2018全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案

1、中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯”2018 年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一二三題 號610111213總 分1514得 分評卷人復(fù)查人答題時注意：1用圓珠筆或鋼筆作答；2解答書寫時不要超過裝訂線；3草稿紙不上交 .一、選擇題 .A ）24B） 25C）4 710D）47122對于任意實數(shù) a，b， c，d ，定義有序?qū)崝?shù)對（ a， b）與（c， d）之間的運算“”為： a，b ） c，d ） acbd，ad bc ）如果對于任意實數(shù)u， v，u， v） x，y ） u， v），那么 .都有 qfRgF4dw27A） 0，1） B）1，0） C） 1， 0） D）.yA ）1B）2C）

2、9.A） S1S3S2 S4B） S1S3S2S4C） S1S3 S2S4.5設(shè)S 333 L312399A ）4B）5C） 6D）7二、填空題 共 5 小題，每小題 7 分，共 35 分）6若關(guān)于 x 的方程 ( x2)(x24x m) 0 有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則m 的取值范圍是.7一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1， 3， 4， 5， 6， 8.同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是.NW2GT2oy018如圖，點 A， B 為直線 yx 上的兩點，過A

3、，B 兩點分別作y 軸的平行線交雙曲線y1 x0 ）于 C，D 兩點 . 若 BD 2 AC ，則 4OC 2 OD 2 的值x為.NW2GT2oy01第 8題）9 若第 10 題）y1xx1 的最大值為 a，最小值為 b，則 a2 b2 的值為.210如圖，在Rt ABC 中，斜邊AB 的長為35，正方形CDEF 內(nèi)接于ABC，且其邊長為 12，則 ABC 的周長為.NW2GT2oy01三、解答題 共 4 題，每題 20 分，共 80 分）11已知關(guān)于x 的一元二次方程x2cxa0 的兩個整數(shù)根恰好比方程x2axb0 的兩個根都大 1，求 abc 的值 .12如圖，點 H 為 ABC 的垂心

4、，以 AB 為直徑的 O1 和 BCH 的外接圓 O2 相交于點 D ，延長 AD 交 CH 于點 P ，求證：點P為CH 的中點.2 / 913如圖，點A 為 y 軸正半軸上一點，第 12 題）A， B 兩點關(guān)于 x 軸對稱，過點 A 任作直線交拋物線 y2x2 于 P ， Q 兩點 .31）求證： ABP = ABQ ；2）若點 A 的坐標(biāo)為 0， 1），且 PBQ =60o，試求所有滿足條件的直線PQ 的函數(shù)解讀式 .14如圖，ABC 中，BAC60，第 13 題）AB2AC點P在ABC內(nèi)，且PA3， PB 5， PC2 ，求 ABC 的面積中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會第 14 題

5、）“數(shù)學(xué)周報杯”2018 年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題1A解：因為 a7 1 ， a 17 ， a262a ， 所以3a312a2（）（）6a126a 12 3a 62a12 62a6a212a60（）12a6024.6 62a2Buxvy，u(x1)vy，u0解：依定義的運算法則，有即對任何實數(shù)vxuy，v(x1)uy0vu， v 都成立 .由于實數(shù) u， v 的任意性，得 x，y ）=1， 0）3 / 93C解：由題設(shè)可知 yxy 1 ，于是xyx 3 yx 4 y 1 ，所以4y 11，故 y1，從而 x 4 于是 xy9224 C解：如圖，連接DE，設(shè) SDEFS1，則S1

6、EFS4 ，從而有 S SSS因為 SS ，所以S2BF132411S3S1 S3S2S4 第 4題）5 A解：當(dāng) k2，3，L，99 時，因為11111，k3k k212 k 1 k k k 1所以1 S 11 1L111 19915 .2333993221004于是有 44S5 ，故 4S 的整數(shù)部分等于 4二、填空題63m4解：易知 x2 是方程的一個根，設(shè)方程的另外兩個根為，則x1 x2x1 x24 ， x1x2m 顯然 x1 x2 42 ，所以x1x22，16 4m 0，即24x1 x22 ，164m0，所以x1 x2164m2 ，164m 0，解之得3 m 4.4 / 97 19解

7、： 在 36 對可能出現(xiàn)的結(jié)果中，有4 對： 1，4）， 2，3）， 2， 3），4，1）的和為 5，所以朝上的面兩數(shù)字之和為5 的概率是 41. NW2GT2oy013698 6解：如圖，設(shè)點 C 的坐標(biāo)為（a，b），點 D 的坐標(biāo)為（c，d）,則點 A 的坐標(biāo)為（ a，a），點 B 的坐標(biāo)為（ c， c）. 因為點 C，D在雙曲線 y1 上，所以 ab1， cd1 x由于 ACab ， BDcd ， 又因為 BD2AC ，于第8題）是cd2 a b ， c22cdd2（4a22abb2），所以（4a2b2）（ c2d 2） 8ab2cd6，即4OC2OD 26.9 321 0，得 1 x

8、1解：由1x 0，且 x22y212x23 x1 12 ( x3) 21 2222416由于13 1，所以當(dāng)32取到最大值，故a = 124x =時， y14當(dāng) x =1 或 1 時， y2 取到最小值 1 ，故 b =2 222所以， a2b23 210 84解：如圖，設(shè) BCa，ACb，則a2b235 2 1225 又 Rt AFE Rt ACB ， 所 以 FEAF ，即12b12 ，故CBAC第 10 題）ab5 / 912( ab)ab 由得（ a22b22ab 1225 24（ ab），b） a解得 ab49另一個解 25 舍去），所以abc493584 三、解答題11 解：設(shè)方程

9、 x2axb0 的兩個根為，其中，為整數(shù)，且，則方程 x2cxa0 的兩根為1，1，由題意得a，11a ，兩式相加得2210 ，即(2)(2)3，2，2，所以1或32；21.3解得，或，15；3.1又因為 a （），b， c（1）（1），所以a 0，b1， c 2； 或 者a8， b15， c6 ，故 ab c3 ，或 29.12 證明： 如圖，延長 AP 交 O2 于點 Q ，連接 AH ，BD，QB，QC ，QH .因為 AB 為 O1 的直徑，所以 ADB BDQ90，第 12 題）故 BQ為 O2的直徑.于是 CQBC，BHHQ .6 / 9BC，BH又因為點 H 為 ABC 的垂心，

10、所以 AHAC .所以 AH CQ ， AC HQ ，四邊形 ACQH 為平行四邊形 .所以點 P為CH 的中點.13 解： 1）如圖，分別過點P， Q 作 y 軸的垂線，垂足分別為C， D .設(shè)點 A 的坐標(biāo)為 0， t ），則點B 的坐標(biāo)為 0， -t ） .設(shè)直線 PQ 的函數(shù)解讀式為ykxt , 并設(shè) P， Q 的坐標(biāo)分別為 （ xP， yP）,（ xQ， yQ）. 由ykxt，得于是xP xQ于是BCBDy2 x2，32 x2kx t33 t ，即 t2 xP xQ .232222yPt3xPt3xPyQt22223xQt3xQ0 ，第 13 題）2 x x2 x( xx)xP3 P

11、 Q3PPQ.22xQ3 xP xQ3 xQ ( xQxP )又因為PCxP，所以BCPCQDxQBD.QD因為 BCP BDQ90，所以 BCP BDQ ，故 ABP= ABQ .0，由 1）可知 ABP = ABQ30， BC=3a ， BD = 3b ，所以AC =3a2， AD =23b .因為 PC DQ ，所以 ACP ADQ .于是 PCAC ，即 a3a2 ，DQADb23b7 / 9所以 ab3ab 由1）中 xP xQ3 t ，即ab3 ，所以ab3， ab33 ，2222于是可求得 a2b3.將 b3 代入 y2 x2 ，得到點 Q 的坐標(biāo) 3，1）.2322再將點 Q

12、的坐標(biāo)代入 ykx 1 ，求得 k3.3所以直線 PQ 的函數(shù)解讀式為 y3 x1.3根據(jù)對稱性知，所求直線PQ 的函數(shù)解讀式為 y33x1 ，或 yx 1.33解法二 設(shè)直線 PQ 的函數(shù)解讀式為 ykxt , 其中 t 1.由 得 xP xQ3 t3 ， xPxQ3 k .222若 xQ3 ，xP3，從而k2 ( xx )3代入上式得PQ3.23同理，若 xQ3，可得 xP3，從而k2 ( xPxQ )3 .233所以，直線 PQ 的函數(shù)解讀式為 y3 x1，或 y3 x1.3314 解：如圖，作 ABQ，使得QABPAC， ABQACP，則 ABQ ACP .8 / 9由于 AB2 AC ，所以相似比為2.于是AQ2A