11-12數(shù)值分析試A卷答案

1、11-12數(shù)值分析試A卷答案上海海事年夜教2011-2012教年第 2 教期 研討死 數(shù)值剖析 課程測(cè)驗(yàn)試卷A （問案）教死姓名： 教號(hào)： 業(yè)余： 一挖空題（每一小格2分共30分）1. 使用Jacobi 迭代法供解Ax=b 時(shí)，其迭代矩陣是)(1U L D B J +=-；當(dāng)系數(shù)矩陣A 謙足 寬格對(duì)于角占劣 時(shí)，Jacobi 迭代法支斂 。x 0 1 2 42. 已經(jīng)知函數(shù))(x f 無數(shù)據(jù)f 1 9 23 3 則其3次Lagrange插值多式的基函數(shù))(0x l 為147878123+-+-x x x 插值余項(xiàng)為 )4)(2)(1(!4)()4(-x x x x f 3. 供解常微分圓程初值

2、成績(jī)?=)(),(a y bx a y x f y的Euler 公式為),(1i i i i y x hf y y +=+， 它是1 階圓法。4. 設(shè),1457)(348+-=x x x x f 則好商=5,.,5,5810f 7 =2,.2,2910f 05. 對(duì)于于供解Ax=b ，假如左端有b 的擾動(dòng)存正在而引發(fā)解的偏差為x ，則相對(duì)于偏差xx bbA C o n d )(6. Gauss 型數(shù)值供積公式)()(0i bani ix f Adx x f ?=的代數(shù)粗度具備2n+1_次，供積系數(shù)的抒發(fā)式為i A ?bai dx x l )(2,且=ni iA b-7. 冪法是供矩陣 按模最年

3、夜 特性值以及特性背量的盤算圓法Jacobi 法是盤算 真對(duì)于稱矩陣的一切 特性值以及特性背量的盤算圓法8. 對(duì)于于給定的負(fù)數(shù)k ，Newton 法解2次圓程02=-k x 的迭代公式為)(21)()(1nn n n n n x kx x f x f x x +=-=+ 2設(shè)函數(shù)42)(x x f =，已經(jīng)知188)(244+-=x x x T ，試使用切比雪婦多項(xiàng)式最小整偏偏好的性子，供函數(shù))(x f 正在區(qū)間-1，1上的次數(shù)低于4的最好分歧切近親近。 （5分）解：由切比雪婦多項(xiàng)式最小整偏偏好的性子患上：)(82)()(82x T x p x f =-故：41-2)(82)()(242x x

4、 T x f x p =-= 3用代數(shù)粗度斷定供積公式的供積系數(shù)，并指出其具備的代數(shù)粗度。（7分）)2()1()0()(2102 f w f w f w dx x f +? 解：)2(31)1(34)0(31)(2 f f f dx x f +?具備3次代數(shù)粗度。4當(dāng))(x f 具備4階一連導(dǎo)數(shù)時(shí)，試供出2階3面數(shù)值微分公式)()(2)(1)(00020h x f x f h x f h x f -+-+ 的截?cái)嗥?(h R 。（6分） 解： )(!4)(!3)(!2)()()(2,1)4(40302000f h x f h x f h x f h x f h x f += )(12)()(

5、)(2)(1)4(200002f h x f h x f x f h x f h +=-+-+ 故：)()(12)(2)4(2h f h h R O =-= 5設(shè))(x l i 是閉于各別節(jié)面i x n i ,2,1,0 =的Lagrange 插值基函數(shù)，試證實(shí)：?+=-=1)1(,2,1001)0(100n k xx x nk k x l n n k i ni i （7分） 解：設(shè))(x f 的n+1階導(dǎo)數(shù)存正在，則有：)()()!1()()()()(0)1(0n n ni i i x x x x n f x l x f x f -+=+= 當(dāng)1)(=x f 時(shí)，0)()(11+=n i i

6、x l x f ，以是有1)0(1=ni i l當(dāng)kx x f =)(時(shí)（n k ,2,1=）， 0)()(0+=ni i ki kx l x x f x以是0)0(0=ini k i l x 又1)(+=n xx f 時(shí) ， )()()()(0011n ni i n i n x x x x x l x x f x-+=+與0=x 時(shí)，有n n i ni n i x x x l x1001)1()0(-=+。6設(shè)無方程組Ax=b ，個(gè)中A 為對(duì)于稱正定矩陣，迭代公式)b -(-)()()1(k k k Ax x x =+為使迭代序列)(x x 支斂到Ax=b 的解，試會(huì)商參數(shù)的與值局限。（7分

7、）證實(shí)：能夠患上b x A I xk k +=+)()1()-（迭代矩陣A I B -=，特性值為)(1)(A B -=，又A 對(duì)于稱正定，以是特性值非背，設(shè)n 如1)(1)(20A 20(220A n（B ，以是迭代支斂。 7)(x f 正在0，2上具備4階一連導(dǎo)數(shù)，已經(jīng)知0)0(=f ，1)1(=f ，1)2(=f 以及3)1(=f 試用Newton-Hermite 插值法供謙足上列前提的一個(gè)次數(shù)沒有凌駕3的插值多項(xiàng)式)(x H ，并估量偏差。（7分）解：)2)(1()()(2-+=x x Ax x N x H ,x x x N 2321)(22+-=,由3)1(=f 患上25-=Ax x

8、 x x H 27725)(23-+-= 又)()()(x H x f x R -=)2()1()(!412)4(-x x x f ，)2,0( 8對(duì)于于迭代函數(shù))2()(2-+=x C x x ?，試會(huì)商： 1） 當(dāng)C 與何值時(shí)，發(fā)生的序列k x 全部支斂于2。 2） C 與何值時(shí)迭代最少具備2階支斂速率。 （7分）解：)2()(2-+=x C x x ?，Cx x 21)(+=?，且一連。由定理患上1221)2(1C 時(shí)迭代全部支斂。 又：當(dāng)0221)2(=+=C ?，即C=221-時(shí)，迭代最少是2階支斂的。 9設(shè),1b ac f ，證實(shí)：左矩形供積公式)(2)()()()(2f a b

9、b f a b dx x f ba-=? 當(dāng)0)(x f ，試從多少何上道明左矩形供積公式取真際積分?jǐn)?shù)值年夜小閉系； 試以此機(jī)關(guān)復(fù)開供積公式，并道明該復(fù)開供積公式是支斂的。（9分） 解：果為：)()()(b x f b f x f -+=； 故：dx b x f dx b f dx x f ba baba)()()(-+=?=)(2)()()(2f a b b f a b - 當(dāng)0)(x f 時(shí)，?-ab f a b dx x f )()()(又：分劃a,b患上：,1k k x x -，k=1,2,n 患上復(fù)開公式：?=-=-=-=-=-nk k k nk nk k k k k nk k k

10、bank x x f hx f h f x x x f x x dx x f dx x f kk 1212121111)(2)()(2)()()()()(1以是：)(212k nk f h R =)(2f h a b - 個(gè)中：h nab x x h k k =-=-），（1 有：0lim 0=R h10 供系數(shù)b a ,，使供解常微分圓程初值成績(jī)s y y x f y a x =),(的數(shù)值解公式)(11-+=n n n n y b y a h y y 的全部偏差為)()(311h O y x y n n =-+ （7分）解：設(shè)部少h ，且)(n n x y y =，)(11-=n n x

11、y y 。 果)(21h O y h y y n n n +-=-， 故)()(321h O y bh y h b a y y n nn n +-+=+ 又)()(21)()()(321h O x y h x y h x y x y n n n n +=+，對(duì)比患上23=a ，21-=b10一. 對(duì)于于初值成績(jī)sy y x f y a x =),(， 若函數(shù)),(y x f 正在地區(qū)b x a ，+*),(),(y y L y x f y x f - 前提，試道明2階Runge-Kutta 圓法?+=+=+)2,2(),(12121k y h x hf k y x hf k k y y n n n n n n 正在00h h 步少的制約。 （8分）解：果為： )2,2(),(1k y hx