等比數(shù)列的求和公式

1、1 等比數(shù)列前n項和 2 知識回顧：知識回顧： 2.通項公式：通項公式： 1 1 n n qaa 3.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：等比數(shù)列的主要性質(zhì)： 在等比數(shù)列在等比數(shù)列 中，若中，若 則則 ( ) ( ) n aqpnm qpnm aaaa Nqpnm, 成等比數(shù)列成等比數(shù)列 bGa,abG 2 (G,a,b 0) 1.等比數(shù)列的定義：等比數(shù)列的定義： q n n a a 1 Nnq, 0 （常數(shù)）（常數(shù)） （ ） , m n mn q aa g 相傳，古印度的舍罕王打算重賞國際 象棋的發(fā)明者宰相西薩班達依爾。 于是，這位宰相跪在國王面前說： 陛下，請您在這張棋盤的第一 個小格內(nèi)，賞給我一粒麥子；

2、 在第二個小格內(nèi)給兩粒，第三 格內(nèi)給四粒，照這樣下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所 有64格的麥粒，都賞給您的仆 人罷！ 數(shù)學(xué)小故事 創(chuàng)設(shè)情境、提出問題創(chuàng)設(shè)情境、提出問題 第1格： 第2格： 第4格： 第3格： 第63格： 第64格： 1 2 2 2 3 2 62 2 63 2 64 S 2363 1 2222 .(1) 請同學(xué)們考慮如何求出這個和？請同學(xué)們考慮如何求出這個和？ 64 2S 2363 2(1 2222 ). 64 2S即 236364 22222 .(2) 6464 2SS 23463 (1 2 2222 ) 2346364 (2 22222 )

3、230 - 1 = 1073741823 64 64 21S 這種求和 的方法,就 是錯位相 減法! 19 1.84 10 18446744073709551615 如果如果1000粒麥粒重為粒麥粒重為40克，克， 那么這些麥粒的總質(zhì)量就是那么這些麥粒的總質(zhì)量就是 7300多億噸。根據(jù)統(tǒng)計資料顯多億噸。根據(jù)統(tǒng)計資料顯 示，全世界小麥的年產(chǎn)量約為示，全世界小麥的年產(chǎn)量約為 6億噸，就是說全世界都要億噸，就是說全世界都要 1000多年才能生產(chǎn)這么多小麥，多年才能生產(chǎn)這么多小麥， 國王無論如何是不能實現(xiàn)發(fā)明國王無論如何是不能實現(xiàn)發(fā)明 者的要求的。者的要求的。 如何求等比數(shù)列的如何求等比數(shù)列的Sn:S

4、n: nnn aaaaaS 1321 1 1 2 1 2 111 nn n qaqaqaqaaS nn n qaqaqaqaqaqS 1 1 1 3 1 2 11 ，得 n n qaaSq 11 00)1 ( n n qaaSq 11 )1 ( 錯位相減法錯位相減法 q qaa q qaa S n n n 11 111 :1時q 1.1.使用公式求和時，需注意對使用公式求和時，需注意對 和和 的情況加以討論；的情況加以討論； 1q1q 2.2.推導(dǎo)公式的方法：推導(dǎo)公式的方法：錯位相減法。錯位相減法。 注意：注意： 顯然，當(dāng)q=1時， 1 naS n , 11 1 11 q qaa q qa n

5、 n n S , 1 na ( q=1). (q1). 等比數(shù)列的前n項和表述為： 9 數(shù)數(shù) 列列 等等 差差 數(shù)數(shù) 列列 等等 比比 數(shù)數(shù) 列列 前前 n 項項 和和 公公 式式 推導(dǎo)方法推導(dǎo)方法 2 1n n aan S d nn na 2 1 1 q qa n n 1 1 1 S q qaa n 1 1 1 q 【注意注意】在應(yīng)用等比數(shù)列的前在應(yīng)用等比數(shù)列的前n n項和公式時考項和公式時考 慮慮 公比是否為公比是否為1 倒序相加倒序相加錯位相減錯位相減 10 解解: 例例1 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 的前的前8項的和項的和. , 8 1 , 4 1 , 2 1 8, 2 1 , 2 1 1

6、nqa 2 1 1 2 1 1 2 1 8 8 S . 256 255 q qa S n n 1 )1 ( 1 :a2 n 量中，求滿足下列條件的、在等比數(shù)列例 nn saanq和求. 2 1 ,5,2)2( 1 nqsaa nn 和求.341,512, 1)3( 1 n saa求,2)1( 31 解： 2 1 ,5,2)2( 1 anq 得：代入 q qa sqaa n n n n 1 1 , 11 1 82 2 1 44 15 qaa 2 31 12 2 1 21 21 2 1 5 5 5 s 可得代入將 q qaa nnn n SSaa 11 1 341,512, 1)3( 2. 1 )

7、512(1 341 q q q 解得： 10 )2(1512, 11 1 n qaa nn n 解得： 所以因為 11 2)1( 2 31 qq aa 即 nnaSq n 22221 1 ，所以，時，數(shù)列為常數(shù)列當(dāng) n q qa n nn Sq) 1(11 ) 1(1 ) 1(1 2 1 )1 ( 1 時，當(dāng) 說明： 選擇適當(dāng)?shù)墓?。并且要根?jù)具體題意， 中，只知三可求二，在五個變量 nn Sanqa, 1 . . 作為第一要素來考慮。 的取值，應(yīng)把它意在利用公式，一定要注q 12 例例2. 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 1，2，4，從第從第5項到第項到第10項的和項的和. ,2, 1 1 qa解：

8、.15 21 )21 (1 4 4 S .1023 21 )21 (1 10 10 S .1008151023 410 SS 從第從第5項到第項到第10項的和項的和: 10 s ., 10654321 aaaaaaa 4 s 13 , 2 1 , 2 3 1 qa解： 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 從第從第3項到第項到第7項的和項的和. , 8 3 , 4 3 , 2 3 . 128 381 2 1 1 2 1 1 2 3 7 7 S 所以從第所以從第3項到第項到第7項的和為：項的和為： . 128 153 4 9 128 381 4 3 2 3 7 S 4在等比數(shù)列an中，已知a1a2 an2n1，

9、則a12a22an2等于 _ 15 根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列 的的 . 0,16,81) 3( 51 n aaa 81 16 1 5 4 a a q 3 2 q n a n S ; 6, 2, 3) 1 ( 1 nqa ; 5, 2 1 , 8)2( 1 nqa .189 21 )21(3 6 6 S . 2 31 2 1 1 2 1 18 5 5 S 211 3 2 1 3 2 1681 5 s 等比數(shù)列的前n項和（二） 有關(guān)的性質(zhì) , 11 1 11 q qaa q qa n n n S , 1 na ( q=1). (q1). 等比數(shù)列的前n項和表述為

10、： 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 引入新課引入新課 。 ， 1 1 1 11 1 q -q qaa qna S n n 等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項和公式項和公式: 。 ， 1 1 1 1 1 q -q qaa qna S n n 或或 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 引入新課引入新課 321 n nn n aS a 例 已知數(shù)列前n項和，求此數(shù)列的 通項 ，并證明它是一個等比數(shù)列。 分 析 ： 判 斷 一 個 數(shù) 列 是 等 比 數(shù) 列 （ 或 等 差 數(shù) 列 ） ， 一 定 要 用 定 義 來 判 斷 ： 任 意 兩 相 鄰 的 項 具 有 某 種 特 征 ： 比 （ 或 差 ） 為 定 值 。 11 1,aS解：由已

11、知，得 11 1 (2 1) (21) 2 nnn nnn aSS 1 1 12 (*) n n aan N 又滿 足 上 式 ， 1 1 2 2(*) 2 n n n n a n N a 由于 n a是一個等比數(shù)列 2n 當(dāng)時， 11 1naSAqB當(dāng)時， 11 1 2() () nnn nnn naSSAqB AqBAq Aq 當(dāng)時 ， 0 n aAq B Aq ABAA B 若是等比數(shù)列，則，即 0 n A Ba當(dāng)時，不是等比數(shù)列。 1(1 ) 1 n n nnn aq SSSAqB q 由得探究是形：如的式子， 0A B且， n n a反之，若一個數(shù)列的前 項和為 0,1 n n SA

12、qBAq， n a則數(shù)列是等比數(shù)列嗎？ 0 n A Ba當(dāng)時，是等比數(shù)列； 等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項和的性質(zhì)一：項和的性質(zhì)一： ) 0(AAAqS n n -是等比數(shù)列數(shù)列 n a 類似結(jié)論：類似結(jié)論： 是等比數(shù)列數(shù)列 n a ) 1, 0(AABBAaS nn 相反數(shù)相反數(shù) 例題解析例題解析 n a n a , 13 n n mS 例例1、若等比數(shù)列、若等比數(shù)列 中，中， 2 1 n a n a 18 1 則則 實數(shù)實數(shù)m= -1-1 練習(xí)：練習(xí)：1、已知等比數(shù)列、已知等比數(shù)列 的前的前n項和為項和為 , 6 1 3 1 n n xS則則x的值為的值為 2、已知等比數(shù)列、已知等比數(shù)列 的

13、前的前n項和為項和為 ,23 2 aS n n 則則a的值為的值為 3、已知等比數(shù)列、已知等比數(shù)列 的前的前n項和為項和為,534 2 aS n n 則則a的值為的值為 45 4 等差數(shù)列中依次每等差數(shù)列中依次每k項的和，仍成等差數(shù)列項的和，仍成等差數(shù)列。 在等比數(shù)列中，是否也有類似的性質(zhì)？在等比數(shù)列中，是否也有類似的性質(zhì)？ 71472114 nn aS SSSSS 已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和， 求證：，成等比數(shù)列。 71141211 171421qSa Sa Sa證 明 ：時 ， 14721147 0SSSSS此時， 71472114 SSSSS，成等比數(shù)列 1q當(dāng)時， 71421 11

14、1 71421 (1)(1)(1) 111 aqaqaq SSS qqq ， 2714 22 147 2 2 11 147 22 ()(1) () (1)(1) a qqa qq SS qq 此時 714212 147 2 111 72114 2 (1)()(1) () 11(1) aqa qqa qq SSS qqq 2 14772114 ()()SSSSS 71472114 SSSSS，成等比數(shù)列 探究探究:對于一般的等比數(shù)列對于一般的等比數(shù)列 ，其前，其前n項項 n S n a mmmmm SSSSS 232 , 也成等比數(shù)列也成等比數(shù)列 的和為的和為 ，則，則 的值。求 ，若項和為的前

15、例：等比數(shù)列 m mmnn S SSSna 3 2 3010 70 3 m S解得： 成等比數(shù)列， mmmmm SSSSS 232 - )()( 23 2 2mmmmm SSSSS- )30(10)1030( 3 2 - m S即： 解：解： 的值。求 ，若，項和為的前例：等比數(shù)列 10 15 5 10 1 32 31 , 1 S S S S aSna nn 解：解： 32 31 5 10 S S ) 0(32,31 510 kkSkS設(shè) 成等比數(shù)列， 10155105 SSSSS- )()( 10155 2 510 SSSSS- kS 32 993 15 解得： )31(32)3231( 1

16、5 2 kSkkk-即： 992 993 10 15 S S 。，則 ，若項和為的前、等比數(shù)列 3020 10 80 201 SS SSna nn 2、任意等比數(shù)列，它的前任意等比數(shù)列，它的前 n 項和、前項和、前 2n 項和與前項和與前 3n 項項 和分別為和分別為 X、Y、Z，則下列等式中恒成立的是（，則下列等式中恒成立的是（ ） D AXZ2Y CY2XZ BY(YX)Z(ZX) DY(YX)X(ZX) 260 練一練練一練 2.748,14若某等比數(shù)列中前 項的和為前 項的和為60, 則前21項的和為_ 63. q S S 奇 偶 等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項和的性質(zhì)三：項和的性質(zhì)三：

17、 等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項和的性質(zhì)四：項和的性質(zhì)四： ：、，有對的等比數(shù)列為公比為如果 Npmqan p m mpm SqSS 項，則：共有若等比數(shù)列nan2 22 21 22 2 1 11 , 11 . nn aqaq SS qq Sa q Sa 偶奇 偶 奇 推導(dǎo)過程: 例:已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列的首項為1, 其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170,求這個數(shù) 列的公比和項數(shù). :,解 設(shè)此數(shù)列的公比為q 項數(shù)為2n. 170 2. 85 S S 偶 奇 則q= 2 2 1 22 1 1 85,85. 11 28,8 . n n aq q S qq n 奇 又即 即此數(shù)列共有 項

18、變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：已知一個等比數(shù)列其首項是已知一個等比數(shù)列其首項是1 1， 項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項和是項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項和是8585，所有偶，所有偶 數(shù)項和是數(shù)項和是170170，求此數(shù)列的項數(shù)？，求此數(shù)列的項數(shù)？ 提示：提示： 2 85 170 奇 偶 S S q 25585170 奇偶 SSS n 項和公式得：由等比數(shù)列前n 21 21 255 - n 8 n 1234 910111217181920 n aa aa a aaaaaaaa 2:已知等比數(shù)列, + +=4, +=16,求+的值. :, n aq解 設(shè)等比數(shù)列為 8 91011121234 8 , 4. a aaaa aa aq q + + 8 17181