第10章-期權(quán)定價(jià)模型與數(shù)值方法PPT課件

1、第10章 期權(quán)定價(jià)模型與數(shù)值方法,10.1期權(quán)基礎(chǔ)概念,1 期權(quán)的定義 期權(quán)分為買(mǎi)入期權(quán)（call option）和賣(mài)出期權(quán)（put option）。 買(mǎi)入期權(quán):又稱(chēng)看漲期權(quán)（或敲入期權(quán)），它是賦予期權(quán)持有者在給定時(shí)間（或在此時(shí)間之前任一時(shí)刻）按規(guī)定價(jià)格買(mǎi)入一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利的一種法律合同。 賣(mài)出期權(quán):又稱(chēng)看跌期權(quán)（或敲出期權(quán)），它是賦予期權(quán)持有者在給定時(shí)間（或在此時(shí)間之前任一時(shí)刻）按規(guī)定價(jià)格賣(mài)出一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利的一種法律合同。 2 期權(quán)的要素 期權(quán)的四個(gè)要素：行權(quán)價(jià)（exercise price或striking price）、到期日（maturing data）、標(biāo)的資產(chǎn)（und

2、erlying asset）、期權(quán)費(fèi)（option premium）。 對(duì)于期權(quán)的購(gòu)買(mǎi)者（持有者）而言，付出期權(quán)費(fèi)后，只有權(quán)利沒(méi)有義務(wù)；對(duì)期權(quán)的出售者而言，接受期權(quán)費(fèi)后，只有義務(wù)沒(méi)有權(quán)利。,10.1.1 期權(quán)及其有關(guān)概念,3 期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值 買(mǎi)入期權(quán)在執(zhí)行日的價(jià)值CT為 CT=max(ST E,0) 式中:E表示行權(quán)價(jià)；ST表示標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)。 賣(mài)出期權(quán)在執(zhí)行日的價(jià)值PT為 PT=max(E ST,0) 根據(jù)期權(quán)的行權(quán)價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)之間的關(guān)系，期權(quán)可分為價(jià)內(nèi)期權(quán)（in the money）(S E)、平價(jià)期權(quán)（at the money）(S = E)和價(jià)外期權(quán)（out of the mo

3、ney）(S E)。,10.1.1 期權(quán)及其有關(guān)概念,說(shuō)明期權(quán)價(jià)格與股票價(jià)格相關(guān),10.2.4 Black-Scholes方程求解,BlackScholes微分方程的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)。在風(fēng)險(xiǎn)中性事件中，以下兩個(gè)結(jié)論稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則: 任何可交易的基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，即恒有 = r ; 任何一種衍生工具當(dāng)前t時(shí)刻的價(jià)值均等于未來(lái)T時(shí)刻其價(jià)值的期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。 BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式，歐式買(mǎi)權(quán)或賣(mài)權(quán)解的表達(dá)式為,式中：,MATLAB中計(jì)算期權(quán)價(jià)格的函數(shù)為blsprice函數(shù)，語(yǔ)法為 Call, Put = blsprice(Price, Stri

4、ke, Rate, Time, Volatility, Yield) 輸入?yún)?shù)： Price：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格； Strike：執(zhí)行價(jià)格； Rate：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率； Time：距離到期時(shí)間； Volatility：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率； Yield：（可選）資產(chǎn)連續(xù)貼現(xiàn)利率，默認(rèn)為0。 輸出參數(shù)： Call: Call option價(jià)格； Put：Put option價(jià)格。,10.2.4 Black-Scholes方程求解,例10.2 假設(shè)歐式股票期權(quán),三個(gè)月后到期,執(zhí)行價(jià)格95元,現(xiàn)價(jià)為100元,無(wú)股利支付,股價(jià)年化波動(dòng)率為50%,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%,計(jì)算期權(quán)價(jià)格。 代碼如下:,10.2.4 B

5、lack-Scholes方程求解,%標(biāo)底資產(chǎn)價(jià)格 Price=100; %執(zhí)行價(jià)格 Strike=95; %無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率（年化）10% Rate=0.1 %剩余時(shí)間 Time=3/12; %年化波動(dòng)率 Volatility=0.5 Call, Put = blsprice(100, 95, 0.1, 0.25, 0.5) Call=13.70 %買(mǎi)入期權(quán) Put=6.35 %賣(mài)出期權(quán),10.2.5 影響期權(quán)價(jià)格的因素分析,期權(quán)價(jià)格受到當(dāng)前價(jià)格S、執(zhí)行價(jià)格E、期權(quán)的期限T、股票價(jià)格方差率2及無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r五個(gè)因素的影響。下面以歐式看漲期權(quán)為例來(lái)分析。期權(quán)對(duì)這五個(gè)因素的敏感程度稱(chēng)為期權(quán)的Greeks

6、，其計(jì)算公式與計(jì)算函數(shù)如下。,1. 德?tīng)査―elta） 期權(quán)是考察期權(quán)價(jià)格隨標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的關(guān)系，從數(shù)學(xué)角度看，是期權(quán)價(jià)格相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù),有,計(jì)算函數(shù)為blsdelta.m,函數(shù)語(yǔ)法如下：,10.2.5 影響期權(quán)價(jià)格的因素分析,CallDelta,PutDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) 輸入?yún)?shù)： Price：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格； Strike：執(zhí)行價(jià)格； Rate：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率； Time：距離到期時(shí)間； Volatility：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率； Yield：（可選）資產(chǎn)連續(xù)貼現(xiàn)利率，默認(rèn)為0。 輸出

7、參數(shù)： CallDelta: 看漲期權(quán)的； PutDelta：看跌期權(quán)的。,例10.2 假設(shè)歐式股票期權(quán),三個(gè)月后到期,執(zhí)行價(jià)格95元,現(xiàn)價(jià)為100元,無(wú)股利支付,股價(jià)年化波動(dòng)率為50%,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%,計(jì)算期權(quán)。 代碼如下: Price=60:1:100; %標(biāo)底資產(chǎn)價(jià)格 Strike=95; %執(zhí)行價(jià)格 Rate=0.1; %無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余時(shí)間 Volatility=0.5; %年化波動(dòng)率 CallDelta, PutDelta = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility),若要分析

8、期權(quán)與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、剩余期限的關(guān)系，即不同的Price與Time計(jì)算不同的三維關(guān)系，可以編寫(xiě)如下代碼： Price=60:1:100; %標(biāo)底資產(chǎn)價(jià)格 Strike=95; %執(zhí)行價(jià)格 Rate=0.1; %無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余時(shí)間 Volatility=0.5; %年化波動(dòng)率 Price,Time=meshgrid(Price,Time); Calldelta, Putdelta = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility); %mesh(Price, Time, Calldelta); mes

9、h(Price, Time, Putdelta); xlabel(Stock Price ); ylabel(Time (year); zlabel(Delta);,10.2.5 影響期權(quán)價(jià)格的因素分析,2. 西塔（Theta） 表示期權(quán)價(jià)格對(duì)于到期日的敏感度，稱(chēng)為期權(quán)的時(shí)間損耗。,3. 維伽（Vega） 表示方差率對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。 4. 珞（Rho） 為期權(quán)的價(jià)值隨利率波動(dòng)的敏感度，利率增加，使期權(quán)價(jià)值變大。 5. 伽瑪（Gamma） 表示與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的關(guān)系。,10.2.5 影響期權(quán)價(jià)格的因素分析,10.3BS公式隱含波動(dòng)率計(jì)算,BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式，歐式期權(quán)理論價(jià)格

10、的表達(dá)式：,式中：,隱含波動(dòng)率是將市場(chǎng)上的期權(quán)交易價(jià)格代入權(quán)證理論價(jià)格BlackScholes模型反推出來(lái)的波動(dòng)率數(shù)值。由于期權(quán)定價(jià)BS模型給出了期權(quán)價(jià)格與五個(gè)基本參數(shù)之間的定量關(guān)系，只要將其中前4個(gè)基本參數(shù)及期權(quán)的實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格作為已知量代入定價(jià)公式，就可以從中解出惟一的未知量，其大小就是隱含波動(dòng)率。,10.3.1 隱含波動(dòng)率概念,10.3. 2隱含波動(dòng)率計(jì)算方法,隱含波動(dòng)率是把權(quán)證的價(jià)格代入BS模型中反算出來(lái)的，它反映了投資者對(duì)未來(lái)標(biāo)的證券波動(dòng)率的預(yù)期。BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式中已知St (標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格)、X (執(zhí)行價(jià)格)、r (無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率)、Tt (距離到期時(shí)間)、看漲期權(quán)

11、ct或者看跌期權(quán)pt ,根據(jù)BS公式計(jì)算出與其相應(yīng)的隱含波動(dòng)率yin。,數(shù)學(xué)模型為,式中:,求解方程fc(yin)=0,fp (yin)=0的根。,本質(zhì)上是非線(xiàn)性方程,10.3. 3隱含波動(dòng)率計(jì)算程序,利用fsolve函數(shù)計(jì)算隱含波動(dòng)率，fsolve是MATLAB最主要內(nèi)置的求解方程組的函數(shù)，具體fsolve的使用方法可以參看相關(guān)函數(shù)說(shuō)明。 例10.4假設(shè)歐式股票期權(quán)，3個(gè)月后到期，執(zhí)行價(jià)格95元，現(xiàn)價(jià)為100元，無(wú)股利支付，股價(jià)年化波動(dòng)率為50%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，計(jì)算期權(quán)價(jià)格。 計(jì)算結(jié)果如下：,假設(shè)目前其期權(quán)交易價(jià)格為Call=15.00 元，Put=7.00 元，分別計(jì)算其相對(duì)應(yīng)的隱含

12、波動(dòng)率。,Call, Put = blsprice(100, 95, 0.1, 0.25, 0.5) Call = 13.6953 Put = 6.3497,步驟1：建立方程函數(shù)。 看漲期權(quán)隱含波動(dòng)率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其語(yǔ)法如下： f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, Callprice) 程序代碼如下:,function f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time,

13、Callprice) %ImpliedVolatitityCallObj %code by 2009-8-3 Call,Put = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility); %存在一個(gè)波動(dòng)率使得下列等式成立 %fc(ImpliedVolatitity)=Call-Callprice=0 f=Call-Callprice;,10.3. 3隱含波動(dòng)率計(jì)算程序,看跌期權(quán)隱含波動(dòng)率方程的M 文件為ImpliedVolatitityPutObj.m,其語(yǔ)法如下: f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,

14、Strike,Rate,Time,Putprice) 程序代碼如下:,function f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, Putprice) %ImpliedVolatitityCallObj %code by 2009-8-3 %根據(jù)參數(shù)，使用blsprice計(jì)算期權(quán)價(jià)格 Call,Put = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility); %fp(ImpliedVolatitity)=Put-Putprice=0 %目標(biāo)使得尋找X使得目標(biāo)函數(shù)為0

15、 f=Put-Putprice;,10.3. 3隱含波動(dòng)率計(jì)算程序,步驟2： 求解方程函數(shù)。 求解方程函數(shù)的M文件為ImpliedVolatility.m,其語(yǔ)法如下： Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),function Vc,Vp,Cfval,Pfval= ImpliedVolatility( Price, Strike, Rate,Time, CallPrice, PutPrice) %ImpliedVolatility %code by 2009-8-3 Volat

16、ility0=1.0; %優(yōu)化算法初始迭代點(diǎn); %CallPrice對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率 Vc,Cfval =fsolve(Volatility) ImpliedVolatitityCallObj(Volatility, Price, Strike,Rate, Time, CallPrice),Volatility0); %CallPrice對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率 Vp,Pfval =fsolve(Volatility) ImpliedVolatitityPutObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, PutPrice),Volatility0);,10.3.

17、 3隱含波動(dòng)率計(jì)算程序,步驟3： 函數(shù)求解。 M文件TestImpliedVolatility.M代碼如下：,%TestImpliedVolatility %市場(chǎng)價(jià)格 Price=100; %執(zhí)行價(jià)格 Strike=95; %無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 Rate=0.10; %時(shí)間（年） Time=0.25; CallPrice=15.0;%看漲期權(quán)交易價(jià)格 PutPrice=7.0; %看跌期權(quán)交易價(jià)格 %調(diào)用ImpliedVolatility函數(shù) Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),1

18、0.3. 3隱含波動(dòng)率計(jì)算程序,隱含波動(dòng)率與期權(quán)價(jià)格關(guān)系圖,Price=100; Strike=95; Rate=0.10; Time=1.0; Volatility=0:0.1:2.0; n=length(Volatility); Call=zeros(n,1); Put=zeros(n,1); for i=1:n Call(i),Put(i) = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility(i); end subplot(2,1,1) plot(Volatility,Call,-*); legend(CallPrice) subplot(2

19、,1,2) plot(Volatility,Put,-o); legend(PutPrice),知識(shí)脈絡(luò)圖,期權(quán)定價(jià)理論,數(shù)值實(shí)現(xiàn),期權(quán)定價(jià)函數(shù)blsprice.m,影響期權(quán)價(jià)格因素的計(jì)算函數(shù) blsdelta.m blsgamma.m blslambda.m blsrho.m blstheta.m blsvega.m,隱含波動(dòng)率計(jì)算,10.4期權(quán)二叉樹(shù)模型,二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型是由J.C.Cox、S.A.Ross和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已經(jīng)成為金融界最基本的期權(quán)定價(jià)方法之一。二叉樹(shù)模型的優(yōu)點(diǎn)在于其比較簡(jiǎn)單直觀，不需要太多的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以應(yīng)用。,10.4. 1二叉樹(shù)模型

20、的基本理論,二叉樹(shù)模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔t，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔t內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能：從開(kāi)始的S上升到原來(lái)的u倍，即到達(dá)Su；下降到原來(lái)的d倍，即Sd。其中，u 1，d 1。價(jià)格上升的概率假設(shè)為p，下降的概率假設(shè)為1p。相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值也會(huì)有所不同，分別為fu和fd，如右圖所示。,t 時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng),期權(quán)二叉樹(shù)模型定價(jià)計(jì)算方法,單階段情形 多階段情形,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)原則,無(wú)套利原則,10.4.2二叉樹(shù)模型的計(jì)算,在MATLAB的finance工具箱中提供二叉樹(shù)模型計(jì)算期權(quán)價(jià)格的函數(shù)binprice，其語(yǔ)法如下： AssetPrice, OptionValue =

21、 binprice(Price, Strike, Rate, Time, Increment, Volatility, Flag, DividendRate, Dividend, ExDiv) 輸入?yún)?shù)： Price：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格； Strike：執(zhí)行價(jià)格； Rate：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率； Time：距離到期時(shí)間； Increment: 每個(gè)階段的時(shí)間間隔，例如1年分12階二叉樹(shù)，每階段時(shí)長(zhǎng)1個(gè)月； Volatility：波動(dòng)率； Flag: 期權(quán)種類(lèi)標(biāo)記，flag=1看漲期權(quán)，flag=0 看跌期權(quán)； DividendRate：（可選）分紅率； Dividend：（可選）分紅金額向量； ExDi

22、v：（可選）額外份額金額。 輸出參數(shù)： AssetPrice：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格； OptionValue：期權(quán)價(jià)格。,10.4.2二叉樹(shù)模型的計(jì)算,例10.5 假設(shè)歐式股票期權(quán),六個(gè)月后到期,執(zhí)行價(jià)格95元,現(xiàn)價(jià)為100元,無(wú)股利支 付,股價(jià)年化波動(dòng)率為50%,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%,則期權(quán)價(jià)格代碼如下:,%標(biāo)底資產(chǎn)價(jià)格 Price=100; %執(zhí)行價(jià)格 Strike=95; %無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率（年化） Rate=0.1;%10% %剩余時(shí)間 Time=6/12;%; %看漲期權(quán) flag=1; %每階段間個(gè)1個(gè)月 Increment=1/12; %波動(dòng)率 Volatility=0.5; %調(diào)用binpr

23、ice函數(shù) AssetPrice, OptionValue = binprice(Price, Strike, Rate, Time, Increment, Volatility, flag),運(yùn)行結(jié)果,期權(quán)價(jià)格二叉樹(shù)走勢(shì)圖,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格二叉樹(shù)走勢(shì)圖,知識(shí)脈絡(luò)圖,期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,計(jì)算函數(shù)binprice.m,算例實(shí)驗(yàn),10.5期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅方法,10.5. 1模擬基本思路,以歐式期權(quán)f (t , S)（即期權(quán)價(jià)值只與兩個(gè)狀態(tài)變量：資產(chǎn)價(jià)格S和時(shí)間t有關(guān)，且利率為常數(shù)）為例，以說(shuō)明蒙特卡羅模擬的基本方法： 從初始時(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格開(kāi)始，直到到期T，為S取在風(fēng)險(xiǎn)中性事件跨越整個(gè)有效期的一條隨機(jī)路徑，這就給出了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑的一個(gè)