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1、 二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算 二次根式的混合運(yùn)算 1、二次根式的混合運(yùn)算是指二次根式的 _、_、_、_的混合運(yùn)算 2、二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn) 算順序相同: 先算_,后算_,有括號(hào)的先 算括號(hào)里面的 加減乘 除 乘除加減 二次根式的混合運(yùn)算: 3、二次根式的加減運(yùn)算步驟: 4、二次根式的乘法運(yùn)算公式: 5、二次根式的除法運(yùn)算公式: 2.整式乘法中多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則用字母 表示為 上次更新: 2021年4月21日星期三 1.整式乘法中單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則用字母 表示為: 一、借用整式乘法的法則進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算。 . 上次更新: 2021年4月21日星期三 乘法公式中
2、平方差公式、完全平方公式用字 母如何表示? 1、平方差公式: 。 2、完全平方和公式: 。 3、完全平方差公式: 。 二、套用乘法公式進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算 說一說說一說 如果梯形的上、下底長(zhǎng)分別為如果梯形的上、下底長(zhǎng)分別為 高高 為為 ,那么它的面積是多少?,那么它的面積是多少? 2 2 cm4 3 cm, , 6 cm 1 = 2 2+4 36 2 = 2+2 36 = 26+2 36 = 2 6+2 3 6 = 2 2 3+2 3 3 2 = 2 3+2 3 2 梯梯形形面面 積積 () () ()() 2 = 2 3+6 2 cm .()() 舉舉 例例 例例3 計(jì)算:計(jì)算: 3 1 6
3、 2 8 2 2 + 3 2 1 2 - - - - ( ( ) ) ; ( () )( () )( () ). . 二次根式的混合運(yùn)算是根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算律進(jìn)二次根式的混合運(yùn)算是根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算律進(jìn) 行的行的. 3 1 6 2 8 - -解解 ( ) ( ) 3 = 6 2 2 8 - - 3 = 6 2 2 8 - - 3 = 3 2 2 4 - - 3 = 2 3 2 - - 1 = 2 3 2 - -()() 3 = 3 2 ; 2 2 + 3 2 1 2 - - ( () ) ( () )( () ) = 2 2 2+ 3 2 3 22- - - = 2 2 2+ 3 2 3 2- - -
4、 = 4 + 2- - . . 從例從例3的第的第( (2) )小題看到,二次根式的和相乘,小題看到,二次根式的和相乘, 與多項(xiàng)式的乘法相類似與多項(xiàng)式的乘法相類似. 例例3 計(jì)算:計(jì)算: 2 2 + 3 2 1 2 - -( () )( () )( () ). . 我們可以利用多項(xiàng)式的乘法公式,進(jìn)行某些二我們可以利用多項(xiàng)式的乘法公式,進(jìn)行某些二 次根式的和相乘的運(yùn)算次根式的和相乘的運(yùn)算. 舉舉 例例 例例4 計(jì)算:計(jì)算: 2 1 2 + 1 2 1 2 2 3 - - - - ( ( ) )( () )( () ) ; ( () )( () ) . . 從例從例4的第的第( (1) )小題的結(jié)
5、小題的結(jié) 果受到啟發(fā),把分子與果受到啟發(fā),把分子與 分母都乘以分母都乘以 ,就,就 可以使分母變成可以使分母變成1. 2+1()() 動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 如何計(jì)算如何計(jì)算 ? 2+1 2 1- - 2+1 2 1- - 2+12+1 = 2 12+1 ()()()() ()()()()- - 2 2 2+2 2+1 = 21 ()() ()() - - = 2+2 2+1 = 3+2 2. 舉舉 例例 例例5 計(jì)算計(jì)算: 15 1+ 5 - - . . 15 1+ 5 - - 解解 1515 = 1+ 515 - - - ()()()() ()()()() 2 22 1 2 5+5 = 15 ()(
6、) ()() - - - - 6 2 5 = 4 - - - - 31 = +5 22 - -. . 1 2 5+5 = 1 5 - - - - 1. 計(jì)算:計(jì)算: 練習(xí)練習(xí) 3 1 5 15 4 5 - -( ( ) )( () ) ;3 答答案案: 2 1 + 2 3 3 3 - -( () )( () )( () ); 3 2 + 3 2 3 - -( () )( () )( () ); 2 4 5 + 3 2 ( () )( () ) . . 5 3 3 答答案案:- - 1 答答案案: 43+30 2 答答案案: 2 )377()5(、)2762)(6227)(4( 22 )632(
7、)632()6(、 3213547()7()、 )23(18)8(、 2 77)3()(、 3 1 3 2 31)、( 5 1 27)2(、 1、計(jì)算: 注意: 1、運(yùn)算順序 。 2、運(yùn)用運(yùn)算律和乘法公式,簡(jiǎn)化運(yùn)算。 3、結(jié)果為最簡(jiǎn)二次根式。 1、分母有理化的定義: 把分母中的根號(hào)化去。 2、方法: 分子、分母同時(shí)乘以分母的有理化因式。 3、有理化因式: 4、常見的互為有理化因式: 兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們 的積中不含二次根式 ,我們說這兩個(gè)二次根 式互為有理化因式。 a ab cab cdab 的有理化因式: a a cab cdab 二、巧用“分母有理化”進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算
8、 三更燈火五更雞,正是男兒讀書時(shí); 黑發(fā)不知勤學(xué)早,白首方悔讀書遲。 二次根式運(yùn)算二次根式運(yùn)算 (提高篇)(提高篇) 一:二次根式混合運(yùn)算一:二次根式混合運(yùn)算 例例1 1:計(jì)算:計(jì)算:(每小題4分) 解題示范解題示范規(guī)范步驟,該得的分一分不丟!規(guī)范步驟,該得的分一分不丟! 2分 4分 4分 (3)(3)已知已知 的整數(shù)部分為的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為,小數(shù)部分為b,求,求a2 2b2 2的值的值 知能遷移知能遷移: : y11x 4 1x,y 23xyxy 例 、 ( )當(dāng) =時(shí),求代數(shù)式的值; yx 1 xyxy xxyyxy xyxy xxyyxy x-y x y x y 解:( ) ()
9、-() = ()() - = + = - 11 113 2 23 x,y5. 11 233 2 23 當(dāng) 時(shí), 原式= 22 11 (2)a, b=,a2abb7 5252 已知: = 求的值 22 2 2 1 2a52 , 52 1 b=52. 52 a2abb7 a-b7 47 9 3 Q ( ) () 二:二次根式運(yùn)算中的技巧二:二次根式運(yùn)算中的技巧 例例2 2: 1.1.x2 2xyy2 2是一個(gè)對(duì)稱式,可先求出基本對(duì)稱式是一個(gè)對(duì)稱式,可先求出基本對(duì)稱式xy4 4, xy1 1,然后將,然后將x2 2xyy2 2轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為(xy)2 2xy,整體代入即,整體代入即 可可. . ( (
10、3 3) )已知已知a a3 32 2 ,b b3 32 2 ,求,求a a2 2b babab2 2的值;的值; 解:解:a ab b(3(32 )2 )(3(32 )2 )4 4 , abab(3(32 )(32 )(32 )2 )1111, a a2 2b babab2 2abab( (a ab b) )( (11)11)4 4 44 .44 . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ( (4 4) )已知已知x x ,y y ,求,求 的值;的值; 解:解:x x ( ( 1)1)2 23 32 2 , y y ( ( 1)1)2 23 32 2 , x xy y6
11、6,x xy y4 4 ,xyxy1.1. 原式原式 . . 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 xy xy xy 2 2 2 2xy 6 6 4 4 2 2 6 6 2 2 2 21 1 2424 2 2 3434 1212 1717 2 2 三:注意二次根式運(yùn)算中隱含條件三:注意二次根式運(yùn)算中隱含條件 例例3 3 已知:已知:a ,求,求 的值的值 學(xué)生作答解:原式學(xué)生作答解:原式 a1 1 a1 1 . . 當(dāng)當(dāng)a 時(shí),時(shí), 原式原式 1 1(2(2 ) )1 12 .2 . a1 1 a1 1 a1 1 a1 1 2
12、2 a a1 1 a1 1 a a1 1 1 1 a 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 規(guī)范解答規(guī)范解答 解:解:a 1 1,a1 10.0. | |a1|1|1 1a. . 原式原式 a1 1 . . 當(dāng)當(dāng)a 時(shí),時(shí), 原式原式 1 1(2(2 ) )3.3. 1 1 2 2 3 3 a 2 2 2 2a1 1 a1 1 2 2 a1 1 a1 1 a1 1 1 1a a a1 1 1 1 a 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 計(jì)算計(jì)算 22 ()x yxyxy 3131 (1) () (2) (3) 解:(解:(1)原式)原式= 2 aa
13、b 22 x yxyxyxyxy (2)原式)原式= (3) 原式原式= 2 2 313 1 2 21x(4). (4)原式)原式= (5)原式)原式= 2 441xx 22 69xxyy (5) 2 3xy :相信自己能行:相信自己能行 =2 例題講析例題講析 836 4 23 62 2 例1.計(jì)算 (2) 解:原式解:原式=8636 8636 4 33 2 4 22 23 62 2 3 23 2 解:原式解:原式= (1) (我是小老師)(我是小老師) 例例2. 計(jì)算計(jì)算 2325 5353 (1) (2) 解:原式解:原式= 解:原式解:原式= 2 25 23 215 22 215 13
14、2 2 22 53 53 2 例例3.先化簡(jiǎn),再求值先化簡(jiǎn),再求值 23366aaa a 21a ,其中 解:原式解:原式= 22 2366aaa 22 2666aaa 2 6aa 當(dāng)當(dāng) 21a 時(shí),時(shí), 原式原式= 2 21621 22 21 6 26 4 23 課堂展示課堂展示 235 80405 5332 3abab 1計(jì)算 (2) (3) (4) (1) 第一輪 解:原式解:原式= 解:原式解:原式= 解:原式解:原式= 解:原式解:原式= 2325805405 610 805405 42 2 53523332 152 532 3 33aaabbabb 33aababb 32abab
15、4747 6262 2 32 2 2 52 第二輪 (2) (3) (4) 2計(jì)算 (1) 解:原式解:原式=解:原式解:原式= 解:原式解:原式=解:原式解:原式= 2 2 47 167 9 22 62 62 4 2 2 32322 34 34 74 3 22 2 52 2 522 204 102 224 10 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí),類比整式的運(yùn)算,靈活合理運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?,在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí),類比整式的運(yùn)算,靈活合理運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ?要注意過程和結(jié)果的正確要注意過程和結(jié)果的正確 老師忠告老師忠告 (1)(1)題目中的隱含條件為題目中的隱含條件為a 1 1,所以,所以
16、| |a1|1|1 1a,而不是,而不是a1 1; (2)(2)注意挖掘題目中的隱含條件,是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵之注意挖掘題目中的隱含條件,是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵之 一,上題中的隱含條件一,上題中的隱含條件a | |a1|1| 1 1a是進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)的依據(jù),同學(xué)們應(yīng)注重分析能力是進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)的依據(jù),同學(xué)們應(yīng)注重分析能力 的培養(yǎng),提高解題的正確性的培養(yǎng),提高解題的正確性. . 1 1 2 2 3 3 a 2 2 2 2a1 1 a1 1 2 2 a 2 2 2 2a1 1 a1 1 2 2 b a b a b a+ b a a a b b+ 練習(xí): 1.已知ab=3,求 的值 2.已知a+b=-8,ab=12,求 的值 2.已知已知 23232 30abc() 2 求求 3a + 5b c 的值。的值。 22 2a3abb0 a-b)(2ab)0Q解: ( aa ab=0a=b, =0. aa 當(dāng)時(shí), 即原式 2ab02a=b, a2aa(12)12 =2 23. a2aa(12)12 當(dāng)時(shí),即 原式 先化簡(jiǎn),再求值:先化
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