矩陣相關(guān)性質(zhì)

1、等價(jià)：存在可逆矩陣P,Q，使PAQ B，則A與B等價(jià);相似：存在可逆矩陣P，使P 1APB，則A與B相似;合同：存在可逆矩陣C,使ctacB，則A與B合同.一、相似矩陣的定義及性質(zhì)定義1設(shè)A, B都是n階矩陣，若有可逆矩陣 P，使P 1AP B，則稱B是A的相似矩陣,或說(shuō)矩陣A與B相似，記為 A B.對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算P 1AP稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.注矩陣相似是一種等價(jià)關(guān)系.(1) 反身性：A A.(2) 對(duì)稱性：若A B，貝U B A.(3) 傳遞性：若 A B，B C，貝U A C .性質(zhì)1若A B，貝U(1) at bt ；(2) A 1 B 1 ;(3

2、) |A E |B E ；(4) |A |B ;(5) R(A) R(B).1推論 若n階矩陣A與對(duì)角矩陣2相似，則1, 2, n是A的n個(gè)n特征值.性質(zhì)2若A PBP 1，則A的多項(xiàng)式 (A) P (B)P推論若A與對(duì)角矩陣相似，則(2)P1(1)1(A) P ( )P P(n)注(1)與單位矩陣相似的只有它本身;（2 ）有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似二、矩陣可對(duì)角化的條件對(duì)n階方陣A，如果可以找到可逆矩陣 P，使P 1AP為對(duì)角陣，就稱為把方陣 A對(duì)角化。定理1 n階矩陣A可對(duì)角化（與對(duì)角陣相似）A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。推論 如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則 A與對(duì)角陣相似.（

3、逆命題不成立）注：（1）若A，貝y的主對(duì)角元素即為 A的特征值，如果不計(jì)i的排列順序，貝U唯一，稱之為矩陣A的相似標(biāo)準(zhǔn)形。（2）可逆矩陣P由A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量構(gòu)成。把一個(gè)矩陣化為對(duì)角陣，不僅可以使矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義。可對(duì)角化的矩陣主要有以下幾種應(yīng)用：三、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣是一類特殊的矩陣，它們一定可以對(duì)角化即存在可逆矩陣 P，使得P 1AP更可找到正交可逆矩陣 T，使和T 1AT定理2實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。定理2的意義：因?yàn)閷?duì)稱矩陣A的特征值1為實(shí)數(shù)，所以齊次線性方程組（A iE）x 0是實(shí)系數(shù)方程組。又因?yàn)锳iE 0,可知該齊次線性方程組一定有實(shí)的基

4、礎(chǔ)解系,從而對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量。定理3:實(shí)對(duì)稱矩陣A的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交。定理4： A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，0是A的k重特征值，則對(duì)應(yīng)于0的特征向量中，線性無(wú)關(guān)的個(gè)數(shù)為k，即（AoE）X 0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為 k。定理5：（實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化）對(duì)于任一 n階實(shí)對(duì)稱矩陣 A，一定存在n階正交矩陣T，使得T 1AT。其中 是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。定義2若二次型f xT Ax，則對(duì)稱矩陣 A叫做二次型f的矩陣，也把f叫做對(duì)稱矩陣 A 的二次型.對(duì)稱矩陣A的秩就叫做二次型 f的秩.推理對(duì)稱矩陣A為正定的充分必要條件是：A的特征值全為正.定理3對(duì)稱矩陣A正定的充分必

5、要條件是：A的各階主子式都為正，即an0，a11a120，,a11a1 na21a22an1ann對(duì)稱矩陣A為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正 1.設(shè)A為正定陣，則 AT , A 1, A*均為正定矩陣;2.設(shè)代B均為正定矩陣，則A B也是正定矩陣四、如果n階矩陣A與B相似，那么A與B的特征值相同嗎? 答一定相同。因?yàn)樗鼈冇邢嗤奶卣鞫囗?xiàng)式。證明 A與B相似，即存在可逆矩陣 P，使P 1AP B，1 1P AP P ( E)P1P (A E)P但務(wù)必注意：1. 即使A與B的特征值都相同，A與B也未必相同。2. 雖然相似矩陣有相同的特征值，但特征向量不一定相同。五、判斷

6、矩陣A是否可對(duì)角化的基本方法有哪些？答常有如下四種方法。（1）判斷A是不是實(shí)對(duì)稱矩陣，若是一定可對(duì)角化。（2）求A的特征值，若n個(gè)特征值互異，則 A一定可對(duì)角化。（3）求A的特征向量，若有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則 A可對(duì)角化，否則不可對(duì)角化。（4）方陣A可對(duì)角化的充要條件是 A的每個(gè)重特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等 于該特征值的重?cái)?shù)。般來(lái)說(shuō)，常用方法（2）和（4），且（2）中的條件僅僅是充分的。六、已知n階方陣A可對(duì)角化，如何求可逆矩陣P，使得P 1AP diag（答若n階方陣A可對(duì)角化時(shí)，則求可逆矩陣 P的具體步驟為:（1）求出A的全部特征值（2）對(duì)每個(gè)i(1i s），求齊次方程組

7、（AiE）x 0的基礎(chǔ)解系，得n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(3)令 P2,1n)，則 P APdiag( 1, 2, n)，其中n對(duì)應(yīng)的特征值。七、對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣 A，如何求正交矩陣 P，使P 1AP為對(duì)角陣?答 若A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則一定存在正交陣P，使P 1 AP為對(duì)角陣。可按以下步驟求出正交矩陣P。（2）對(duì)每一-個(gè)i求出齊 次 線 性 方 程 組 （A iE）x 0 的 基 礎(chǔ) 解i1,i 2 , , ik ,i 1,2,s。（3）將 i1 , i 2,ik , i1,2,S正交化（若 ki 1，則只須單位化）得正交單位特征向量組：p1, p2 ,pn。令P( p1 , p2 , pn )（

8、4）P 1 AP12，其中是特征向量 pi 所對(duì)應(yīng)的特征值。n系九、如何判斷一個(gè)二次型xT Ax 是正定的？答 判別二次型 f xT Ax 正定性的方法通常有（1）用定義，（2） f 的標(biāo)準(zhǔn)形中的 n 個(gè)系數(shù)全為正，（3）對(duì)稱矩陣 A 的特征值全大于 0，（4）正慣性指數(shù) p n ，（5）計(jì)算矩陣 A 的各階順序主子式，各階順序主子式均大于0。十三、什么叫矩陣的合同？矩陣合同與矩陣相似有什么區(qū)別與聯(lián)系？答 如果存在可逆矩陣 P，使，則稱矩陣 A與B合同。合同關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系， 矩陣合同在證明矩陣正定性和化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型中有很廣泛的應(yīng) 用，在此給出一個(gè)非常有用的結(jié)論：如果矩陣A與矩陣E合同，則A為正定矩陣。合同