遼寧省凌源市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理(含解析)

1、數(shù)學(xué)試題卷（理科）.選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合一I ：仁釵富貳“盤口并，則（）A. B. FW C. |點(diǎn)川| D. Is閥【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合B,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.【詳解】B=x| - 2 v x V 1, A= - 2, 1, 0, 1 , 2; An B=- 1, 0.故選：B.【點(diǎn)睛】考查列舉法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的運(yùn)算.2. 出亠3”是函數(shù) x-_24-2在區(qū)間也T內(nèi)單調(diào)遞減”的（ ）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充

2、分也必要條件【答案】A【解析】【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得 a的取值范圍，再利用簡易邏輯的判定方法即可得出.【詳解】函數(shù)f （x） =x2- 2ax - 2= （x- a） 2- a2 - 2在區(qū)間（-,2內(nèi)單調(diào)遞減， 20,則節(jié)：庶 E R , x J -1 o，則艮?x-1 o，所以不正確；C中，若為假命題，則p,k應(yīng)1兀至少有一個假命題，所以不正確；D中，命題“若Q-，則sina - ”的否命題是右口 -，則6|a26垃111工”是正確的，故選D.考點(diǎn)：命題的真假判定.4.函數(shù)h.：T工I的定義域?yàn)?)A. |泌：?B.x|x-l 1 U0c.x|s【答案】C【解析】r(x+-xo，

3、求出解集即可【分析】 根據(jù)函數(shù)f (x)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組【詳解】函數(shù)憐：加:；:.kj-A：解得即 x - 1 , f ( X)的定義域?yàn)閤|x 0 且 a* 1), y= sin x, y= cos x 的定義域均為 R. y = log ax( a0 且 a* 1)的定義域?yàn)?0 ,+).5.二項(xiàng)式y(tǒng)的展開式中/的系數(shù)為占耳/血=A.B.C.D. 2【答案】A【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理的展開式可得 a，再利用微積分基本定理即可得出.【詳解】二項(xiàng)式(ax)6的展開式中通項(xiàng)公式：Tr+1 =(ax)r，令 r=5，則 T6=Xa5x5.65=/:，解得 a=1.【點(diǎn)睛

4、】用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)此外，如果被積函數(shù) 是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加6. 已知心是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x e 0,2時嘔)*總ffCr，則心田4)#心0厲)|()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的周期性，化簡所求函數(shù)值的自變量為已知函數(shù)的定義域中，代入求解即可.【詳解】f (x )是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x 0 , 2時f (x),則 f (2014) +f (2015) =f (2012+2) +f (2016 - 1) =f (2)

5、+f (- 1) =log 22+1+12=3.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的周期性以及函數(shù)值的求法，考查計算能力.7. 某三棱錐的三視圖如圖所示 ，則該三棱錐四個面的面積中最大的是【答案】C由三視圖可知 PAL平面ABCA作ADL BC垂足為 D,連結(jié)PDA.匸寸B. 3D.C.BDAD=1,CD=PA=2, m心右vL =心自:=二-品.BC x AD = -.S 也三棱錐RABC的四個面中，側(cè)面PBC的面積最大故選C.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯

6、視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬8. PM2.5是指空氣中直徑小于或等于 2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物） ，為了探究車流 量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時間段車流量與PM2.5濃度的數(shù)據(jù)如下表：時間周一周二周三周四周五車流量M （萬輛）100102108114116濃度/ （微克）7880848890根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 眉與的線性回歸方程是（）A.7.24 B. y = 0+ 6.24 C. y = Q71x46.|4 D. |y = O,62x + 6 24【答案】B【解析】【分析】 利用最小二乘法做出

7、線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果.100 x 78 + 102 80+ 108 a S4 i- 114 $ 閱十 116 x9O-5 x 108 . 84【詳解】由題意，b=厲 r ,1=0.72 ,10(r + 1022 + 108* I lir + 116-5 X 108*a=84 - 0.72 X 108=6.24,=0.72x+6.24 , 故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系;計算Lin的值；計算回歸系數(shù)；寫出回歸直線方程為了-i空： 回歸直線過樣本點(diǎn)中心b殘專是一條重要

8、性質(zhì)，利用線性回 歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢9. 某次聯(lián)歡會要安排 3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A. 72 B. 120 C. 144 D. 168【答案】B【解析】分兩類，一類是歌舞類用兩個隔開共Aj（2Aj）種，第二類是歌舞類用三個隔開共 .礎(chǔ)丸圈種,所以 N=（2n：）+（C；八対=120.種。選 B.【此處有視頻，請去附件查看】10. 已知橢圓匚上心（計叫兀）與雙曲線C1：-l（ai0,b20；有相同的焦點(diǎn)F庇，點(diǎn)I： aj b；R： h； - 一一是曲線與:的一個公共點(diǎn)， f 分別是q和Q的離心率，若F

9、F丄卩耳，貝帕;十的最小值為（）9A. - B. 4 C.2【答案】A【解析】【分析】題意設(shè)焦距為2c,橢圓長軸長為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由已知條 件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出a/+a22=2c2，由此能求出4e/+e22的最小值.【詳解】由題意設(shè)焦距為2c,橢圓長軸長為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2,令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1 - |PF2|=2a2，由橢圓定義|PF1|+|PF 2|=2a1，又 PR 丄 PFz,2 2 2|PF1| +|PF2| =4c ，2+2，得 |PF1|2+|PF2| 2=4a12+4a22，將代入，得a12+a22=2

10、c2, +2=2 、【點(diǎn)睛】在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等一正：關(guān)系式中,各項(xiàng)均為正數(shù)；二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個為定值；三相等： 含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值11. 設(shè)函數(shù)心)汽( + 】)斗訂則不等式ti咤的解集為()A. (0.2 B.C.3-對 D. 卩；)52斗吋【答案】B【解析】【分析】/f (- x)(x2+1) + =f (x), f (x)為R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0 , +8)上單 耳垃卜1調(diào)遞減，再通過換兀法解題.【詳解】T f (- X) =(X2+1 ) +=f (X), f ( x)為R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0, +8)上單調(diào)

11、遞減，令t=log 2X,所以，用呼=-t,則不等式 f (log 2x) +f () 2 可化為：f (t) +f (- t ) 2,即 2f (t ) 2,所以，f (t ) 1,又f ( 1) =2+=1,二 3 4 1且f (x)在0 , +8)上單調(diào)遞減，在 R上為偶函數(shù),- K t 0,c=3 .1 JSaabc= AB?BCsi nB= BC?h2 2可知 Saab(= x 3x 2x|2 |i斤故答案為：.2【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積求法，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.15. 若關(guān)于X的不等式40 Jog護(hù)(a 7,且;2：)的解集是x|0x 0,且)的解集是x|

12、0 v x v ,2 2則當(dāng) x= 時，4x =log 2ax，即 2=log 2a ,( 2a) 2=，二 2a=i，二 a=,22224故答案為：返芥【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.16. 已知函數(shù)f(x) = f1K；L &|，若. 血舟，則實(shí)數(shù)I溯的取值范圍為 I e , (x - I)【答案】-【解析】【分析】 作出函數(shù)f (x)的圖象，設(shè)f (a) =f (b) =t，根據(jù)否定，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù), 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，禾U用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍即可./ av b,. a- 1,則 f (a) =ea=t, f

13、(b) =2b 1=t,則 a=lnt , b= (t+1 ),w則 a 2b=lnt t 1,設(shè) g (t) =lnt t 1, Ov t w ,1 i - +函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g( t)=-仁-,t t則當(dāng)0vt w丿時g( t ) 0,c此時函數(shù)g (t)為增函數(shù)，111g (t) w g ()=ln=1= 2,ee即實(shí)數(shù)a 2b的取值范圍為(-R,- 2,故答案為：(-3- ”-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵. 合性較強(qiáng).三解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

14、步驟17. 已知函數(shù) - -5 -2 + 16，函數(shù) 1憎；訂04(4)，記集合 A x|g(x)冬 Q(I )求集合；(II )當(dāng)更&創(chuàng)時，求函數(shù) 的值域.13y【答案】(1) A 幅$玉兀荃衛(wèi)(2)、町0【解析】【分析】(I)由g (x)w 0得42x 5?22x+1+16w 0,然后利用換元法解一元二次不等式即可得答案；(H)化簡函數(shù)f (x)，然后利用換元法求解即可得答案.【詳解】解: (I )；可：廠才即+ 1召應(yīng)0,|4怎護(hù)斗虧蘭0,令護(hù),即有10t:+16 I 4 * 2 102020 4的數(shù)學(xué)期望為故的分布列為【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.求

15、解該類問題,首先要正確理解題意，其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機(jī)變量的所以可能值，計算出相應(yīng)的概率,寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計算，也就是要過三關(guān):(1)閱讀理解關(guān)；(2)概率計算關(guān)；(3)公式應(yīng)用關(guān).19.如圖，已知長方形 連:丁中m 申，刖:,.h，為的中點(diǎn)將A -d?：i沿両折起，使得平面.m丄平面卜卞(I)求證：m丄I:加(II )若點(diǎn)R是線段上的一動點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時，求線段？i：|的長.【答案】(1)見解析(2)3|【解析】【分析】(I )推導(dǎo)出 AM丄BM,從而 BM丄平面 ADM由此能證明 ADL BM(II )以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，在平面 ABCD內(nèi)過

16、O作OA的垂線為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段DE的長.【詳解】(I )證明：長方形A3CT中，_平面ADN4丄平面ABCMM為匚D的中點(diǎn)，AM-BM-2，故 Ul -LBM 平面ADM P 平面ABCKi 二 AM BM c 平面ABCM則12x- 0l2Xy (1 -k)z-02Z取 ”;；1,得- - I.得匚 L：1 - K1 *4H，而:二衛(wèi);m - ncos . m,n a W -1川r-2X得平面的一個法向量門-門，設(shè)二3 *工直：社 亠遼苕pii 3二込總3（亠叭，設(shè)平面AME勺一個法向量為=巾耳|（因?yàn)檗 血，故匕衛(wèi)|.【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾

17、何問題的一般步驟是:（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐（3 ）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量;用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離20.已知橢圓二二；二，的左右焦點(diǎn)分別為，直線 經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且|；|（i）求直線L的方程；（II）已知過右焦點(diǎn)忖的動直線対與橢圓 交于.不同兩點(diǎn)，是否存在 軸上一定點(diǎn)仁使X：汙= w：cj?（|界為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說明理由【答案】（1） v =耳-I 或V = -X 4 1 ； （2） I - 2

18、J；【解析】【分析】(I)解法一：直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用弦長公式即可得出. 解法二:利用焦半徑公式可得.(II ) II )設(shè)I 2的方程為:-：-與橢圓聯(lián)立:,一一 亠.假設(shè)存在點(diǎn)T (t ,y, y,0)符合要求，設(shè) P( xi, yi), Q(X2, y2). / OTPd OTQ- X|1 x20t(x2 -1) + y2(Kt -1) - 0， t再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.【詳解】解:(I )設(shè)|的方程為了 心：疳.與橢圓聯(lián)立得卜農(nóng)： 一 一 f 二-.直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故|n|恒成立，設(shè)，則2k2 卜 1|4k4x3=r2時卜1(2f b iy 2k2+

19、1(2k2 彳 1/2k2 + 1, 弧 + 4. 2|abi Ji + 心勺-x4i -,m解得二= 2廠12(II )設(shè)的方程為一.一 ，匚與橢圓聯(lián)立:亠亠2岳-2 = 0,由于過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，A 0假設(shè)存在點(diǎn)T(LO符合要求，設(shè) 只勺比貝儀曲，韋達(dá)定理:EOTP - Z.OTQ,Xj * t * t點(diǎn)在直線、：；:-i-：上有LL-牛4L農(nóng)4k-旺解得L15|工日- Xj)H -坤- _52 1 21? + 1，解得解2 :由焦半徑公式有:n ;貯-s 即慫置洽-0沽“席T，-2 j- - 2 Jim 2m 4(農(nóng)1)一m 1 2m I 2(點(diǎn)、直線、曲線或參【點(diǎn)睛】解決解析幾何中探索性問

20、題的方法 存在性問題通常采用“肯定順推法”其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素數(shù)）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在；否則，元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）不存在.21-設(shè)函數(shù) -（X 1）嚴(yán) mJ，Rx） 呂底）+ （2-拓，（其中m 皀 R|）.（1）上! :時,求函數(shù) 的極值；（2） 證：存在工匚：.使得im：匚在|；：-亠力；內(nèi)恒成立，且方程憐腎町在：上“和；內(nèi)有唯一解.【答案】 曲應(yīng).g（】n2）1門勺斗21說2；酌誡十g - 1；（2）見解析【解析】【分析】（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求

21、出函數(shù)的極值即可；（H）求出f （x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論 m的范圍，求出f （x）的單調(diào)區(qū)間，求出滿足條件的m的范圍，從而證出結(jié)論即可.【詳解】解：（I ）當(dāng)口 】時,g（x）-（ -1）（；* x2，g = / + （x -2x =- 2x =- 2）令兩U?,得斗心可胡,當(dāng)變化時，亦誼屮;的變化如下表:(叫0)0feirnjl|ln2(ln2* +f(x)|101-11/極大值、極小值由表可知，或輙g山耳b?2 + rim；烝刃穩(wěn)刁-g-J；（II ）設(shè):n-O ）RO） 1 0,若Rx） 0要有解，需3有單減區(qū)間，則f（x） 0,記嚴(yán)（旳為函數(shù)心）的導(dǎo)數(shù)I則鞏刈 Rm嚴(yán)胡,當(dāng)m，0時代其）

22、單增，令代幻-。，由:n-P,得牝曲一,需考察與區(qū) m m間的關(guān)系：2當(dāng)m 2時，1葉上0, ；，在（。、亠如上廣卜代-勺代衛(wèi)單增，rn故兀。單增,m:工:，血叮無解；當(dāng)：ti -，時，l-i1 2，Xj In 0in tn，因?yàn)閨產(chǎn)制單增，在上汽簽:哄|,在;心-創(chuàng)上mh In o22292=m(c m m -2In) = m( - In) = 2 - 21n = 2(1 - fci) m m m m mmm(i)若I -ln-0，即時，代仙工，欣)單增，尅2他)1，。無解;mK(ii )若| 曲一乜，即 m在-上,，；-：單減；尬匸卻代冷廠q, F在區(qū)間:v上有唯一解，記為勺；在軸+ 上，詢陽(川單增 ,冷)、q,書,故兀刈 b在區(qū)間傀人可上有唯一解，記為囲，則在d 上，在僅1對上代 K 在gu 上曲)0,當(dāng)弋衍時，認(rèn)取得最小值 吃)，此時05 C若要f(心0恒成立且欣)7有唯一解，當(dāng)且僅當(dāng) 心-0,即工晶,聯(lián)立兩式.綜上，當(dāng)時，： E :;:J【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題.22.已知直線的方