2009.6參考答案

1、參考答案 DDAB JI 1. 10 2.3 4.4J61 5. 1. ? (-1)n nx 2n +1 1,1 6. 10 一兀 x ；! （A類）解: 2 2 2(x +y ) ,Q cP 2 2， 2 2(x +y )則 cy2(x 2 y 2 2 y ) cQ I I 2 （1 ）設(shè)D是由L所圍成的閉區(qū)域。因奇點(diǎn)（,）疋D ,所以由格林公式，得 ydx - xdy 一cQ cP EVDix 帀 dxdy=0 _ r 2 =r是位于D內(nèi) 廠I 2.2 （2 ）設(shè)D是由L所圍成的閉區(qū)域。選取一正數(shù)rvJ21，則l：x十y 的圓周（取逆時(shí)針方向）。記L和丨所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈1 , （,）吒D

2、1，從而由格林公式，得 ydx-xdyQ L +-C/、2 .、,2 = +-2(x2+y2)7 ix)d x =2sinn兀x+1 cos nTTx 2 1-(-1)n 務(wù)2 4 2 2 n兀 0 n = 2k -1 n =2k k =1,2,.； bn 54 處 f(x)5 一芻2 兀一 n呂（2n-1）2 cos(2n 1)花 X 因延拓后的函數(shù)在（-處，邑）是連續(xù)的，從而 f(x)=24：1 兀2 n(2n-1)2 cos(2 n 1)兀 X 0 x1 最后求級數(shù) nn n 土n n(2 n -1) n 壬(2 n T)2，得 2 n(2 n) 4 nn 心(2 n-1)2 。又 （B

3、類）對函數(shù)f（X）偶周期延拓，先求延拓后函數(shù)的傅里葉級數(shù): ao an bn f (x) 卜 得3 cos(nx)d 2 2 X .丄 2x2. =sin nx + cosnx 飛 sin nx nn +4送/ cosnx 2 nA n = 4(-1)n n 因延拓后的函數(shù)在（-處，邑）是連續(xù)的，從而 f(x)十 附加題. 解: P =丄1 +y2f(xy) y Qry2f(xy)-1 y，則 cP 1 p1+y y 2 1 2 1 f (xy) + 2yf (xy) +xy f(xy) = xyf(xy) + f (xy)- y (X 12x y2f(xy)-1 + 1 f(xy) =xyf

4、(xy)中 f (xy)-二 y 所以 cP cQ 血，這說明曲線積分 n 12 乜卩+yf(x加x+ 4y2f(xy)-1dy y 在上半平面內(nèi)與 積分路徑L無關(guān)，只與起止點(diǎn)有關(guān)。 取 Li: y =b (x:aT c) L2 :x =c (y:bT d)，則 + 沖2f(xy)Tdy 12x 2 I 1+y f(xy)dy f(xy)1dy L1 2 yy 1x1x 再 2 訐f(xy)dxy2f(xy)-1dyrL1+y2f(xy)dxy2f(xy)-1dy c 12d c 2 = 1 +b f (bx)d x + .byy f(cy)Tdy c acdc c =+ f bf (bx)d X + f cf (cy)d y + b abd b cb Lf(t)dt cd _ c d cd Ib f(t)dt d c a b 注：另外，也可取路徑 ab 7, (x：aT c)，則 ，中+y2f(xy)dx+y2f(xy)Tdy 11+y2f(xy)dx+$y2f(xy) -1d y yy x3 f(ab)+xf(ab)-苻 ab (-y)d x x c 2x 2 2 c -a c a ab