空間解析幾何與向量代數(shù)同濟(jì)六版

1、第八章空間解析幾何與向量代數(shù) 目錄上頁下頁返回結(jié)束 向量代數(shù) 平面與直線 空間曲線與曲面：曲線與曲面表示法 向量 向量運(yùn)算：加減法，數(shù)量積，向量積 向量 空間直角坐標(biāo)系 平面 法向量 直線 方向向量 距離，夾角 目錄上頁下頁返回結(jié)束 1向量及其線性運(yùn)算 2 數(shù)量積，向量積 3平面及其方程 4空間直線及其方程 5曲面及其方程 6空間曲線及其方程 目錄上頁下頁返回結(jié)束 第一次課 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 一、向量的概念 二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系 五、向量的模、方向角、投影 1向量及其線性運(yùn)算 2. 向量的大小(模) : 1. 向量:(又稱矢量). 既有大小, 又有方向的量稱為向量

2、 4. 單位向量: 3. 零向量: 一、向量的概念 | | |ABa? A a B ?ABa 方向任意.00| |? 1?| |a記為 o ,aor e 5. 平行向量:方向相同, 或相反. /ab (零向量與任何向量平行) 6. 相等向量:大小相等, 方向相同. 目錄上頁下頁返回結(jié)束 二、向量的線性運(yùn)算 1.向量的加減法 三角形法則: (1) 加法：平行四邊形法則： (3) 加法滿足交換律，結(jié)合律見 P 2 . (2) 三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 . b a ab? (4) 減法： ()abab? ? b a ab? b a ab? (5) 三角不等式 | | | | | | | | |

3、ababab? 目錄上頁下頁返回結(jié)束 2.向量與數(shù)的乘法： (1) 定義：向量與數(shù)的乘法記為 ?,aa?| | | |aa 0?aa時(shí)，與 同向， 0?aa時(shí)，與 反向， 00?a時(shí)， (2) 向量與數(shù)的乘法滿足結(jié)合律 , 分配律. 見P 4 . (3) 0?a 則 00?a若，則； 00?.a若，則 (4) 定理1.1 ：設(shè)0?,a則1? ? ?/,.abRba 使得 目錄上頁下頁返回結(jié)束 ? o . | a ea a (5) 與 同向的單位向量為：a 【例1 】如果四邊形對(duì)角線互相平分，則它是 AB C D M1 a 2 b2 a 1 b 11 ?ABab ， 22 ?DCab 解: 如圖

4、 M 為四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn), 則 由已知 1212 ?,aabb ?ABDC 所以 所以ABCD 為平行四邊形. 目錄上頁下頁返回結(jié)束 x y z 三、空間直角坐標(biāo)系 ?坐標(biāo)原點(diǎn) ?坐標(biāo)軸 (橫軸) (縱軸) (豎軸) o ?坐標(biāo)面 ?卦限(八個(gè)) 面 xoy 面 yoz 1. 空間直角坐標(biāo)系(右手系) 目錄上頁下頁返回結(jié)束 x y z o 向徑 在直角坐標(biāo)系下 ? ? 11 坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ; 坐標(biāo)面上的點(diǎn) A, B , C 點(diǎn) M 特殊點(diǎn)的坐標(biāo) : ),(zyx? ? 11 )0 , 0 , (x P )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA )

5、, 0(zyB ),(zoxC 原點(diǎn) O(0,0,0) ; r r M (稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)) 目錄上頁下頁返回結(jié)束 坐標(biāo)軸 : 坐標(biāo)面 : x y z o 目錄上頁下頁返回結(jié)束 2. 向量的坐標(biāo)表示 (1) 設(shè)點(diǎn) M (x, y, z), 則 x o y z M N B C i ? j ? k ? A r ? , ,ij k分別表示坐標(biāo)軸x, y, z上的單位向量 ?OMONNM ?OA OB OC ?xiyjzk ( , , )x y z 記為 目錄上頁下頁返回結(jié)束 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 1. 設(shè) 為實(shí)數(shù)，則 ? (,), xyz aaa a? (,), xyz bb b b ?(,)

6、 xxyyzz abab ab ab ? (,) xyz aaaa 目錄上頁下頁返回結(jié)束 111222 (, ), (,)A xy zB xy z2. 已知兩點(diǎn) 則 ?ABOB OA 222111 ?(,)(, )xy zx y z 212121 ?(,)xx yy zz 3. 平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例 : 0?,a當(dāng)時(shí) ?ba?ba ?(,)(,) xyzxyz b b ba a a ? y zx xyz bb b aaa 【例2 】P 8 例2 目錄上頁下頁返回結(jié)束 目錄上頁下頁返回結(jié)束 111222 (, ),(,)A xy zB xy z 【例3 】已知兩點(diǎn)及實(shí)數(shù)-1 在直線AB上求一點(diǎn)

7、 M , 使?.AMMB 解: 設(shè) M 的坐標(biāo)為如圖所示 A B M o M A B ( , , ),x y z ?AMOMOA ?MBOB OM ?()OMOAOB OM 由已知?.AMMB ? 1 1 ? ? ? ? (OMOAOB 121212 1 1 ? ? ? ? ( , , )(,)x y zxxyy zz 由 得定比分點(diǎn)公式: 當(dāng)=1時(shí)，點(diǎn) M 為 AB的中點(diǎn) , 于是 得中點(diǎn)公式: 121212 1 1 ? ? ? ? ( , , )(,)x y zxxyy zz 121212 111 ? ? ? ? ? , xxyyzz xyz 121212 222 ? ?, xxyyzz

8、xyz 目錄上頁下頁返回結(jié)束 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模: 設(shè)則由勾股定理得有 x o y z M N Q R P ? ( , , ),OMx y z 設(shè)A(x 1 , y 1 , z 1 ), B ( x2, y 2 , z 2 ), 則 212121 ?(,)ABxxyy zz 222 212121 ?|()()()ABxxyyzz 222 ?OMOPOQOR 2. 兩點(diǎn)間的距離公式 222 ?xyz 【例】P 10 例4, 5, 6 目錄上頁下頁返回結(jié)束 o y z x 3. 方向角與方向余弦 r ? ? ? ? (1) 夾角: ?( , )AOBa b (2) 方向角:

9、向量與三坐標(biāo)軸的夾角 222 ?OMrxyz ?M ?cos | | x r ?cos | | y r ?cos | | z r 0?() ?, ?, ?稱為方向角 ?( , , ) | |(cos ,cos ,cos )OMx y zr ? o (cos ,cos ,cos )OM 222 1 ?coscoscos ? , ?, ?的方向余弦 (3) 方向余弦： 目錄上頁下頁返回結(jié)束 【例4 】P 11 例8 方法2 :設(shè) 3 ? 4 ? x y z O A ? ( , , )OAx y z 則由 3 ? ?cos | x OA 1 63 2 ? ?x 4 ? ?cos | y OA 2 6

10、3 2 2 ?y 222 6?|OAxyz3 ?z 3 3 2 3?( , )A 目錄上頁下頁返回結(jié)束 4.向量在軸上的投影 (1) 定義 :過M 作平面? u ? u O M ?M ? 交軸于?uM 設(shè)軸上的單位向量為 ue 則 ? ? ,OMe稱為OM 在上的投影, 記為u? ? rju OMPr? ( )uorr 注：投影是一個(gè)數(shù)，?OMe當(dāng)與同向時(shí)為正 , 反向時(shí)為負(fù). 目錄上頁下頁返回結(jié)束 e (2) 向量在軸上的投影 x y z O M A B C ? ( , , )OMx y z則 ? () x xOAOM ? () y yOBOM ? ()zzOCOM (3) 投影的性質(zhì) 1

11、?). ( )| |cos u aOAa 2?). ()( )( ) uuu abab 3?). ()( ) uu aa O Au a ? b B 目錄上頁下頁返回結(jié)束 【作業(yè)】 P12 Ex8-1 4, 5, 11, 12, 14, 17, 19 目錄上頁下頁返回結(jié)束 目錄上頁下頁返回結(jié)束 第二次課 2數(shù)量積,向量積 一、數(shù)量積 1?). ( )|cos b aa ,a b 的數(shù)量積等于兩向量的長度與它們夾 1. De2.1: 角的余弦的乘積, 記為 ?a b 即: ? ?| | | cos ,a ba b ?a b ? ( , )a b 2. 由投影性質(zhì): ( )ba ( )ab ? ?|

12、 ( )ba bba 2?). ( )|cos a bb? ?| | ( )aa bab 目錄上頁下頁返回結(jié)束 3. 性質(zhì) 2 1? ?( )| |a aa 20? ?( ) a b ? ?| | cosa ba b ?ab 兩兩之間的數(shù)量積4. , ,ij k i i j j k k 1 1 1 00 00 00 5. 運(yùn)算規(guī)律 見P 14-15 【例5 】P 15 例1 i j k 目錄上頁下頁返回結(jié)束 6. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示法 設(shè) 111222 ?(, ),(,)ax y zbxy z 特別： 則 111222 ? ?() ()a bxiy jzkx iy jz k 12121 2 ?

13、? ?x x i ix yijx zi k 12121 2 ? ? ?yx j iyy j jyz j k 12121 2 ? ? ?zx k iz yk jzz k k 12121 2 ?x xyyzz 222 123 ? ?a axxx 2 ?|a 目錄上頁下頁返回結(jié)束 112233 ? ?a bx yx yx y 5. 向量夾角余弦的坐標(biāo)表達(dá)式,i j ?| | |cosa b ? ? ?cos | | a b a b 12121 2 ? ? | | x xyyzz a b 【例6 】P 16 例2 目錄上頁下頁返回結(jié)束 【例7 】試在所確定的平面內(nèi)找一個(gè)與垂直的 a,a b 解：由于

14、ab ab , 故 與確定一個(gè)平面 設(shè) 單位向量 , 其中 c2 1113 1?( , ,),( , ).ab ?cab2 111 3 1?( , ,)( , ) 23? ?(,) ?ca 2 21310? ? ? ? ?()()() 620? 取=1，則=3 58 2?( , )c 故所求的單位向量 1 58 2 93 ?( , ) | | c c c 目錄上頁下頁返回結(jié)束 二、向量積 ,a b的向量積是滿足下列條件的一個(gè)向量，1. De2.2: 2. 性質(zhì): ?ab記為 ,a b1?( )a b 與都垂直； 2?( )| | | |sin( , )a ba ba b 3?( ), ,a b

15、 ab 構(gòu)成右手系 1 ( ) a b 2( )aorb0?a b有一個(gè)為零向量 0?ab ab ?ab 目錄上頁下頁返回結(jié)束 ?| | | sina ba b 兩兩之間的數(shù)量積 3. , ,ij k i i j j k k ? 4. 運(yùn)算規(guī)律 i j k k? j ?ki j?i 1? ?( )()a bba 2 ?( )()()()ababa b 3?( )()abca ba c 0 0 0 目錄上頁下頁返回結(jié)束 5. 向量積的坐標(biāo)表示法 設(shè) 則 1 22 12 11 21221 ?()()()yzyz ix zx zjx yx y k 111222 ?(, ),(,)ax y zbxy

16、z 12121 2 ?()()()x x iix y ijx z ik 12121 2 ?()()()yxjiyy jjyzjk 12121 2 ?()()()zxkiz y kjzz kk 111222 ?() ()a bxiy jzkx iy jz k 0k ? j j i?k0 ?i 0 目錄上頁下頁返回結(jié)束 1 22 12 11 21221 ?()()()yzyz ix zx zjx yx y k 111111 222222 ? yzxzxy ijk yzxzxy 111 222 ? ijk xyz xyz 目錄上頁下頁返回結(jié)束 解：可取 【例8 】求與都垂直的單位向量 , 其中 ,a

17、 bc 1 012 3 1?( , ,),( , , ).ab 故所求的單位向量 1 11 1 3 ?( , ) | | c c c ?ca b 101 231 ? ijk 011110 312123 ? ?ijk 333?ijk 【例9 】P 19 例5 【作業(yè)】 P22 Ex8-2 1, 3, 6, 7, 8 目錄上頁下頁返回結(jié)束 目錄上頁下頁返回結(jié)束 第三次課 3平面及其方程 一、點(diǎn)法式平面方程 給出平面上一點(diǎn)P 0 (x0, y 0 , z 0 )及垂直于 1. 引例1: 平面的一個(gè)向量( , , )n A B C 的法向量),求平面的方程.(稱為 0 P P? n 解：設(shè)P (x,

18、y, z)為上任意一點(diǎn)，則 0000 ?(,)PPxxyy zz由題意有 0 ?PPn 0 0? ?PP n 000 0?( , , ) (,)A B Cxxyy zz 000 0?()()()A xxB yyC zz 目錄上頁下頁返回結(jié)束 已知點(diǎn) (x0, y 0 , z 0 ) , ( A,B,C),則 2. 點(diǎn)法式平面方程 000 0?()()()A xxB yyC zz 【例】P 38 例1 【例10 】P 38 例2 點(diǎn)法式方程： 目錄上頁下頁返回結(jié)束 平面一般方程: 二. 平面的一般方程 將點(diǎn)法式方程進(jìn)行化簡并合并同類項(xiàng) ,得 0?Ax By Cz D 說明: D = 0 ,過原點(diǎn)

19、； A = 0 ,平行于x軸； B = 0 ,平行于y軸； C = 0 ,平行于z軸； 對(duì)于 0?Ax By D 法向量z軸,z軸上的所有向量. n x z ? 0 y 【例11 】P 40 例3 目錄上頁下頁返回結(jié)束 三. 截距式平面方程 設(shè)與x, y, z 軸的截距分別為a, b, c,即:1. 引例2: P(a,0,0), Q(0, b,0), R(0,0, c), x z 0y P(a,0,0) R(0,0, c) Q(0, b,0) 解:設(shè): 1? y zx abc 將P, Q, R 代入得 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? AaD BbD CcD ? ?, D A a 求平面

20、的方程. 截距式平面方程: 0?Ax By Cz D ? ?, D B b ? ? D C c 目錄上頁下頁返回結(jié)束 【例11 】求過點(diǎn) 解： 2 1 1? ?( , ,)aP 1 (1,0,-1), P 2 (-2,1,3)且與向量 平行的平面方程. 12 2 1 31 01? ?(, , )( , ,)PP 3 1 4? ?(, , ) 1 P 2 P ? a n a 12 ?nPPa 314 211 ? ? ? ijk 511?ijk 51110110?()()()xyz 又過點(diǎn)P 1 (1,0,1)，所以： 51140?xy z 即： 目錄上頁下頁返回結(jié)束 三. 兩平面的夾角： (兩平

21、面法向量的夾角)銳角 11111 0?: AxB y C zD 1. De2.3: ? 1 ? 1 n 2 n 1 ? 2 ? ? 1 2 ? ? 1 ? 2222 ? (,)nA B C 22222 0?: AxB y C zD 1111 ? (,)nA B C 12 12 ? ? ? ? | cos | | n n nn 121212 222222 111222 ? ? ? |AABBCC ABCABC 目錄上頁下頁返回結(jié)束 2. 性質(zhì) 1212 1? ?( )nn 12 0?n n 121212 0?AABBCC 121212 2? ?( )ornn 111 222 ? ABC ABC

22、【例】P 41 例5 【例12 】P 41 例6 目錄上頁下頁返回結(jié)束 四. 點(diǎn)到平面的距離 0?:,AxBy CzD 0000 ?(,)P xy z 求P 0 到的距離P 0 N. 引例3: 1 P 0 P ? n N 任取 1 ?( , , )P x y z則由數(shù)量積的性質(zhì) 0101 ? ?|()nPP nnPP 0 ?|n PN 01000 ?(,)PPxxyy zz ? ( , , )nA B C 目錄上頁下頁返回結(jié)束 01 0 ? ? | PP n PN n 01000 ?(,),PPxxyy zz? ( , , )nA B C 000 222 ? ? ? ()()()A xxB y

23、yC zz ABC 000 222 ? ? ? ()AxBy CzAxByCz ABC 000 222 ? ? ? ()DAxByCz ABC 000 0 222 ? ? ? | AxByCzD PN ABC 內(nèi)容小結(jié) 1. 平面基本方程: 一般式 點(diǎn)法式 截距式 222 0?()ABC0?AxBy CzD 000 0?()()()A xxB yyC zz 1? xyz abc 0?()abc 目錄上頁下頁返回結(jié)束 2. 點(diǎn)到平面的距離 000 0 222 ? ? ? | AxByCzD PN ABC 3. 平面與平面之間的關(guān)系 平面 平面 垂直: 平行: 夾角公式: 12 0?n n 111

24、1 ? (,)nA B C 11111 0?:,A xB y C zD 22222 0?:,AxB y C zD 2222 ? (,)nA B C 121212 0?AABBCC 12 0?nn 111 222 ? ABC ABC 12 12 ? ? ?cos n n nn 目錄上頁下頁返回結(jié)束 【作業(yè)】 P42 Ex8-5 1, 2, 3, 4(單數(shù)), 5 ，7，9 目錄上頁下頁返回結(jié)束 目錄上頁下頁返回結(jié)束 第四次課 4空間直線及其方程 一、直線的一般方程 (兩平面的交線) 1111 2222 0 0 ? ? ? ? : AxB y C zD L A xB y C zD 1 ? 2 ?

25、二、直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程 引例: 求過點(diǎn) M 0 (x0, y 0 , z 0 ), 且與向量 在L上任取一點(diǎn) M(x, y, z) 0 M s M 0000 ?(,)M Mxxyy zz ? ( , , )smn p 平行的直線方程 L 目錄上頁下頁返回結(jié)束 1. 對(duì)稱式方程: 0000 ?(,)M Mxxyy zz 0 M Ms 由 , 則對(duì)應(yīng)元素成比例 即： 000 ? ? xxyyzz mnp ? ( , , )smn p (1) 當(dāng)分母有一個(gè)為0 時(shí), 分子也為0 ; 對(duì)稱式方程 (2) 當(dāng)分母有兩個(gè)為0 時(shí), 另一個(gè)分子任意 例如： 000 0 ? ? xxyyzz np 0

26、 ?xx 00 ? ? yyzz np 例如： 000 00 ? ? xxyyzz p 0 ?xx 0 ?yy ?zR 目錄上頁下頁返回結(jié)束 2. 參數(shù)方程: 令 000 ? ? xxyyzz t mnp 參數(shù)方程 0 ?xmt x (1) 方向 0 ?ynty 則 0 ?zpt z 3. 說明: 稱為方向向量. ? (, , )sm n p (2) m , n, p 稱為直線 L 的一組方向數(shù). L方向余弦 (3) 的方向余弦 s?cos ,cos ,cos 稱為直線 目錄上頁下頁返回結(jié)束 11 3?( , )n 直線方程 L 為 【例13 】求過點(diǎn)P 0 (-1,0,2)且垂直于平面: x

27、- y+3 z+1=0 的直線方程 L . 0 P ? L n解:設(shè)的法向量 由? ? ?LLn 從而可取11 3 ?( , )sn 102 113 ? ? ? . xyz 目錄上頁下頁返回結(jié)束 【例14 】將直線 L :化為對(duì)稱式方程 . 1 240?:,xyz 240 10 ? ? ? ? xyz xyz 1 n 2 n 2 ? 1 ? s 解:設(shè) 2 10?:,xyz 2 11 1?( , )n 1 2 11?( , ,)n 由1,1的交線均垂直于故可取直線L的 12 ,n n 211 111 ? ? ijk s 33? ?jk 3 0 1 1? ? ( , , ) 目錄上頁下頁返回結(jié)束

28、 1 n 2 n 2 ? 1 ? s 不妨取0 1 1? ( , , )s 在L上任取一點(diǎn),不妨取 z = 0 則 24 1 ? ? ? ? ? xy xy 1 2 ? ? ? ? ? x y L上一點(diǎn) M 0 (1, 2, 0) L的對(duì)稱式方程為 120 011 ? ? xyz 0 M 【例14 】將直線 L :化為對(duì)稱式方程 . 240 10 ? ? ? ? xyz xyz 目錄上頁下頁返回結(jié)束 【例15 】求過點(diǎn)P 0 (-1, 4, 3) 且與L 1 : 240 30 ? ? ? ? xyz xy 都垂直的直線方程 L . 24?xt 1? ? ?yt 32? ? ?zt L2: 解:

29、 1 241 130 ? ijk sL1的方向向量 310? ?ijk L2的方向向量 2 42?sijk 1 s2 s s L的方向向量 12 ?sss1246?ijk L的直線方程 143 12461 ? ? ? xyz 目錄上頁下頁返回結(jié)束 三、兩直線的夾角 1. 計(jì)算公式: 11111 ?:(,);Lsm n p 22222 ?:(,)Lsm n p 設(shè) 12 0 2 ? ?(,),L L 12 ? ( ,)s s 12 12 ? ? ? ? | cos | | ss ss 121212 222222 111222 ? ? ? |mmnnp p mnpmnp 【例16 】P 47 例4

30、 【例17 】P 47 例5 (兩直線方向向量的夾角 ) 【例】P 45 例2 目錄上頁下頁返回結(jié)束 2. 性質(zhì): 12 1?( ) LL 12 ?ss 12 0?ss 121212 0?mmnnpp 1212 2?( ) LL orLL 12 ss 111 222 ? mnp mnp 目錄上頁下頁返回結(jié)束 四、直線與平面的夾角 ? ? ? | | | | s n sn 直線與它在平面上投影直線的夾角 n s L ? ? 0 2 ? ?() L的方向向量: 的法向量: ? (, , )sm n p ? ( ,)nA B C ?( ,)L 設(shè) ?sin|cos( , )|n s 222222 ?

31、 ? ? Am Bn C p mnpABC 目錄上頁下頁返回結(jié)束 11 2? ( , , )ns 取 1 41 112 ? ? ?:L y zx n 0 P L ? N 的距離. 過P 0 作L, 交L于N, 解: 【例18 】求過點(diǎn)P 0 (1, 1, 1) 到直線 11210 ?:()()()xyz 1 41 112 ? ? ? y zx t 令 則1124? ? ?,xtytzt 代入到中得 t = -1, N(0,0,2)002 ?,xyz P 0 到L的距離 0 3?|PN 將t = -1 代入得 【例19 】P 47 例6 目錄上頁下頁返回結(jié)束 五、平面束方程 設(shè) 11111 0

32、?:,A xB y C zD 22222 0 ?:,A xB y C zD 且 12 2 ? 1 ? ,作 11112222 0?()AxB y C zDAxB y C zD 則稱為過 L 的平面束方程， 該方程為過 L 但除 2 的所有平面方程. 【例20 】P 48 例7 1. 空間直線方程 一般式 對(duì)稱式 參數(shù)式 內(nèi)容小結(jié) 1111 2222 0 0 ? ? ? ? AxB y C zD A xB y C zD 000 ? ? xxyyzz mnp 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? xxmt yynt zzpt 222 0?()mnp 目錄上頁下頁返回結(jié)束 直線 2. 線與線的關(guān)系

33、 直線 夾角公式: 111 1 111 ? ?, xxyyzz L mnp ： 1111 ,? ()sm n p 222 2 222 ? ?, xxyyzz L mnp ：2222 ,? ()sm np 12 ?LL 12 LL 12 0?s s 121212 0?mmnnpp 12 0?ss 111 222 ? mnp mnp 12 12 ? ? ? ? | cos | | ss ss 目錄上頁下頁返回結(jié)束 平面 ? : L? L / ? 夾角公式： 3. 面與線間的關(guān)系 0? ,AxBy CzD ? ( , ,)sm n p ? ( ,)nA B C ? ?:, xxyyzz L mnp

34、直線 0?sn 0?sn ? mnp ABC 0?mA nBpC ? ? ? ? | sin | | | s n sn 0?sn 0? ?s n 目錄上頁下頁返回結(jié)束 【作業(yè)】 P49 Ex8-6 1, 2, 3, 5 ，7, 8，11，13，15 目錄上頁下頁返回結(jié)束 課堂練習(xí) 目錄上頁下頁返回結(jié)束 第五次課 5曲面及其方程 一、曲面方程的定義 二、一些特殊的曲面方程 三、二次曲面 目錄上頁下頁返回結(jié)束 一、曲面方程的定義 設(shè)動(dòng)點(diǎn) P( x, y, z) 組成的曲面 S 與三元方程 (2) 不在S上的任意點(diǎn)都不滿足 (*)， F (x, y, z)=0 ( *) , 有如下關(guān)系: (1) S

35、上的任意一點(diǎn)P都滿足方程(*); 則稱(*)為S的方程 . S z y x o 目錄上頁下頁返回結(jié)束 二、一些特殊的曲面方程 1. 球面: 與定點(diǎn) M0 (x0, y 0 , z 0 ) 保持距離為R的點(diǎn) 22 0 ?|PMR 的軌跡稱為球. 設(shè)軌跡上的點(diǎn)P (x, y, z), 則 0 M z x y o M 2222 200 ?()()()xxyyzzR 2. 旋轉(zhuǎn)曲面 定義:一條平面曲線繞其 平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周 所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面. 該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸. 例如 : 目錄上頁下頁返回結(jié)束 故旋轉(zhuǎn)曲面方程為 當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí), 若點(diǎn) ),(zyxM 則有 則有 該點(diǎn)轉(zhuǎn)到 o z

36、 y x C (1) yoz 面內(nèi)曲線C: f (y, z) = 0 ( y0) 繞 z 軸旋轉(zhuǎn) 一周后所得的曲面方程 . 1 0?( , ,)MY Z 1 0?( , ,),MY ZC 0?( ,)f Y Z ( , , ),M x y z 22 ?,zZxyY 22 0?(, )fxyz 目錄上頁下頁返回結(jié)束 (3) xoy 面內(nèi)曲線C: f (x, y) = 0 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周后 所得的曲面方程 : 22 0?( ,)f xyz (4) xoy 面內(nèi)曲線C: f (x, y) = 0 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周后 所得的曲面方程 : 22 0?(, )fxzy (2) yoz 面內(nèi)曲線C:

37、f (y, z) = 0 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周后 所得的曲面方程 : 22 0?( ,)f yxz 目錄上頁下頁返回結(jié)束 目錄上頁下頁返回結(jié)束 3. 柱面 平行于定直線, 并沿著曲線C 移動(dòng)的直線 L 形成的軌跡叫柱面 . 10?( )( , ):f x y平行于 z 軸 . C x y z o 圓柱面： 222 ?xyR 拋物柱面： 2 ?xy 20?( )( , ):f y z平行于 x 軸 . 30?( )( , ):f x z平行于 y 軸 . x y z o C l 三、二次曲面 三元二次方程 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面 的圖形通常為二次曲面. (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0

38、) 222 ?AxByCzDxy Eyx Fzx 0?GxHy IzJ 目錄上頁下頁返回結(jié)束 1. 橢球面 (1) 范圍： (2) 與坐標(biāo)面的交線：橢圓 z 22 22 1 0 ? ? ? ? ? ? xz ac y 22 22 1 0 ? ? ? ? ? ? , xy ab z 22 22 1 0 ? ? ? ? ? ? , yz bc x 222 222 1?( , ,) xyz a b c abc 為正數(shù) ?|,| |, | |xaybzc 目錄上頁下頁返回結(jié)束 2. 圓錐面,橢圓錐面 z x y o x y z 22 1?( ) zxy y = z 繞著 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而得的曲面 22

39、 2 22 2?( ) xy z ab (a, b 為正數(shù)) 在平面z = t 上的截痕為圓. 在平面z = t 上的截痕為橢圓. 直紋面 目錄上頁下頁返回結(jié)束 (1). 單葉雙曲面 222 222 1? xyz abc (a, b, c為正數(shù)) 直紋面 3. 雙曲面 目錄上頁下頁返回結(jié)束 (2). 雙葉雙曲面 雙曲線 橢圓 注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別 : 雙曲線 z x y o 1 單葉雙曲面 -1 雙葉雙曲面 222 222 1? ? xyz abc (a, b, c為正數(shù)) 222 222 ? xyz abc 在平面y = y 1 上的截痕為 在平面x = x1上的截痕為 在平面z

40、 = z 1 (|z 1 | c) 上的截痕為 目錄上頁下頁返回結(jié)束 4. 拋物面 (1) 橢圓拋物面 (2) 雙曲拋物面（鞍形曲面） z y x 特別,當(dāng)a = b 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面. z yx 22 22 ? xy z ab 22 22 ? xy z ab 目錄上頁下頁返回結(jié)束 【作業(yè)】 P31Ex8-3 1, 2, 5 ，6, 8(1,3) 目錄上頁下頁返回結(jié)束 目錄上頁下頁返回結(jié)束 5空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 一、空間曲線的一般方程 空間曲線可視為兩曲面的交線 ,其一般方程為方程組 2 S L 1 S 0

41、0 ? ? ? ? ( , , ) ( , , ) F x y z G x y z 0?( , , )G x y z0?( , , )F x y z 目錄上頁下頁返回結(jié)束 C : 表示圓柱面與平面的交線 x z y1 o C 2 22 1 1 236 ? ? ? ? ( ) xy xz 【例21 】畫出下列曲線 目錄上頁下頁返回結(jié)束 表示上半球面與圓柱面的交線 C. y x z a 222 22 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ( ) zaxy xyax 目錄上頁下頁返回結(jié)束 o z y x o 1 2 x z y o 2 1 3 2 ? ? ? ? ( ) x y 22 4 4 0 ? ? ? ? ? ? ( ) zxy yx 目錄上頁下頁返回結(jié)束 P37 題1(1)P37 題1(2) z x y o a a z x y o o a oa 222 222 5 ? ?