí)間不少于 14 天的概率；(2) 如果 a 25，求甲的康復(fù)時(shí)間比

6、乙的康復(fù)時(shí)間長的概率；解析設(shè)事件 Ai 為“甲是 A 組的第 i 個(gè)人”，事件 Bi 為“乙是B 組的第 i 個(gè)人”， i 1,2， ， 7.1由題意可知P(Ai) P(Bi) 7， i 1,2， ， 7.(1) 由題意知，事件“甲的康復(fù)時(shí)間不少于14 天”等價(jià)于“甲是A 組的第5 人，或者第6 人，或者第7 人”，所以甲的康復(fù)時(shí)間不少于14 天的概率是3P(A5 A6 A7) P(A5)P(A6) P(A7) 7.(2) 設(shè)事件 C 為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長”由題意知，C A4B1A5B1 A6B1A7B1 A5B2 A6B2 A7B2A7B3 A6B6A7B6.因此 P(C)P(A

7、4B1) P(A5B1) P(A6B1) P(A7B1) P(A5 B2 )P(A6B2) P(A7B2) P( A7 B3)10P(A6B6) P(A7B6) 10P(A4B1) 10P(A4)P(B1) 49.玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂解題要點(diǎn) (1)注意區(qū)分相互獨(dú)立事件與n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同一條件下，事件重復(fù)發(fā)生或不發(fā)生(2) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的概率公式k kn k表示的是 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 AP(X k) Cn P (1 P)發(fā)生 k 次的概率， P 與 1 P 的位置不能互換，否則該式子表示的意義就發(fā)生了改變，變?yōu)槭录?A 有 k 次不發(fā)生的概率了 .(3)

8、“相互獨(dú)立”與“事件互斥”的區(qū)別兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響兩事件相互獨(dú)立不一定互斥題型二獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例 2（2015 新課標(biāo)理）投籃測試中，每人投3 次，至少投中2 次才能通過測試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為()A 0.648B 0.432C 0.36D 0.312答案A解析利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求解3 次投籃投中2 次的概率為P(k2) C23 0.62 (1 0.6)，投中 3 次的概率為P(k 3) 0.63，所以通過測試的概率為P(k 2)P(k 3

9、) C32 0.62 (1 0.6) 0.630.648.故選 A.變式訓(xùn)練在 4 次獨(dú)立試驗(yàn)中， 事件 A 出現(xiàn)的概率相同， 若事件 A 至少發(fā)生1 次的概率是 65，81則事件 A 在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是_答案13解析4651設(shè) A 發(fā)生概率為 P， 1 (1 P)81，P .3解題要點(diǎn)利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型k kn k的三個(gè)條件： 在一次試驗(yàn)中某事件A 發(fā)生的概率是是否滿足公式 P(X k)CnP (1 P)一個(gè)常數(shù) P； n 次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；該公式表示n 次試驗(yàn)中事件A 恰好

10、發(fā)生了k 次的概率題型三二項(xiàng)分布例 3某商場為促銷設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)模型，一定數(shù)額的消費(fèi)可以獲得一張抽獎(jiǎng)券，每張抽獎(jiǎng)券可以從一個(gè)裝有大小相同的4 個(gè)白球和2 個(gè)紅球的口袋中一次性摸出3 個(gè)球，至少摸到一個(gè)紅球則中獎(jiǎng)(1) 求一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂(2) 若每次中獎(jiǎng)可獲得 10 元的獎(jiǎng)金，一位顧客獲得兩張抽獎(jiǎng)券，求兩次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)金額之和 X(元 )的概率分布解析(1) 設(shè)“一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”為事件1 2C2 1164.A，則 P(A) C2C432 C4C62054故一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為5.21(2) X 可取 0， 10， 20， P(X 0) (0.2) 0.04， P(X

11、10) C2 0.8 0.2 0.32， P(X 20)2(0.8) 0.64.X 的概率分布列為X01020P0.040.320.64變式訓(xùn)練(2014 高考四川卷節(jié)選)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10 分，出現(xiàn)兩次音樂獲得 20 分，出現(xiàn)三次音樂獲得100 分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200 分 (即獲得 200 分 )設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求 X 的分布列解析 X 可能的取值為10，20， 100， 200.根據(jù)題意，有P(X 10)

12、C31111123，228P(X 20) C32121113，228P(X 100)C33 1 311 01，22801 0131P(X 200) C321 28.所以 X 的分布列為X1020100 200P33118888玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂解題要點(diǎn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)， 抓住二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，正確識別二項(xiàng)分布模型是解題的關(guān)鍵當(dāng)堂練習(xí)1已知隨機(jī)變量 X B(10,0.6)，則 E(X)，D (X)分別是 ()A6 和 2.4B2 和 2.4C2 和 5.6D6 和 5.6答案A解析 X B(10,0.6)， E(X) 10 0.6 6， D (

13、X)10 0.6 (1 0.6) 2.4，1， P(B)1，則 P(AB) ()2若事件 A， B 相互獨(dú)立，且 P(A)321511A 6B 6C 9D 8答案A解析 A， B 相互獨(dú)立，P(AB) P(A)P(B)1112 .363. 甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為 0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為()A 0.12B 0.42C 0.46D 0.88答案D解析由題意知，甲、乙都不被錄取的概率為(1 0.6)(1 0.7) 0.12.所以其中至少有一人被錄取的概率為10.12 0.88.4已知 X B 6，1，則 P(X

14、2) _.3答案80243解析P(X 2) C62122480.332435兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為2和 3，兩個(gè)零件是否加工為34一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為()15C.11A. 2B.124D.6答案B解析設(shè)事件 A甲實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品；事件B乙實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品，則 P(A) 23，P(B) 34，所以這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為P(A B ) P( A B) P(A)P( B ) P( A )P( B)玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂2 (13235) (1).343412課后作業(yè)一、 選擇題1國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概

15、率為1，乙、丙去北京旅游的概率分別為113， .假定三人45的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1 人去北京旅游的概率為()59311A.60B.5C. 2D.60答案B解析因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為1113， ，.因此，他們不去北京旅游的概率分別452，341 人去北京旅游的概率為2343為4， ，至少有P1 .3534552從應(yīng)屆畢業(yè)生中選拔飛行員，已知該批學(xué)生體型合格的概率為1，視力合格的概率為1，36其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為1，從中任選一名學(xué)生， 則該學(xué)生三項(xiàng)均合格的概率為(假設(shè)三次5標(biāo)準(zhǔn)互不影響 )()4145A 9B 90C 5D 9答案B1111解析由題意 P3

16、65 90.故選 B.3某人射擊命中目標(biāo)的概率為0.6，每次射擊互不影響，連續(xù)射擊3 次，至少有 2 次命中目標(biāo)的概率為 ()84813627A125B 125C125D 125答案B解析23 2233 381.C35 C3551254甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，比賽采用五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為2，則甲以 3 1的比分獲勝的概率為 ()386448A 27B81C9D 9答案A玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂解析 甲以 3 1 的比分獲勝， 即前三局甲勝二局， 第四局甲勝， 所求的概率為PC32 22 1332 8 3 27.故選 A.5某批小麥種子， 如果

17、每 1 粒小麥發(fā)芽的概率為4，那么播下 3 粒這樣的種子恰有2 粒發(fā)芽5的概率是 ()12B.164896A. 125125C.125D. 125答案C解析用 X 表示發(fā)芽的粒數(shù)，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)服從二項(xiàng)分布XB 3，4，524 21148P(X2) C355125.6投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是 3”為事件 B，則事件 A，B 中至少有一件發(fā)生的概率是 ()5173A12B 2C12D 4答案C11解析法一由題得 P(A)2，P(B) 6，事件 A、B 至少有一件發(fā)生的概率為P P(A B ) P( A B) P(AB) P(A) P( B

18、 ) P( A ) P(B)P(A) P(B) 15 1 11 1 2626267 ，故選 C. 12法二依題意得 P(A) 1， P(B) 1，26事件 A，B 中至少有一件發(fā)生的概率等于1P( A B ) 1 P( A ) P( B ) 115 7，2612故選 C.7甲、乙兩人進(jìn)行打靶訓(xùn)練， 甲每射擊10 次可以擊中9 次，乙每射擊9 次可以擊中8 次甲、乙兩人射擊同一目標(biāo)(甲、乙兩人互不影響)，現(xiàn)各射擊一次，目標(biāo)被擊中的概率為()94889A10B 5C 9D 90答案D解析目標(biāo)被擊中的概率為P 1 191 81 189.10990908已知隨機(jī)變量 B 100，1，則當(dāng) P(k)取得

19、最大值時(shí)， k 的值為 ()2玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂A49B 50C49 或 50D50 或 51答案B解析k1k11100 kk1100，P( k)C1002 C10022由組合數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)k 50 時(shí)取得最大值二、填空題9某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是2，他投球6 次，恰好投進(jìn) 4 個(gè)球的概率為 _(用3數(shù)字作答 )答案80243解析P C46 23 4 13 2 24380.10某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過 3 次射擊，此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為_答案54125解析本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是二項(xiàng)分布問題，所以此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為C32254(0.6) (1

20、 0.6).11設(shè)袋中有大小相同的4 個(gè)紅球與 2 個(gè)白球， 若從中有放回地依次取出一個(gè)球，記6次取球中取出 2 個(gè)紅球的概率為 _答案2024322221420解析由題意得紅球個(gè)數(shù)X 服從二項(xiàng)分布， 即 X B 6，3， P(X 2)C633243.三、解答題12（ 2014 安徽卷節(jié)選 ）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完25 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概率為3，乙獲勝的概率為 1，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立求甲在4 局以內(nèi) (含 4 局 )贏得比賽的概率3解析用 A 表示“甲在4 局以內(nèi) (含 4 局 )贏得比賽”， Ak 表示“第k 局甲獲勝”， Bk 表示“第21k 局乙獲勝”，則P(Ak) 3， P( Bk) 3，k 1， 2， 3， 4， 5.P(A) P(A1A2 ) P( B1A2A3) P(A1B2A3A4 ) P(A1)P(A2) P