異面直線所成角的幾種求法

1、異面直線所成角的幾種求法異面直線所成角的大小， 是由空間一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角（或直角）來(lái)定義的。因此，通常我們要求異面直線所成的角會(huì)要求學(xué)生通過(guò)平移直線，形成角，然后 在某個(gè)三角形中求出角的方法來(lái)得到異面直線所成角的大小。在這一方法中，平移直線是求異面直線所成角的關(guān)鍵，而如何平移直線要求學(xué)生有良好的空間觀和作圖能力。一、向量法求異面直線所成的角例1 :如圖，在正方體 ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分別是相鄰兩側(cè)面 BCC1B1及CDD1C1 的中心。求 A1E和B1F所成的角的大小。1HSBiQDCP解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線

2、 到某個(gè)點(diǎn)上。他作法：連結(jié)B1E，取B1E中點(diǎn)G及A1B1中點(diǎn)H , 連結(jié)GH，有GH/A 1E。過(guò)F作CD的平行線RS, 分另交 CC1、DD1 于點(diǎn)R、S,連結(jié)SH，連結(jié)GS。 由 B1H/C1D1/FS, B1H=FS，可得 B1F/SH。GH=亍（作直線GQ/BC交BB1于點(diǎn)Q，在 GHS中，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 a。連QH，可知 GQH為直角三角形），HSnVGa （連AiS，可知 HAiS為直角三角形），2J26BBi為z軸，設(shè)BC長(zhǎng)度為2。（1，0，1），GS= 一6 a （作直線 GP交BC于點(diǎn)P, Cos/ GHS= 1。6所以直線AiE與直線BiF所成的角的余弦值為4解法二：（向

3、量法）分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個(gè)正方體， 所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用 點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個(gè)向量，從而可以用 向量的方法來(lái)求出兩條直線間的夾角。以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸， 則點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（0, 2，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為精選文庫(kù)點(diǎn)Bl的坐標(biāo)為（0, 0, 2）,點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 1 , 1）;所以向量EA的坐標(biāo)為（-1 , 2, 1），向量B1F的坐標(biāo)為（2, 1, -1）,所以這兩個(gè)向量的夾角0滿足EA1 B1Fcos 0 = IEA1IIB1FI J( 1)22(1) 2 2 1 1(1) _ 1(1)2 ( 1)2 6所以直線A1E與直線B1F所成的角的

4、余弦值為(1)2 陽(yáng)16小結(jié)：上述解法中，解法一要求有良好的作圖能力，且能夠在作圖完畢后能夠看清楚圖形中的各個(gè)三角形，然后在所需要的三角形中計(jì)算出各條線段的長(zhǎng)度，從而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要學(xué)生作圖，只需建立空間直角坐標(biāo)系， 標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到所需向量的坐標(biāo)，求出兩個(gè)向量的夾角，即所求的兩條直線所成的角。當(dāng) 然，如果題中給出的是一可以建立坐標(biāo)系的空間圖形，比如剛才的正方體， 或者說(shuō)是長(zhǎng)方體，或者說(shuō)空間圖形中擁有三條直線兩兩垂直的性質(zhì)，我們就可以建立空間直角坐標(biāo)系， 從而利用向量的坐標(biāo)表示來(lái)求兩個(gè)向量的夾角。如果沒(méi)有這樣的性質(zhì)， 我們也可以利用空間向量基本定理，尋找空間

5、的一組基底 （即三個(gè)不共面的向量，且這三個(gè)向量?jī)蓛芍g的夾角是已知的），空間中任何一個(gè)向量都可以用這三個(gè)向量的線性組合表示出來(lái)，因而也 可以運(yùn)用向量的數(shù)乘來(lái)求出空間中任意二個(gè)向量間的夾角。例2 :已知空間四邊形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a , M、N分別為BC和 AD的中點(diǎn)，設(shè) AM和CN所成的角為a,求 COS a的值。解：由已知得，空間向量 AB , AC , AD不共面,且兩兩之間的夾角均為 60。由向量的加法可以得到-1AM =-2IMI士IJ彳INIJ(AB + AC ), NC = 1 AD + AC 2所以向量AM與向量NC的夾角0（即角a或者a的補(bǔ)角）B

6、MCD滿足cos0 =2M翌，其中 |AM | | NC|AM=1=21 ,=a2.1 - -NC =1 ( AB + AC ) ( 21 AB 21 1+ 421 1 AD + Ac )2AD + AB AC +1 1 2 -+1) =-a2;4211 AD ) AC + AC AC )21 1 13| AM |2= 一 ( AB + AC) ( AB + AC )= -(1+1+1)a2= 2244a2；4精選文庫(kù)7iNc |2=( - AD + Ac)(2-AD + Ac)=-+124a2=?4a2。2所以 cos a =| COS 0 1= _。3例3 :已知空間四邊形 ABCD中，A

7、B=CD=3 , E、F 分另是 BC、AD上的點(diǎn),且 BE: EC=AF : FD=1 :2, EF= J7，求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上點(diǎn)G,可知 EG/AB , FG/CD ,使 AG : GC=1 : 2。連結(jié) EG、FG, 3EG=2AB , 3FG=CD。= =2=1 =由向量的知識(shí)可知 EF = EG+GF = BA+-CD , 33設(shè)向量BA和CD的夾角為0。GBCD2 1 H2 1則由 | EF |2= (一 BA+-CD ) ( BA + -CD ) =4+1+4cos 0 =7,33331 得COS0 =丄，所以AB和CD所成的角為60 。2二、利用模型求異面

8、直線所成的角引理：已知平面a的一條斜線a與平面a所成的角為0 1,平面a內(nèi)的一條直線 b與斜線a所成的角為0,與它的射影a所成的角為0 2。求證： cos 0 = cos 0 1 cos 0 2。證明：設(shè)PA是a的斜線，OA是PA在a上的射影，OB/b，如圖所示。則/ PAO= 0 1,/ PAB= 0,/ OAB=O在平面a內(nèi)作 OB丄AB，垂足為B,連結(jié)PB。PB 丄 AB。OA 。 AB 。 ABPAPAOACOS0 = cos 0 1 COS0 2。過(guò)點(diǎn)可知所以所以P0 2,O1叫做 2叫做線影角。很明顯，線線角是這三個(gè)角中最大的一個(gè)角。a和b所成的角，即引理中的角0。從引理中可 以及

9、該平面的一條斜線b以及b在a內(nèi)的射影。四邊形ABCD是正方形，且 MA=AB=a，試求異面直線MB與平面ABCD所成的角為45 ,這一問(wèn)題中，直線 a和b可以是相交直線，也可以是異面直線。我們不妨把0 線面角，0叫做線線角，0 我們可以利用這個(gè)模型來(lái)求兩條異面直線 以看出，我們需要過(guò) a的一個(gè)平面a,例4:如圖，MA丄平面ABCD ,直線MB與AC所成的角。ABCD內(nèi)的射影為解：由圖可知，直線 MB在平面直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45,所以直線AC與直MB所成的角為0,滿足1cos 0 =cos45 cos45 =,2所以直線AC與MB所成的角為60 。例5:如圖，在立體圖形 P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，/ BAD=90 , AD/BC , AB=BC=a , AD=2a ,且 PA丄底面 ABCD , PD 與底面成 30 角，AE 丄 PD 于 D。 求異面直線AE與CD所成的角的大小。解：過(guò)E作的平行線EF交AD于F, 由PA丄底面 ABCD可知，直線 AE在平面ABCD內(nèi)的射影為AD ,其大小為45,直線AE與平面ABCD所成的角為/ DAE，其大小為60 , 射影AD與直線CD所成的角為/ CDA