圓的基本性質(zhì)

1、圓的基本性質(zhì) 內(nèi)容1基本要求1略高要求1較高要求1 圓的有關(guān)概念 埋解圜及其有關(guān)概念 會過不在同一直線上的三點作 圜：能利用圓的有關(guān)概念解決簡 單問題 圓的性質(zhì) 知道圓的對稱性，了解弧、弦、 圓心角的關(guān)系 能用弧、弦、圓心角的關(guān)系解決 簡單問題 能運用圓的性質(zhì)解 決有關(guān)問題 垂徑定理 會在相應(yīng)的圖形中確定垂徑定理 的條件和結(jié)論 能用垂定理解決有關(guān)問題 5 1. 理解圓及相關(guān)概念，了解弧、弦、圓心角的關(guān)系: 2. 探索圜的性質(zhì)，了解圓周角與圓心角的關(guān)系; 3. 能夠利用垂徑定理解決相關(guān)問題. 模版一圓的概念與性質(zhì) 一、圓的相關(guān)概念 1.圓的定義 描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段M繞它固定的一個端點

2、。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn) 所形成的圖形叫做圓，其中固定端點O叫做圜心，6叫做半咎. 集合性定5C：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，頂點叫做圓心，定長叫做半徑. 圓的表示方法：通常用符號0表示圓，定義中以0為圓心，Q4為半徑的圓記作OOn 讀作 圓0= 同圓、同心圜、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同 心圓：能夠璽合的兩個圓叫做等圓. (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 注意：注意：同圓或等圓的半咎相等. 2.弦和弧 弦:連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦. 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑

3、的2倍. 弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心 ?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A B為端點的圓弧記作AB,讀作弧初. 等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧. 半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓. 優(yōu)弧、劣弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧. (8)弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形. 3圓心角和圓周角 (1) 圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.將整個圓分為360等份，夸r-份的弧對應(yīng)1的圓心角，我 們也稱這樣的弧為1的弧.圜心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等. (2) 圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓柏交的角叫做圓周角. -X

4、圓的對稱性 1旋轉(zhuǎn)對稱性 (1) 圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，無論繞圓心璇轉(zhuǎn)多少度角，總能與自 身史合. (2) 圓的後轉(zhuǎn)對稱性= 圓心角、弧、強、弦心距之間的關(guān)系. 2.軸對稱性 (1) 圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線是它的對稱軸. (2) 圓的軸對稱性= 垂徑定理. 三、圓的性質(zhì)定理 1垂徑定理 (1) (2) 定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧. 推論I： 平分弦(非直徑)的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧. 強的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧. 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 (3) 推

5、論2:圓的兩條平行線所夾的弧相等 注意：若過圓心的直線 垂直于弦平分弦(非直徑)“平分弦所對的優(yōu)弧、“平分弦所 對的劣弧沖的任意兩個成立，則另外三個都成立 注意：應(yīng)用垂徑定理與推論進行計算時，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與 勾股定理有：廠+ (,)?,根據(jù)此公式，在r, 三個量中知道任何兩個量就可以求出第 2 三個量. 【例1】 如圖，點A、8是00上兩點，初= 10,點P是00上的動點（P與片、8不重合），連接AP、BP 過點o分別做OE丄AP于, OF丄PB于F，則F = 【難度】2星 【解析】 。5F是廿、戶的中點，故密為ABP的中位線，故EFpAB 【答案】 【例2】

6、 如圖，M是OO的宜徑 CD是弦，若A5 = 10, CD = 8,那么A兩點到直線CD的距離之 和為 【難度】2星 【解析】過0作CD的垂線OE,連接OC,故OC=5X = 4,根據(jù)勾股定理得, 【答案】6 【鞏固】如圖，初是00的直徑，CD是弦，AE丄8于, BF丄CDT F , BF交0。于G ,卜面的 結(jié)論成立：EC = DF； AE+BF = ABz AE = GF,FGFB = EC ED其中正確的結(jié) 論有. 【難度】3星 【解析】根據(jù)對稱性，可得正砌；根據(jù)上面一道題目，可得為緒誤：連接AG,故四邊形AEFG 為矩形，故A = GF;根據(jù)得，DFCF = FG FB,然后證明/CG

7、Fs/bdf ,故正確 【答案】 【例3】 如圖，一量角器放置在ZAOB I;.角的一邊0A與量角器交于點C、D,且點C處的度數(shù)是2(r, 點D處的度數(shù)為110。，則ZAOB的度數(shù)是( A. 20。 B. 25。 C、45 D、55。 【難度】2星 【解析】連接CE、ED 角的一邊Q4與量角器交于點C、D.且點C處的度數(shù)是20。，點D處的度數(shù)為110。 up Z4=20% ZOED=110, A Z3=ZOED/4=11020。=90。 Z 1=Z2=45% Z5=Z2+Z3=45+9O=135Q 故 ZAO5=180-Z5- Z4=18013520=25。 故選B 【答案】B 【鞏固】如圖，

8、弦CD垂直于0O的亶徑初，垂足為且S =則M的長為 【難度】2星 【解析】設(shè)00的半徑為/由垂徑定理.勾股定理建立R的方程，根據(jù)相等 【答案】3 k 【鞏固】如圖，半徑為5的0P與y軸交于點M(0, 4N (0. -10),函數(shù)y = l(x/3 ,根據(jù)故D = 63 210 法二；取 DE 的中點 O,故點 0 為/MBC 的外心， AO:OF = 2:1, :.DE = -BC = 33 C 【答案】罟 【鞏固】如圖，點P為弦初上的一點，連接過點P作PC丄OP, PC交00于7若AP = 8PB = 2 則PC的長為 【難度】2星 【解析】延長CP交00于點Y P0丄CD, :-CPuDP

9、.連接AD . BC,可證/%OPs/CBP, :.APxBP = CPxDP, A PC=4 C 【答案】PC = 4 【例6】 如圖甲，00的宜徑為初，過半徑Q4的中點G作弦CE丄初，在BC上取一點分別做直徑 CD、ED,交直線初于點F ,M (1)求ZCQ4和OQM的度數(shù): (2)求證J /FDM /COM . F 【難度】3星 9 【解析】（1）在MCOG中，利用兀=齊護C：證明GMDM 35 F 【答案】（1） ZCQ4 = 60。，ZFDM = 12（r (2)由 RfdCGM 空 R!/EGM ,得 ZGMC = ZGME ,又 ZDMF = ZGWE，:乙OMC = ZDMF

10、A /FDM sacOM 【例7】已知AD是00的宜徑，AS .AC是弦，且初=AC （1）如圖1.求證：直徑AD平分ABAC, （2如圖2,若弦BC經(jīng)過半徑0A的中點E.尸是CD的中點，G是FB的中點，0。的半徑為 1求弦長FG的長 （3）如圖3,在（2）中若弦BC經(jīng)過半徑Q4的中點, P為劣弧AF上一動點，連結(jié) E4、叭加，求證：需碗值 D 4 【難度】4星 【解析】（1）由 3/ = ZDPF = 3（F,構(gòu)建直角三角形 (2)構(gòu)PA + PF .PB + PD相關(guān)現(xiàn)線股 （3）取中點H連陽，聯(lián)想常規(guī)命題等. 則 OM = ON : 【答案】（1）過O作0M丄M于M, ON丄AC專N ,

11、 (2)連 0B ,0C ,則 Q4 丄 BC,久 AE = OE , AB = BO = OA = OC . /AOB、AAOC 棘是等 邊三角形，連OG,則ZGOF = 90% FG = JI （3）取BD的中點M,過M作處丄明于S, M丄PFT,連AM ,FM , ZBPM = ZDPM = 3嘰 ZAPM = ZFPM=60 ,則 MS = MT ,AM=MF , Rt/ASM /Rt/FTM , RZZTF ,： P3=-PM .二 PA“F = 2PS=2PT = PM .同理可證： PB + PD = （PM 空上竺=_ =亠=迺 為定值. PB + PDy/3 3 【鞏固】如圖

12、，在平而宜角坐標系中，點M在X軸的正半軸上，0M交X軸于A、8兩點，交y軸于C、D 兩點，E是0M上一點，AC = CE.AE交y軸于G點.已知點A的坐標為（2 ,0）AE=8 （1）求點C的坐標: （2）連結(jié)MG ,BC，求證:MGBC 【難度】3星 【解析】利用三角形全等 【答案】（1）連MC,交肚于則MC丄AH . AH = -AE = 4.可以證明/COM /AHM ,得 2 OC = AH=4.點坐標為（0,4）; 連M MSCSDGG 皿心皿嚴,又 *嚴，故心眈. 模版二圓中角 I 1圓周角定理 (1) 定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半. (2) 推論： 推論I：

13、推論2： 推論3: 同弧或等弧所對的圓周角相等：同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等. 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形. 2.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 (1) 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等. 2 推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量柿等, 那么它們所對應(yīng)的其余各組童分別粕等. li (2) 注意： 前提條伴是在同圓或等圓中： 在由等弦推出等弧吋應(yīng)注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等：劣弧與劣弧粕等 【例8】 如

14、圖，初為0O的直徑，AC交OO于f點，BC交OO于D點，CD = BDZC = 7g現(xiàn)給出 以下四個結(jié)論，厶=45。： AC = ABz AE = BE,CE AB = 2BDn中正確的結(jié)論的序 號是 【難度】2星 【解析】充分運用與圓有關(guān)的角，尋找特殊三角形、相似三角形.逐一臉證.連AD .DE .可證明 /ECDs/BCA 【答案】 【鞏周】如圖M是半圓0的直徑，點C、D在弧初上，且Q平分已知初=10, AC = 6.則Q 的長為 B 【難度】3星 【解析】延長AC艾BD的延長線于 E B 是半圓的直徑，AD平分ZGW, 則可得A=AB = 10, BD=ED, CE=A-AC=4, V

15、Z4CB=90% .BC=8, 在 RZCE 中，= BD = DE = 2$ AD = J AB _ BD，= 475 【答案】4岳 【例9】 如圖，BC為半圓0的宜徑，A、D為半圓0上兩點，AB = BC = 2,則ZD的度數(shù)為 【難度】2星 【解析】先利用垂徑定理求出ZB的度數(shù)，然后利用圓內(nèi)接四邊形對角互補 【答案】150。 【鞏固】如圖，APQR是00的內(nèi)接正三角形，四邊形MCD是00的內(nèi)接正方形，BC/QR貝ilZAOQ 的度數(shù)為 【難度】2星 【解析】利用對稱，00 = 120 ,ZAOP = 45。，故厶0/3 + 76 【例11】在同圓中，CD的度數(shù)小于180。，且AB = 2

16、CD,那么弦初和弦CD的大小關(guān)系為( A. ABCD B. AB = CD C ABCD D無法確; 【難度】2星 【解析】D.如圖當CD的度數(shù)為1200時，初=8；當CD的度數(shù)大于12(r吋，ABCD ,當CQ的度 數(shù)小于120。時，CD2CD B. A8 CE,:2CDCE, AB = 2CD, :.ABCE, :.ABCE,即 AB2CD故選 A. 【答案】A 已知：在OO中，宜徑點是04上任意一點，過E作弦CD丄初，點F是BC 1; 連接AF交CE于連接AC、CF. BD. OD 求證：AACHswr： 猜想：AH AFAE AB的數(shù)量關(guān)系，并說明你的猜想： 探究：當點位于何處時，Sx

17、M：Spa = l;4?并加以說明 【難度】3星 【解析】（1） 初是直徑，且丄CD, A AC = AD, AZAFC=Z4CD, 7 Z.CAH = AC . A4CHsMFC （2） AHAF = AEAB 解法一；由(1)41CHsmfc 可得：AC-=AH AF . 連結(jié)BC, C 在 OO 上，A ZACB=90% 久 CD 丄 AB, A AC-AE AB. ：AHAF = AEAB. 解法二；連結(jié)朋 F 在 OO 上，A ZAAB=W , 又ZEAH=ZFAB. ：MEHsMEB, Ar AU 竺=竺即M AF = A AB AF AB S沁pAECE, S關(guān)產(chǎn)寸ODE, -A

18、E CE “, C - C_ 1 ,12一 匕 一 * A4C a an W， 1ZTT 7 沁-BO DE BU 4 2 7：OB =AB = 2, 2 嚴亍 當 AE =吋，Sy*: SoD = 1 ： 4 【答案】見解析 【鞏固】如圖，AB. AC, AD是圓中的三條弦， 成立的理由：(1) ZCAD = 2ZDBE, (2) 點E在AP I：，且AB = AC = AE.請你說明以下各式 AD-AB2=BD DC. C 【難度】3星 【解析】(1)如圖， 連接 AB = AC = A, AZ5 = Z2, Z2+Z3 = Z6. 又 Z4+Z5 = Z6 = Z2+Z3, Z4 = Z

19、3. 而 Zl = Z4+Z3, A Z1 = 2Z4.即ZC4D = 2ZDBE (2)設(shè)BC與AD的艾點為G. 7Z2 = Z5, Zfi4G = ZmB, a AB =AG AD. A AD- -AB = AD-AG AD = AD(AD-AG=AD DG . 又 YZ5 = ZAZ)C, ZDBG = Z1, .PDGsMDC DR 竺=竺 AD DG = BD DC . AD DC AD-AB =BD DC. 【答案】見解析 模版三 點與圓的位置關(guān)系 一、點與圓的位置關(guān)系 4.確定圓的條件 (5) 圓心(定點)，確定圓的位置： (6) 半徑(定長)，確定圓的大小. 注意：只有當圓心和

20、半徑都砌定時，圓才能確定. 5 點與圓的位置關(guān)系 (7) 點與圓的位置關(guān)系有：點在圓上、點在圓內(nèi).點在圓外三種，這三種關(guān)系由這個點到圜心的距離 與半益的大小關(guān)系決定. (8) 設(shè)OO的半徑為尸，點P到圓心O的距離為，則有：點在圓外O dr :點在圓上O = /； 點在圓內(nèi)O /rO點P在OO的外部. 點在圓上 點在圓周上 el = r O點P在0的外部. 點在圓內(nèi) 點在圓的內(nèi)部 GO點P在0的外部. 二、過已知點的圓 1. 過已知點的圓 (1) (2) (3) (4) 經(jīng)過點A的圓：以點A以外的任意一點0為圓心，以Q4的長為半徑，即可作出過點A的圓，這 樣的圓有無數(shù)個. 經(jīng)過兩點A B的圓：以

21、線段初中垂線上任意一點O作為圓心，以0A的長為半徑，即可作出過 點A 3的圓，這樣的圓也有無數(shù)個 過三點的圓：若這三點A B、C共線時，過三點的圓不存在：若A、B、C三點不共線時，圓心 是線段初與BC的中垂線的交點，而這個交點0是唯一存在的，這樣的圓有唯一-個. 過(斤4)個點的圓：只可以作0個或1個，當只可作一個時，其圓心是其中不共線三點確定的 圓的圓心. I 2. 定理：不在同一直線上的三點確定一個圓 (1) “不在同一直線上這個條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點不能作圓: (2) “確定“一詞的含義是有且只有即唯一存在二 三、三角形的外接圓及外心 1.三角形的外接圓 (1) 經(jīng)過

22、三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交 點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形. (2) 銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部：直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處(即直角三角形外接 圓半徑等于斜邊的一半)；飩角三角形外接圓的圓心在它的外部. 2.三角形外心的性質(zhì) 三角形的外心是指外接圓的圜心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離 相等： 三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形 卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合. 已知圓內(nèi)一點到圓周上的點的最大距離是7,最小距離是5.則該圓的半徑是

23、( ) A. 2B. 6C. 12D. 7 1星 考察由點到圓的距離，舞出直徑從而求出半徑.所以選B. B (1) (2) 【例1】 【難度】 【解析】 【答案】 【鞏固】 【難度】 【關(guān)鍵詞】分類討論思想 一個已知點到圓周上的點的最大距離為5cm,最小距離為1cm,則此圓的半徑為. 1星 【解析】(1)當點在圓外時, (2)當點在圓內(nèi)時, r= _ =2cm, 2 r = -ii = 3cm 2 【鞏固】圧義：世點A與O0上的任意一點之間的距離的最小值稱為點Aao之間的距離現(xiàn)有一矩形 ABCD如圖，= 14cm, BC = 12cm, OK與矩形的邊AB. BC、CD分別柑切于點E F、G,

24、 則點A的距離為 E 【難度】2星 【解析】連結(jié)血AK . 由題意可知OK的半徑為6cm, EKk AB. BE = 6cm. :.AE = 8cm , :. AK = JaE，+ EK，= 10cm , /.點A與OK的雌離為10-6=4cm 【答案】4d 如圖，AABC 內(nèi)接于0(?r AB = BC. ZABC = 120% AD為O的宜徑，AD=6.那么 BD=- 略 3yf3 【難度】2星 【解析】 【答案】 2. 已知，如圖：初為O0的直徑，AB = AC, BC交OO于點AC交OO于點； ZE4C = 45。給 出以下五個結(jié)論：ZBC = 215%；BD = DC：A = 2C：劣弧A是劣弧DE的2倍: AE = BC.苴中正確結(jié)論的序號是 B I) C 【難度】3星 【解析】由題意可知ZJ9C = -ZBAC = 215故正確， 2 連接AD可得ZADB = 9GP.由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知BD = DC ,故正確： ZABE =