第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1 1如圖1 1(a)所示，雷達(dá)站探測(cè)飛機(jī)的方位，在某一時(shí)刻測(cè)得飛機(jī)離該站r1 =4000m連線ri與水平方向的夾角 y = 36.9 ；經(jīng)過(guò)0. 8s后，測(cè)得飛機(jī)離該站4200m連線r2與水平的夾角=30。求飛機(jī)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度。圖 1 1(a)解 取坐標(biāo)系如圖I 一 1(b)所示，兩次測(cè)得飛機(jī)的位矢分別為冷=ri coSii n sig j 二 3200i2400jQ 二 r cosi r sin j 二 3637i2100j根據(jù)平均速度的定義，在 O. 8s內(nèi)飛機(jī)的平均速度為- r 門(mén) - ri3637 - 32002100 - 2400vijAtAt0.80.8=

2、 546i -375j m s故平均速度的大小為V =1(546 )2 十(3752 )= 6.62 02 m/s平均速度的方向與 x軸的夾角為- 3750二 arctan34.55461 2 一直桿，一端與半徑為R的固定大圓環(huán)連結(jié)在0點(diǎn)，直桿還穿過(guò)套在大環(huán)上的小環(huán)M,如圖1 7(a)。已知直桿以勻角速繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，試求小環(huán)M勺速度和加速度。解1以0點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系x0y(圖1 7(b)，則小環(huán) M勺運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為x = OM cos,y = OM sinn若 t=0 時(shí)，V - L，貝U T1 - t 匕二又OM =2Rcosr故 x = 2Rcos t 】二， y = Rsin2 t -

3、 i通過(guò)求導(dǎo)可得速度dXidtdyjlj=一 2R sin2 t)i2r cos2 t 二由此可知速度的大小為 2R , V與y軸的夾角為 r r ：，即2d ,從圖上可以看出，V的方 向正是M點(diǎn)圓的切線方向。再求一次導(dǎo)數(shù)可得小環(huán) M勺加速度： 2B 2-4R 2cos2 t ：L4R 2sin t :d x .d y .a r i 2 j dt2dt2由此可知加速度的大小為 4R 2，方向指向圓心。解2 以0為原點(diǎn)、x軸為極軸建立平面極坐標(biāo)系(圖1 7(c)，則小環(huán)的運(yùn)動(dòng) 學(xué)方程r 二 2Rcos tv - t小環(huán)M勺速度v = dr r0 r d 二0 =2R sin t 亠 * N0-0

4、dt dt-I-2R sin t J 2r cos t 由此可知速度的大小為2R , v與二0的夾角為t :，即v正好沿M點(diǎn)的切線方向。小環(huán)M的加速度為d2rdt2叮r0d2 二dt2dr d . o dt dt-L 4r .2 cos t 亠很0 x -4R 2 cos t ： J 0此式表明加速度的大小為4R 2，其方向指向圓心。以運(yùn)動(dòng)方向?yàn)槠湔较?圖解3采用自然坐標(biāo)系，取大圓上A點(diǎn)，計(jì)算弧坐標(biāo)的起點(diǎn), 1 7(d)，則小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：S = A = R(2日)=2R(cot+a )則可求得小環(huán)M的速度和加速度：ds ov =dtd2s o2 2 2v 0 4R o2 0nn 4R

5、nP13求籃球運(yùn)動(dòng)員作立定投籃時(shí)順利進(jìn)入籃圈的最佳出手角度。已知運(yùn)動(dòng)員投球時(shí)球距籃圈中心的距離L=4.60m籃圈距地面的高度為H= 3.05m籃球的直徑d= 246cm籃圈的直徑D= 45cm=設(shè)人的出手高度h=2m出手速度v0 = 8m/s。解如以出手時(shí)球的中心選為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)系Oxy如圖1 12(a)。球的運(yùn)動(dòng)方程為12X = v0 cos： t,y = v0 sin ： tgt2式中為球與水平方向的夾角。消去t得廠 X tan2v；J0s2：宀 x tan 一 2/ tE X2移項(xiàng)整理得囲1 一吃性)圖 1 12(a)2 2tan2xtan t y 坐y =02v22v2可解得tan

6、-2Vo gx投中籃圈的條件為x=L時(shí)，y=(H-h)。將有關(guān)數(shù)值代入上式得宀= 63.73,2 二 39.13欲使籃球順利進(jìn)入籃圈，還必須考慮籃圈邊框的阻擋， 就是說(shuō)入圈角1不能太小。由圖 1 12(b)可知，僅當(dāng)Dcos90 - 1-d才能人圈，即必須滿足45sinl；亠 24.60,_ 33.14現(xiàn)在來(lái)確定與出手角 i,2相對(duì)應(yīng)的入圈角。由球的軌跡方程g 2 . 2y = x tan2 secx2v可知，斜率dy - tan -卑sec?:dxv當(dāng)x= L時(shí)，-史=tan : dx于是tan二 gseS - tan : V0經(jīng)計(jì)算得1 =57.502 =19.651 二 63.73,02

7、 二 39.13 ,因?yàn)?33.14，故最佳出手角為63.730.。I 一4一溜冰者在冰面上以v0 =7ms的速度沿半徑 R= 15m的圓周溜冰。某時(shí)刻他平拋出一小球，為使小球能擊中冰面上圓心處，他應(yīng)以多大的相對(duì)于他的速度拋球，并求出該速度的方向（用與他溜冰速度之間的夾角二表示）。已知人拋球時(shí)的高度 h=1. 5m。解 根據(jù)拋球時(shí)的高度矗和擊中目標(biāo)離溜冰者的距離，可以求出拋球相對(duì)于地面的速度vb,由于X =Vbt,而x = R, y= h可得Vb=R ,15 雹527.1m s方向指向圓心。球相對(duì)于溜冰者的速度設(shè)為 vb，則Vb =Vb _v于是，由圖1 2 5可知vb = Jvb +v； =

8、 v(27.1 2 +72 = 28m/s方向 r - 90 arctan 1042281 5 一架飛機(jī) 在速率u = 150km/ h的西風(fēng)中行駛，機(jī)頭指向正北，相對(duì)于空氣的航速為750km / h。飛機(jī)中雷達(dá)員在熒屏上發(fā)現(xiàn)一目標(biāo)正相對(duì)于飛機(jī)從東北方向以950km/ h的速率逼近飛 機(jī)。求目 標(biāo)相對(duì)于地面的速度。解 設(shè)v1為飛機(jī)相對(duì)于地面的速度，v2為目標(biāo)相對(duì)于地面的速度，v1為飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度，V2為目標(biāo)相對(duì)于飛機(jī)的速度。由于v機(jī)氣=v機(jī)地v風(fēng)地即v1= V u ,田I 27由圖 1 27可得 v1= . v；2 u2 = 765km/ hH = arctan = arctan150 = 11.30v；750即飛機(jī)相對(duì)于地面的航速為 760km/ h，方向北偏東11.3。因v物機(jī)=v物地v機(jī)地,即v2= v2 v；因此v2= v22 v；2 -2v2v； cos2 = 527km/h= 832v； v2sin45:二 arctanv2 cos45 - u即目標(biāo)相對(duì)地面以527km/h的速率沿西偏北8032