等差與等比數(shù)列習(xí)題和答案

1、等差與等比數(shù)列1數(shù)列1，3，7，15，的通項(xiàng)公式an 等于（ ）（a）2n （b）2n1 （c）2n1 （d）2n1【提示】排除法由已知，各項(xiàng)均為奇數(shù)所以（a）、（d）不正確對(duì)于（b），由于n1時(shí)，2113所以（b）也不正確也可以直接歸納出2n1【答案】（c）2已知等差數(shù)列的公差為d，它的前n 項(xiàng)和snn2，那么（ ）（a）an2 n1，d2 （b）an2 n1，d2（c）an2 n1，d2 （d）an2 n1，d2【提示】由snn2 知，a1s11，a2s2a13，從而d2，且ana1（n1）d1（n1）（2）2 n1【答案】（c）3在a 和b（a b）兩數(shù)之間插入n 個(gè)數(shù)，使它們與a、b

2、組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（ ）（a） （b） （c） （d）【提示】ba（n2）1d 【答案】（b）4數(shù)列an中，an2 n100，當(dāng)前n 項(xiàng)和sn 達(dá)到最大值時(shí)，n 等于（ ）（a）49 （b）50 （c）51 （d）49或50【提示】令an2 n1000，得n50即a49 以前各項(xiàng)均為正數(shù)，a500，故s49 或s50 最大【答案】（d）5等比數(shù)列an的首項(xiàng)a11，前n 項(xiàng)和為sn，若，則等于（ ）（a） （b） （c） （d）【提示】由已知可求得q【答案】（a）6等差數(shù)列an中，a10，s5s11，則第一個(gè)使an 0的項(xiàng)是（ ）（a）a7 （b）a8 （c）a9 （d）a10【提示

3、】由s5s11 得2 a115 d0，又a10，所以d 0而2 an2 a12（n1）d（2 n17）d 0，所以2 n170即n8.5【答案】（c）7已知數(shù)列an中，a3，a10 是方程x23 x50的兩根，若an是等差數(shù)列，則a5a8_；若an是等比數(shù)列，則a6a7_【提示】a3a103，a3a105再利用已知與所求中的關(guān)系可求【答案】a5a8a3a103；a6a7a3a1058在等比數(shù)列an中，若其中三項(xiàng)a1、a2、a4 又成等差數(shù)列，則公比是_【提示】由已知，得2（a1q）a1a1q3 即q32 q10【答案】1或9等差數(shù)列an的公差d0已知s651，a2a552則s7_【提示】列出a

4、1 和d 的方程組，求a1 和d 進(jìn)而求s7 或由s63（a2a5）51，得方程組，求出a2，a5，進(jìn)而求s7 【答案】7010已知等差數(shù)列an的公差d 0，且a1、a3、a9 成等比數(shù)列，則_【提示】由已知推出a1d（d 0），并代入所求式中，消去d 即可【答案】11已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n50，則當(dāng)n=_時(shí)，sn的值最小，sn的最小值是_。 (答案：16，392)12.在等差數(shù)列中已知a1=12, a6=27,則d=_13.在等差數(shù)列中已知，a7=8，則a1=_14.數(shù)列的前n項(xiàng)和，則_15.若成等差數(shù)列，則x的值等于（ ） a.0 b. c. 32 d.0或32 16.在等差數(shù)列中，

5、則的值為（ ）a.84 b.72 c.60 . d.4817. 在等差數(shù)列中，前15項(xiàng)的和 ，為（ ）a.6 b.3 c.12 d.4 18.在等差數(shù)列中,若，則的值等于（ ）a.45 b.75 c.180 d.30019已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，則它的前8項(xiàng)和s8 等于（ ）（a） （b） （c） （d）【提示】an（），sn（1）【答案】（d）20.已知an是等比數(shù)列，且an0，a2a42a3a5a4a6=25，那么a3a5的值等于 （ ）a5b10c15d2021.已知方程的四個(gè)根組成的一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則 （ ）a1bcd22.數(shù)列an中，已知s1 =1， s2=2 ，且sn13

6、sn 2sn1 =0(nn*)，則此數(shù)列為（ ）a等差數(shù)列 b等比數(shù)列 c從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列 d從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列23.等比數(shù)列前項(xiàng)和為54，前項(xiàng)和為60，則前項(xiàng)和為 （ ）a66 b64 c d24.數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a n =(nn*)，若前n項(xiàng)的和為10，則項(xiàng)數(shù)為（ ） a11 b99 c120 d12125.數(shù)列的前項(xiàng)的和sn =3n2 n1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式a n=_ 16、，與同為奇數(shù)或偶數(shù)26已知，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和_.(答案：)27.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令求數(shù)列前n項(xiàng)和的公式 解析：設(shè)數(shù)列公差為，則 又所以()解：令則由得 當(dāng)時(shí)，式減去

7、式，得 所以當(dāng)時(shí)， ，綜上可得當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，28.求下面各數(shù)列的和：（1）；（2） (1)(本題用到的方法稱為“裂項(xiàng)法”，把通項(xiàng)公式化為an=f(n1)f(n)的形式)(2)通項(xiàng)呈“等差等比”的形式，29.數(shù)列an滿足a1=1，an=an11(n2)（1）若bn=an2，求證bn為等比數(shù)列；（2）求an的通項(xiàng)公式 解析： (1)由an=an11得an2= (an12)即，(n2)bn為以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列(2)bn=(1)( )n1，即an2=()n1an=2()n130.等比數(shù)列an中，a4=4,則a2a6等于（ ）a.4b.8c.16d.32答案:c31.在等比數(shù)列an中，a28，

8、a564，則公比q為（ ）（a）2（b）3（c）4（d）8答案:a32.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則=（ ）a84 b72 c33 d189答案:a33. 已知數(shù)列滿足，（），則當(dāng)時(shí)，（ ）（a）2n （b） （c） （d） 答案d34. 在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于 ( )(a) (b) (c) (d)答案:c35.若數(shù)列滿足：，2，3.則.答案: ；36設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為sn，若sn+1,sn，sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .答案:；37.已知為等比數(shù)列，求的通項(xiàng)式。解: 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q, 則q0, a2= = , a

9、4=a3q=2q所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 當(dāng)q=時(shí), a1=18.所以 an=18()n1= = 233n. 當(dāng)q=3時(shí), a1= , 所以an=3n1=23n3.38. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （）數(shù)列的前項(xiàng)和解：（） ， ， ，又， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（）由（）知，即，設(shè)， 則，由得 ，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和 39. 已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和，求 【解題思路】可以先求出，再根據(jù)的形式特點(diǎn)求解.【解析】，即40. 已知為等比數(shù)列，求的值.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，；41. .已知是等比數(shù)列，則=（ ） 【解析】c，42. 在等比數(shù)列an中，s

10、41，s83，則a17a18a19a20的值是（ ）a、14 b、16 c、18 d、20答案:b43. 8、在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則_。答案:544、在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和中，最小，且，前n項(xiàng)和，求n和公比q解析：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以依題意知 45、設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)的和sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求證數(shù)列an為等比數(shù)列。解: ()由,得 又,即,得. ()當(dāng)n1時(shí), 得所以是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.46、在等比數(shù)列中，則 =（ ）a. 81 b. 27 c. d. 243答案:a47、等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）a b c d答案:b48、在等比數(shù)列中，已知?jiǎng)t

11、該數(shù)列前15項(xiàng)的和s15= .答案:111. 原式= 49.已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則其公差是 . 【解析】 已知兩式相減，得 50.設(shè)數(shù)列中，則通項(xiàng) . 【解析】 利用迭加法（或迭代法），也可以用歸納猜想證明的方法. 51.已知等差數(shù)列中，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若數(shù)列滿足，設(shè)，且，求的值.【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則，令，得當(dāng)時(shí)，52.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值；求的值；求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】等差數(shù)列中，公差，令當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，取得最大值；數(shù)列是等差數(shù)列；由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 53.等差數(shù)列an前四項(xiàng)和為40，末四項(xiàng)和為72，所有項(xiàng)和為140

12、，則該數(shù)列共有（ ）a.9項(xiàng) b.12項(xiàng) c.10項(xiàng) d.13項(xiàng)【答案】c【解析】a1+a2+a3+a4=40,an+an-1+an-2+an-3=72.a1+an=28.又=140,故n=10.54.在等差數(shù)列an中,-1,若它的前n項(xiàng)和sn有最大值,則下列各數(shù)中是sn的最小正數(shù)值的是( )a.s1 b.s38 c.s39 d.s40【答案】c【解析】因sn有最大值,故d0,又0.因a21a20,故a200,a20+a210.s40=20(a1+a40)=20(a20+a21)0.s39=39a200,s39-s38=a390.又s39-s1=a2+a3+a39=19(a2+a39)=19(

13、a1+a40)0,故選c.55.設(shè)f(x)=,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和方法,求f()+f()+f()的值為_(kāi).【答案】5【解析】當(dāng)x1+x2=1時(shí),f(x1)+f(x2)=1.設(shè)s=f()+f()+f(),倒序相加有2s=f()+f()+f()+f()+f()+f()=10.即s=5.56.an是等差數(shù)列，公差d0，sn是an的前n項(xiàng)和，已知a2a3=40,s4=26.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令bn=，求數(shù)列bn的所有項(xiàng)之和t.【解析】（1）s4=(a1+a4)=2(a2+a3)=26.又a2a3=40,d0，a2=5,a3=8,d=3.an=a2+(n-2)d=3n-1.

14、(2)bn=tn=.56.設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為sn,且對(duì)于所有的正整數(shù)n,有an=2-2.(1)寫出數(shù)列an的三項(xiàng);(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,并寫出推證過(guò)程;(3)令bn=,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.【解析】(1)由題意，當(dāng)n=1時(shí)，有a1=2-2,s1=a1，a1=2-2,解得a1=2.當(dāng)n=2時(shí)，有a2=2-2,s2=a1+a2,將a1=2代入，整理得（a2-2）2=16,由a20，解得a2=6.當(dāng)n=3時(shí)，有a3=2-2,s3=a1+a2+a3,將a1=2,a2=6代入，整理得（a3-2）2=64,由a30，解得a3=10.所以該數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2，6，10.(2)由

15、an=2-2(nn*),整理得sn=(an+2)2,則sn+1=(an+1+2)2,an+1=sn+1-sn=(an+1+2)2-(an+2)2.整理，得（an+1+an）(an+1-an-4)=0,由題意知an+1+an0,an+1-an=4.即數(shù)列an為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)a1=2，公差d=4,an=a1+(n-1)d=2+4(n-1).即通項(xiàng)公式為an=4n-2(nn*).(3)bn=,tn=b1+b2+bn=.57.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.求； 求；求.【解題思路】利用求出，把絕對(duì)值符號(hào)去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問(wèn)題.【解析】4.，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， .由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.； ；當(dāng)時(shí)

16、， 當(dāng)時(shí)， 58.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則 ； 已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則 .【解題思路】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.【解析】；方法1：令，則.，；方法2：不妨設(shè) .，；方法3：是等差數(shù)列，為等差數(shù)列三點(diǎn)共線.59.已知為等差數(shù)列，是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是（ ） a.21 b.20 c.19 d.18答案:b60.已知數(shù)列中，數(shù)列滿足；（1） 求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2） 求數(shù)列中的最大值和最小值，并說(shuō)明理由(1),而,；故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列；（2）由（1）得，則；設(shè)函數(shù)，函數(shù)在和上均為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；且，當(dāng)趨向于時(shí)，接近1，61. 在數(shù)列中，（1）設(shè)證明是等差數(shù)列;（2）求數(shù)列的前