遼寧省大連二十四中2020屆高三數(shù)學第一次模擬測試試題理含解析

1、遼寧省大連二十四中2020屆高三數(shù)學第一次模擬測試試題 理（含解析）一、選擇題（共12小題）.1.若集合M1，3，N1，3，5，則滿足MXN的集合X的個數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】可以是共4個，選D.2.復數(shù)為純虛數(shù)，則( )A. iB. 2iC. 2iD. i【答案】B【解析】【分析】復數(shù)為純虛數(shù)，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】為純虛數(shù)，解得. .故選：.【點睛】本題考查復數(shù)的分類，屬于基礎題.3.下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（1）對于命題使得，則都有；（2）已知，則 （3）已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），則回歸直線方程為；

2、（4）“”是“”的充分不必要條件.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要條件的判定方法，即可判定【詳解】由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可知命題使得，則都有，是錯誤的；（2）中，已知，正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對稱軸的方程為，所以 是正確的；（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程，可得

3、回歸直線方程為是正確；（4）中，當時，可得成立，當時，只需滿足，所以“”是“”成立的充分不必要條件【點睛】本題主要考查了命題的真假判定及應用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì)，以及基本不等式的應用等知識點的應用，逐項判定是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題4.公差不為零的等差數(shù)列an中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列an的公差等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】設數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關于的方程組，即求公差.【詳解】設數(shù)列的公差為，.成等比數(shù)列，解可得.故選：.【

4、點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題.5.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設摸得白球數(shù)為，已知，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意知，由，知，由此能求出【詳解】由題意知，解得，故選：B【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的靈活運用6.如圖，在中，是上一點，若，則實數(shù)的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意，可根據(jù)向量運算法則得到（1m），從而由向量分解的唯一性得出關于t的方程，求出t的值.【詳解】由題意及圖，又，所以，（1m），又t，所以

5、，解得m，t，故選C【點睛】本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關鍵，本題屬于基礎題.7.已知函數(shù)，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域為，結(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項.【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單

6、位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域為.若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點的橫坐標，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且故選C【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時也考查了正弦型函數(shù)與周期相關的問題，解題的關鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8.數(shù)列an，滿足對任意的nN+，均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2，a9=3，a98=4，則數(shù)列an的前100項的和S100=( )A. 132B. 299C. 68D. 99【答案】B【解析】【分析】由為定值，可得，則是以3為周期的數(shù)列，求出，即求.【詳解】對任意的，均有為定值，故，

7、是以3為周期的數(shù)列，故，.故選：.【點睛】本題考查周期數(shù)列求和，屬于中檔題.9.在直角坐標系中，已知A（1，0），B（4，0），若直線x+my1=0上存在點P，使得|PA|=2|PB|，則正實數(shù)m的最小值是( )A. B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】設點，由，得關于的方程.由題意，該方程有解，則，求出正實數(shù)m的取值范圍，即求正實數(shù)m的最小值.【詳解】由題意，設點.，即，整理得，則，解得或.故選：.【點睛】本題考查直線與方程，考查平面內(nèi)兩點間距離公式，屬于中檔題.10.三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分

8、析】設，根據(jù)向量線性運算法則可表示出和；分別求解出和，根據(jù)向量夾角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.【詳解】設棱長為1，由題意得：，又即異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項：【點睛】本題考查異面直線所成角的求解，關鍵是能夠通過向量的線性運算、數(shù)量積運算將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的求解問題.11.已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點，以線段PQ為直徑的圓過右焦點F，則雙曲線離心率為A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點坐標的關系，根據(jù)列方程，化簡后求得離心率.【詳解】設，依題意直線的方程為，代入

9、雙曲線方程并化簡得，故 ，設焦點坐標為，由于以為直徑的圓經(jīng)過點，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【點睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點，考查圓的直徑有關的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.12.已知函數(shù)在上都存在導函數(shù)，對于任意的實數(shù)都有，當時，若，則實數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式，解得結(jié)果.【詳解】令，則當時，又，所以為偶函數(shù)， 從而等價于，因此選B【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二、填空題（共4小題）13.已知函數(shù)f（x）=axln

10、xbx（a，bR）在點（e，f（e）處的切線方程為y=3xe，則a+b=_.【答案】0【解析】【分析】由題意，列方程組可求，即求.【詳解】在點處的切線方程為，代入得.又.聯(lián)立解得：.故答案為：0.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.14.設Sn為數(shù)列an的前n項和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），nN*，則S10=_.【答案】55【解析】【分析】由求出.由，可得，兩式相減，可得數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即求.【詳解】由題意，當n=1時，當時，由，可得，兩式相減，可得，整理得，即，數(shù)列是以1為首項，1為公差等差數(shù)列，.故答案為：55.【點睛】本題考查求數(shù)列的前

11、項和，屬于基礎題.15.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若NRF=60，則|FR|等于_.【答案】2【解析】【分析】由題意知：，.由NRF=60，可得為等邊三角形，MFPQ，可得F為HR的中點，即求.【詳解】不妨設點P在第一象限，如圖所示，連接MF，QF.拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，.M，N分別為PQ，PF的中點，PQ垂直l于點Q，PQ/OR，NRF=60，為等邊三角形，MFPQ，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，F(xiàn)為HR的中點，故答案為：2.【點睛】本題主要考查拋物線

12、的定義，屬于基礎題.16.已知一個四面體的每個頂點都在表面積為的球的表面上，且，則_【答案】【解析】由題意可得，該四面體的四個頂點位于一個長方體的四個頂點上，設長方體的長寬高為，由題意可得：，據(jù)此可得：，則球的表面積：，結(jié)合解得：.點睛：與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.三、解答題（共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.如圖，

13、在中，的角平分線與交于點，.（）求；（）求的面積.【答案】（）;（）.【解析】試題分析：（）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，可得解；（）由（）可知，進而得，在中，由正弦定理得，所以的面積即可得解.試題解析：（）在中，由余弦定理得 ，所以，由正弦定理得，所以.（）由（）可知.在中， .在中，由正弦定理得，所以.所以的面積.18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，為棱的中點，為棱上任意一點，且不與點、點重合（1）求證：平面平面；（2）是否存在點使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由【答案】（1）證明見解析 （2）存在，為中點【解析】【分析】（1）證明面

14、，即證明平面平面；（2）以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系利用向量方法得，解得，所以為中點【詳解】（1）由于為中點，又，故，所以為直角三角形且，即又因為面，面面，面面，故面，又面，所以面面（2）由（1）知面，又四邊形為矩形，則兩兩垂直以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系則，設，則，設平面的法向量為，則有，令，則，則平面的一個法向量為，同理可得平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，則由題意可得，解得，所以點為中點【點睛】本題主要考查空間幾何位置關系的證明，考查空間二面角的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19.某超市

15、在節(jié)日期間進行有獎促銷，規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎機會.摸獎規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球（紅、黃、黑、白）.顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則摸獎停止，否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.（1）求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率；（2）記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）20.【解析】【分析】（1）1名顧客摸球2次摸獎停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；（2）的可能取值為：0，10，20，30，40分別求

16、出取各個值時的概率，即可求出分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）1名顧客摸球2次摸獎停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，所以1名顧客摸球2次摸獎停止的概率（2）的可能取值為：0，10，20，30，40,隨機變量X的分布列為： X 0 10 20 30 40 P 數(shù)學期望.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，屬于中檔題.20.已知橢圓，點，點滿足（其中為坐標原點），點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的右焦點為，若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點.且與圓相切.的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）是，【解析】【

17、分析】（1）設,根據(jù)條件可求出的坐標，再利用在橢圓上，代入橢圓方程求出即可;（2）設運用勾股定理和點滿足橢圓方程，求出，,再利用焦半徑公式表示出,進而求出周長為定值【詳解】(1)設,因為,即則,即,因為均在上,代入得,解得,所以橢圓的方程為; (2)由(1)得,作出示意圖,設切點為,則,同理即,所以,又,則的周長,所以周長為定值.【點睛】標準方程的求解,橢圓中的定值問題,考查焦半徑公式的運用,考查邏輯推理能力和運算求解能力,難度較難.21.已知函數(shù).（1）若對任意x0，f（x）0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1x2），證明：.【答案】（1）；（2

18、）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即求的范圍；（2）由（1）可知， .對分和兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法和基本不等式證明結(jié)論【詳解】（1）由，得.令.當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.對任意恒成立，.（2）證明：由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.若，則，令在上單調(diào)遞增，.又，在上單調(diào)遞減，.若，則顯然成立綜上，.又以上兩式左右兩端分別相加，得，即，所以.【點睛】本題考查利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：極坐標與參數(shù)方程22.在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；（2）若點P的極坐標為，求的值.【答案】（1），；（2）2.【解析】【分析】（1）由得，求出曲線的直角坐標方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線的普通方程；（