數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題(gzh)

1、數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題,章建躍一、“新理念”是全新的嗎?,核心：以學(xué)生的全面、和諧與可持續(xù)發(fā)展為本教育中的“科學(xué)發(fā)展觀” 教學(xué)目標(biāo)全面關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知、能力和理性精神，以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為定向，促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展數(shù)學(xué)育人。,如何落實(shí)？高立意,低起點(diǎn),許多教師的“匠氣”太濃，課堂上題型、技巧太多，彌漫著“功利”，缺少思想、精神的追求。 數(shù)學(xué)的“育人”功能如何體現(xiàn)？挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，在教學(xué)中將知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體。 關(guān)鍵：提高思想性。 “技術(shù)”：加強(qiáng)“先行組織者”的使用。,例1 不等式基本性質(zhì)“立意”比較,以往做法：數(shù)軸上點(diǎn)的順序定義數(shù)的大小關(guān)系

2、，再到“基本事實(shí)”（考察兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差），再由“利用比較實(shí)數(shù)大小的方法，可以推出下列不等式的性質(zhì)”。,人教A版的教學(xué)設(shè)計(jì),數(shù)軸上點(diǎn)的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再到“基本事實(shí)”（考察兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小統(tǒng)一化歸為比較它們的差與0的大?。?； 從“數(shù)及其運(yùn)算”的高度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生類比等式的基本性質(zhì)，在“運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)”的思想指導(dǎo)下，猜想不等式的基本性質(zhì)；,回到從“基本事實(shí)”到“基本性質(zhì)”的推理過(guò)程，得出性質(zhì)，給出證明； 引導(dǎo)學(xué)生用不同語(yǔ)言表述“基本性質(zhì)”（學(xué)習(xí)心理的考慮）； 從實(shí)例中概括基本不等式的作用明確概括出思想方法。 核心：將等式與不等式納入到數(shù)及其運(yùn)算的系統(tǒng)中，成為用

3、運(yùn)算律推導(dǎo)出的“性質(zhì)”,為什么這樣設(shè)計(jì),既要講邏輯，更要講思想加快學(xué)生領(lǐng)悟思想的進(jìn)程（在沒(méi)有引領(lǐng)的情況下很難“悟”出思想）； 要正確理解“給學(xué)生留出思維空間”以往教學(xué)在技能方面空間太小，思想方面空間太大。,教學(xué)要求個(gè)性差異與統(tǒng)一要求的辯證統(tǒng)一，但以個(gè)性差異為出發(fā)點(diǎn)和基礎(chǔ) 教學(xué)設(shè)計(jì)不僅從內(nèi)容的教學(xué)需要預(yù)設(shè)提問(wèn)、講授、訓(xùn)練等，而且特別強(qiáng)調(diào)課堂“生成”，預(yù)設(shè)能引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的“開(kāi)放性問(wèn)題”，乃至強(qiáng)調(diào)“看過(guò)問(wèn)題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)問(wèn)” 教學(xué)方法講授、問(wèn)答、訓(xùn)練的綜合，不再是單一的講授或活動(dòng)，是教師主導(dǎo)取向的講授式和學(xué)生自主取向的活動(dòng)式的融合，強(qiáng)調(diào)“啟發(fā)式講授”的重要性,學(xué)習(xí)方式接受與探究的

4、融合，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性、積極性，獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)的結(jié)合 教學(xué)過(guò)程知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程（自然、水到渠成）為載體的學(xué)生認(rèn)知過(guò)程，以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的展開(kāi)、深度參與（教學(xué)的有效性） 教學(xué)評(píng)價(jià)教師根據(jù)教學(xué)進(jìn)程進(jìn)行教學(xué)反饋、調(diào)節(jié)，學(xué)生通過(guò)自我監(jiān)控調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)進(jìn)程，重視形成性評(píng)價(jià)發(fā)展的眼光 教學(xué)媒體追求“必要性”“平衡性”“廣泛性”“實(shí)踐性”“有效性”，服務(wù)于數(shù)學(xué)概念、原理的實(shí)質(zhì)理解,教育領(lǐng)域中，“全新理念”是不能用來(lái)指導(dǎo)教改實(shí)踐的，因?yàn)槿瞬诺某砷L(zhǎng)沒(méi)有重復(fù)機(jī)會(huì)，教育要絕對(duì)避免“折騰”。 “新理念”新在對(duì)學(xué)生的全面關(guān)注上。,二、為什么“內(nèi)容多課時(shí)少”但又能騰出至少一年時(shí)間高考復(fù)習(xí),立體

5、幾何、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、極限等傳統(tǒng)內(nèi)容的課時(shí)量減少；增加了新的內(nèi)容，算法12課時(shí)，推理與證明6課時(shí)；概率統(tǒng)計(jì)大量增加，概率增加5倍，統(tǒng)計(jì)2.5倍，課時(shí)增加33。 總課時(shí)量保持不變。,騰出時(shí)間的“智慧”在那里？,增加課時(shí)（每周增1課時(shí)，兩年至少可以增72課時(shí)）； 壓縮概念、原理的教學(xué)時(shí)間。 有人說(shuō)，這都是“高考要求與課標(biāo)要求脫節(jié)”惹的禍。真是這樣的嗎？ “夾生飯”再回鍋就做不成可口香米飯了。 欲速則不達(dá)。 “忙”=“心亡”。,三、怎樣才算“教完了”？,讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程“這樣能教完嗎？” 給學(xué)生吃“壓縮餅干”： 基礎(chǔ)知識(shí)“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”； 解題教學(xué)“題型教學(xué)”，解題技巧大雜

6、燴，“一步到位”。,問(wèn)題在那里？,不“準(zhǔn)”或者是沒(méi)有圍繞概念的核心，或者教錯(cuò)了； 不“簡(jiǎn)”在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化了； 不“精”讓學(xué)生在知識(shí)的外圍重復(fù)訓(xùn)練，耗費(fèi)學(xué)生大量時(shí)間、精力卻達(dá)不到對(duì)知識(shí)的深入理解。,例2 函數(shù)概念的“注意事項(xiàng)”,集合A，B都是數(shù)集； 任意性； 唯一性； 可以一對(duì)一、多對(duì)一，但不能一對(duì)多； yf(x)是一個(gè)整體，不是f與x的乘積； 值域C=f(x)|xA是集合B的子集； 函數(shù)的三要素三者缺一不可，值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定。,在不適當(dāng)?shù)臅r(shí)候、用不適當(dāng)?shù)姆椒◤?qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)，把學(xué)生“教糊涂了”。 “教完了”應(yīng)該以學(xué)生是否理解為準(zhǔn)，以學(xué)生是否達(dá)成教學(xué)目標(biāo)為準(zhǔn)，特別是

7、學(xué)生達(dá)到的數(shù)學(xué)雙基的理解和熟練水平為標(biāo)準(zhǔn)（注意，雙基包括由內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法），而不是教師在課堂上有沒(méi)有把內(nèi)容“講完”。 廣種薄收是懶漢的做法。,四、怎樣才是抓“基礎(chǔ)”,我國(guó)“雙基”的優(yōu)勢(shì)正在喪失； 現(xiàn)象：（1）數(shù)學(xué)教學(xué)=題型教學(xué)=刺激反應(yīng)（記憶、模范型學(xué)習(xí)）；（2）缺少概念的概括過(guò)程，以訓(xùn)練代替概念教學(xué)應(yīng)用可以促進(jìn)理解，但沒(méi)有理解的應(yīng)用是盲目的；（3）過(guò)分關(guān)注“題型”與“題型”對(duì)應(yīng)的技巧是雕蟲(chóng)小技，無(wú)法窮盡，結(jié)果是“講過(guò)練過(guò)的不一定會(huì)，沒(méi)講沒(méi)練的一定不會(huì)”；等。,如何改變？,要強(qiáng)調(diào)知識(shí)及其蘊(yùn)含的思想方法教學(xué)的重要性無(wú)知者無(wú)能； 不斷回到概念去，從基本概念出發(fā)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題； 加強(qiáng)概念

8、的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問(wèn)題的新思路。 應(yīng)追求解決問(wèn)題的“根本大法”基本概念所蘊(yùn)含的思想方法，強(qiáng)調(diào)思想指導(dǎo)下的操作。,例3 向量加法運(yùn)算及其幾何意義的教學(xué)設(shè)計(jì),先行組織者：類比數(shù)及其運(yùn)算，引進(jìn)一個(gè)量就要研究運(yùn)算，引進(jìn)一種運(yùn)算就要研究運(yùn)算律。 回顧力的合成、速度的合成等物理原理。 學(xué)生看書(shū)，匯報(bào)對(duì)定義和三角形法則、平行四邊形法則的理解，其中特別要注意對(duì)“關(guān)鍵詞”的理解，要求用自己的語(yǔ)言描述。,已知向量a，b不共線，作出a+b，并說(shuō)明作法。 如果向量a，b共線，如何作a+b？ 與實(shí)數(shù)加法運(yùn)算有什么關(guān)系？,五、探究式教學(xué)的天時(shí)地利人和,天時(shí)：建設(shè)創(chuàng)新型社會(huì)，教育“以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能

9、力為重點(diǎn)”； 地利：教學(xué)內(nèi)容是否適合于“探究”有的內(nèi)容不適宜，如公理、定義名稱、規(guī)定等；但更多的內(nèi)容可采用探究式教學(xué)；,例4 直線與平面垂直的定義,先讓學(xué)生“直觀感受”這種位置關(guān)系，給出定義，把主要精力放在對(duì)“合理性”的認(rèn)識(shí)上，通過(guò)正、反例理解定義的關(guān)鍵詞。 必須向?qū)W生交待清楚：用“說(shuō)得清道得明”的幾何關(guān)系（即“直線與直線垂直”）來(lái)定義“無(wú)法說(shuō)清”的幾何關(guān)系（即“直線與平面垂直”）是一種公理化思想，學(xué)生則只要采用接受式學(xué)習(xí)方式即可。,例5 適宜探究的內(nèi)容舉例,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式從具體數(shù)列求和中提煉概括思想方法：不相同的數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，實(shí)現(xiàn)化歸的依據(jù)是等差數(shù)列的性質(zhì)； 平面向量基本定理

10、在“用向量及其運(yùn)算表示幾何元素”的思想下，聯(lián)系建立直角坐標(biāo)系的方法、兩條相交直線確定一個(gè)平面等經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生探究而獲得結(jié)論； 誘導(dǎo)公式在“三角函數(shù)是（單位）圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)表示”的思想下，探究終邊關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)以及直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)角的關(guān)系，而得到所有公式。,人和：師生共同營(yíng)造的“探究氛圍”，有賴于學(xué)生“探究式學(xué)習(xí)的心向”，也有賴于教師的“探究型教學(xué)的意識(shí)”。 數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中有關(guān)鍵作用，需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)注意使用“先行組織者”。 探究性學(xué)習(xí)要融入日常學(xué)習(xí)，成為“常態(tài)化”的學(xué)習(xí)方式。,例6 在“聯(lián)系與綜合”思想指導(dǎo)下的探究性學(xué)習(xí),直線的參數(shù)方程： 平面直角坐標(biāo)系中，確定直線的幾何要

11、素；參數(shù)的思想點(diǎn)P的坐標(biāo)由參數(shù)t唯一確定；有向線段；方向向量；三角函數(shù)；比例；,不同聯(lián)系方式下的教學(xué)設(shè)計(jì),參數(shù)方程：坐標(biāo)x，y作為參數(shù)t的函數(shù)以確定曲線的幾何要素為基點(diǎn)，考察坐標(biāo)隨哪一要素的變化而變化。 找一座“橋”，把任意一點(diǎn)P(x，y) 與確定直線的幾何要素（傾斜角、點(diǎn)P(x0，y0)）聯(lián)系起來(lái)。,與幾何、三角的聯(lián)系,將P(x，y) 、 y P(x0，y0)在直角坐標(biāo) P 系中表示出來(lái)，可以 P0 M 看到P0P的橋梁作用。 O x,與向量的聯(lián)系,向量代數(shù)是坐標(biāo)幾何的返璞歸真精益求精 數(shù)軸：原點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度單位 數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)乘運(yùn)算 直角坐標(biāo)系中的直線與數(shù)軸沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別： 點(diǎn)P(x0，y

12、0)原點(diǎn) 傾斜角方向 方向向量長(zhǎng)度單位 直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)乘運(yùn)算,純粹的代數(shù)、三角變換,由直線方程yy0 =tan（xx0）出發(fā)的代數(shù)變換： 這一過(guò)程無(wú)法 反映參數(shù)的幾 何意義,“我校生源差，反復(fù)講還記不住，怎能讓學(xué)生自主探究？”學(xué)習(xí)是知與行的統(tǒng)一，只“講”肯定不會(huì)；探究是深層次的思維活動(dòng)，是“心動(dòng)”與“行動(dòng)”的融合。生源越差越要精心組織學(xué)生的探究活動(dòng)，如何鋪設(shè)探究的臺(tái)階是對(duì)教師的考驗(yàn)。例如，誘導(dǎo)公式的探究，可以從探究具體角（如/3和/3）的三角函數(shù)的關(guān)系開(kāi)始。,六、概念教學(xué)的要義是什么？,概念教學(xué)的核心概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開(kāi)，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)觀察、

13、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念； 先“舉三反一”，再“舉一反三”：先用典型、豐富的具體事例，分析、綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性；再把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中。,概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié),典型豐富的具體例證屬性的分析、比較、綜合； 概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性； 下定義（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述）； 概念的辨析以實(shí)例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義； 用概念作判斷的具體事例形成用概念作判斷的具體步驟； 概念的“精致”建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。,例7 函數(shù)奇偶性的教學(xué),急功近利的做法 （1）給出函數(shù)y=x2和y=x的圖像，并提出問(wèn)題：如果從圖象的對(duì)稱性觀察，兩個(gè)圖像各有什

14、么特點(diǎn)？ （2）給表格并提問(wèn)：數(shù)量關(guān)系上有啥特征？ （3）能否描述一下函數(shù)y=x2的特征？,學(xué)生的回答：對(duì)于y=x2，當(dāng)x取任意數(shù)時(shí)y都取正數(shù)；函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等； （4）對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，是否都有 f(x)f(x)？ （5）能否描述一下偶函數(shù)的定義？ “一個(gè)函數(shù)打天下”，缺乏概括的基礎(chǔ)。,注重概括過(guò)程的做法,典型、豐富的例證不止一個(gè)：y=x2，y=|x|， y=x22； 從觀察圖像、概括共同特征入手； 列表，從數(shù)的角度描述特征； 形、數(shù)對(duì)照從形到數(shù)用函數(shù)符號(hào)語(yǔ)言描述特征； 概念的精致：內(nèi)涵、外延的深加工，概念要素的具體界定；組織建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。,

15、七、如何理解螺旋上升、循序漸進(jìn)？,“模塊化”體系下，立體幾何、解析幾何、概率、統(tǒng)計(jì)等都采用“螺旋上升”式，怎么看？ 螺旋上升既有數(shù)學(xué)概念發(fā)展史的依據(jù)，也有學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律的依據(jù)； 螺旋上升應(yīng)該體現(xiàn)“必要性”，如函數(shù)概念必須螺旋式學(xué)習(xí)，但解析幾何不必搞三個(gè)螺旋；,“螺旋式”可能產(chǎn)生的問(wèn)題是重復(fù)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的問(wèn)題； 重要的數(shù)學(xué)思想方法必須得到“螺旋上升地重復(fù)”“隱性知識(shí)”，“可以意會(huì)不可言傳”，要經(jīng)歷“滲透概括應(yīng)用”的學(xué)習(xí)階段。,例8 概念多元聯(lián)系表示體現(xiàn)的螺旋上升,比例關(guān)系： 算術(shù)比和比例、百分?jǐn)?shù)、比例尺； 平面幾何線段比和比例、相似形等； 解析幾何斜率、線性方程； 統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖表、頻率與

16、概率。 當(dāng)利用基本的幾何概念（如相似）和代數(shù)概念（如線性關(guān)系）引入比例概念時(shí)，學(xué)生對(duì)比例關(guān)系的理解就會(huì)更深刻。,八、如何理解“不是教教材，是用教材教”？,現(xiàn)象：脫離教材，大量使用教輔； 原因：教材內(nèi)容“簡(jiǎn)單”，不足以應(yīng)付高考；對(duì)“不是教教材，而是用教材教”、“創(chuàng)造性使用教材”的意圖有誤解；有的教師不善于或不愿意花大力氣研究教材。,我的看法,“不是教教材，而是用教材教”“脫離教材”，是針對(duì)“照本宣科”的； 教材的“基礎(chǔ)性”與高考的“選拔性”有目標(biāo)差異，但學(xué)好教材一定是高考取得好成績(jī)的前提，教師的主要精力應(yīng)當(dāng)放在幫助學(xué)生熟練掌握教材內(nèi)容上。,理解教材是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提，而“理解教材”的第一要義是

17、“理解數(shù)學(xué)”：了解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過(guò)程和價(jià)值觀資源，區(qū)分核心知識(shí)和非核心知識(shí)等。 課本、課本，一科之本。課堂教學(xué)應(yīng)“以課本為本”。,例9 函數(shù)概念概括過(guò)程的設(shè)計(jì),目的：反映函數(shù)概念本質(zhì)，形成正確的函數(shù)概念 “對(duì)應(yīng)關(guān)系”的理解，y=f(x)中，符號(hào)f、x、y的含義，f的表現(xiàn)形式的多樣性、本質(zhì)的一致性（三要素）既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，特別重視用表格、圖象表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系的使用，目的是幫助學(xué)生從“多元聯(lián)系表示”上深入思考，為突破難點(diǎn)奠定基礎(chǔ)；,（1）從典型實(shí)例出發(fā)引出函數(shù)概念 目的： 加強(qiáng)背景，體現(xiàn)“函數(shù)模型”思想； 加強(qiáng)概念形

18、成過(guò)程； 在學(xué)生頭腦中形成豐富的函數(shù)例證。 抽象概念的學(xué)習(xí)要從具體例證開(kāi)始 理解抽象概念需要具體例證的支持,用“歸納式”構(gòu)建教學(xué)過(guò)程,（2）精心選擇實(shí)例 解析式、圖象、表格 目的形成正確的函數(shù)概念： 函數(shù)是刻畫(huà)變量間依賴關(guān)系的法則； 不一定都有解析式，即對(duì)應(yīng)關(guān)系f可以是解析式，也可以是圖，還可以是表格； 加強(qiáng)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的引導(dǎo)； 不在細(xì)節(jié)上過(guò)分糾纏。,（3）讓學(xué)生構(gòu)造具體背景解釋抽象的解析式,函數(shù)y=x2，xR的對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)具體背景，解釋這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。 構(gòu)造一個(gè)實(shí)際背景，解釋函數(shù)y= 的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,九、重結(jié)果輕過(guò)程的危害是什么？,數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。數(shù)

19、學(xué)思想方法孕育于知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中?！八枷搿笔歉拍畹撵`魂，是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的源泉，是從技能到能力的橋梁；“過(guò)程”是“思想”的載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺(tái)，是思維訓(xùn)練的通道，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的土壤。,沒(méi)有過(guò)程=沒(méi)有思想； 沒(méi)有思想就難以理解概念的實(shí)質(zhì)； 缺乏數(shù)學(xué)思想方法的紐帶，概念間的關(guān)系無(wú)法認(rèn)識(shí)、聯(lián)系也難以建立，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性等“功能指標(biāo)”都會(huì)大打折扣。 沒(méi)有“過(guò)程”的教學(xué)把“思維的體操”降格為“刺激反應(yīng)”訓(xùn)練，是教育功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中表現(xiàn)。,例10“遞推數(shù)列”的教學(xué),常見(jiàn)做法歸納題型，總結(jié)技巧： 1利用a1=S1，an=SnSn-1 2an+

20、1 =k an+b型，分k=1和k1討論， k1 時(shí)，設(shè)an+1+m=k（an +m）， 3an+1=kan +f(n)型，分k=1、f(n)是否可求和，k1、f(n)=an+b， f(n)=qn(q 0，1)，等； 4an+1 =f(n)an型； 5. an+2=pan+1+qan(p、q為常數(shù))型； 題型套題型，題型何其多，沒(méi)有思想方法作為主線，雜亂無(wú)章。,an+1=p an +q型通項(xiàng)公式的教學(xué)設(shè)計(jì),求an+1=p an +q型數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題，一般地，抽象問(wèn)題具體化、一般問(wèn)題特殊化是研究問(wèn)題的基本策略。 問(wèn)題1 已知a1=1，an+1=2an+1（n1），求通項(xiàng)公式。 問(wèn)題2 已知a1

21、=1，an+1=2an+3（n1），求通項(xiàng)公式。 問(wèn)題3 已知a1=1，an+1=3an+1（n1），求通項(xiàng)公式。,問(wèn)題1、2可以“湊”，但問(wèn)題3不能，怎么辦？注意觀察前兩個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程，轉(zhuǎn)化得到的結(jié)構(gòu)有什么共性？對(duì)解決問(wèn)題3有什么啟發(fā)？ 結(jié)論：都轉(zhuǎn)化為an+1+t=k(an+t)的形式。 問(wèn)題4 一般地，對(duì)于a1=a，an+1=pan+1 +q，如何求通項(xiàng)公式？因?yàn)橥茝V到了“同類事物”，所以要注意“完備性”，細(xì)節(jié)、特例的追究。,十、什么才是“數(shù)學(xué)思維的教學(xué)”,比較流行的教學(xué)有兩種：一是數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)；二是辛勤挖掘“細(xì)枝末節(jié)”，并在細(xì)枝末節(jié)上對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，認(rèn)為這是對(duì)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練

22、，例如，對(duì)零向量的“辛勤耕耘”： 怎樣表示0向量？ 0向量的長(zhǎng)度為什么為0，方向任意？ ab，bc，那么ac嗎？ 零向量與零向量相等嗎？ a=b 則ab，對(duì)嗎？ ab，則a與b方向相同或相反，對(duì)嗎？,例11“柯西不等式”的教學(xué)設(shè)計(jì),引入：均值不等式的推廣方法為引子，指出探究的方向可以是“指數(shù)的推廣”、“元數(shù)的推廣”等。這些做完了，還能不能有其他方向的探究。 問(wèn)題1：比較(a2 +b2)(c2 +d2)與(ac +bd) 2的大小關(guān)系。 追問(wèn)：還有別的方法嗎？(a2 +b2)(c2 +d2) (ac +bd) 2的結(jié)構(gòu)能給我們什么聯(lián)想和啟發(fā)？構(gòu)造函數(shù)y=(a2 +b2)x2 +2(ac +bd)x + (c2 +d2)。,問(wèn)題2：你能對(duì)這一不等式作出幾何解釋嗎？ 問(wèn)題3：將這一不等式作出推廣，給出證明和相應(yīng)的幾何解釋，并說(shuō)明你在推廣不等式時(shí)的思路。 問(wèn)題4：你認(rèn)為柯西不等式有怎樣的結(jié)構(gòu)特征？,設(shè)計(jì)思路,可以想像，柯西在發(fā)現(xiàn)這一不等式可能有一定的偶然性，可能經(jīng)過(guò)一定的“嘗試錯(cuò)誤”。引入時(shí)給一定的合情推理的引導(dǎo)，使探究成為一種“定向探究”。 比較(a2 +b2)(c2 +d2)與(ac +bd) 2的大小關(guān)系，是在