數(shù)列通項公式的求法集錦

1、數(shù)列通項公式的求法集錦，累加法形如an_an廠f( n)( n=2、3、4)且f f(2)f( n-1)可求，則用累加法 求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例1.在數(shù)列an中，a1=i,an-an=n-1(n=2、3、4)，求耳的通項公式。解： n =1時，c =1n X2時，a2 -印=1 a? = 2a4 -a3 =3 這n-1個等式累加得:an 一 a1= 12 . (n-1 )=n(n -1)2an _anl = n -1故an2n -n 2且看1也滿足該式an2n -n 22(n N ).例 2在數(shù)列an中，a1=1,an1-an=2n( n N”),求

2、a.。n亠2時，a2 -印=2a3 a? =2解：n=1 時,印=1a4 -a3 =23以上n-1個等式累加得an A=2n-1an -a-222. -2nJ= 21 -)= 2n-2，故an=2n_2a12n1-且a1=1 也滿足1-2該式 an =2n -1( n N)。一、累乘法形如旦二f(n)(n=2、3、4)，且f (1) f(2) . f (n -1)可求，則用累乘法求 an J耳。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例 3 在數(shù)列an中，a1=1,a.1二 na.,求a.。解：由已知得an 1n ,分別取n=1、 2、 3(n-1),代入該式得n-1個等式累乘

3、，即a2 a3 a4a1 a? a3anan所以時,=1 x 2 x 3X-X (n-1)=( n-1)!an- =(n -1)!故an =(n -1)! a1且印=0!=1也適用該式 an=(n-1)!( n，N ).例4 已知數(shù)列 an滿足a1= 2 , an 1 = an，求an。3n十1解：由已知得旦J二丄，分別令n=1, 2, 3,.(n-1),代入an n 1上式得n-1個等式累乘，即 電.西.屯a a2 a3an122所以一，又因為a1也滿足該式，所以an ：ain33n三、構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列耳既不等差，也不等比。若把 an中每一項添上一個數(shù)或一個式子構(gòu)成新數(shù) 列，使之等比，從

4、而求出an。該法適用于遞推式形如an d = ban c或an d = baf n或an i = ban cn其中b、c為不相等的常數(shù)，f n為一次式。例5、(06福建理22)已知數(shù)列 an滿足a =1， an .訐2an 1( n N ),求數(shù)列 an 的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列1an p?，其中p為常數(shù)，使之成為公比是an的系數(shù)2的等比數(shù)列即 an 1 p = 2(an p)整理得：an 1 = 2an p 使之滿足 an 1= 2an 1 p=1即an 1是首項為 耳1=2, q=2的等比數(shù)列 an 1=2 2nJ an =2n -1例6、(07全國理21)設(shè)數(shù)列 an的首項 帚(0,1

5、), an= 3 一,n=2、3、42()求 an 的通項公式。1解：構(gòu)造新數(shù)列：an pf，使之成為q的等比數(shù)列21 133 a即 an p= (an J p)整理得：4 = -一 andP 滿足 a.= 匸2 2 2 23 31得-_ p= - p=-1即新數(shù)列 込首項為a. -1, q =-的222等比數(shù)列 an -1 = (a1 -1)(-)故 a =佝-1) (-1 )n+12 2例7、(07全國理22 )已知數(shù)列耳中，a1=2, an 4=(:2-1)佝2)nN”()求 an的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列：an p，使之成為q = -、2-1的等比數(shù)列an1 p = C 2-1)(an

6、 p)整理得：an1 = (&1)an + c22)p使之滿足已知條件 an. = (、2 -1) an +2-1) (.2 -2)p=2C、2 -1)解得p =-運(yùn) an i 2是首項為2 - 2 q八2 -1的等比數(shù)列，由此得an -、2=(2 - .2) ( 一2-1)2二 an= J2( J2 -1)n .2例&已知數(shù)列 an中，a1=1, an 1 = 2an 3n，求數(shù)列的通項公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個數(shù)列，該數(shù)列中含3n是變量，而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列an 3n，其中為常數(shù)，使之為公比是 an的系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構(gòu)造數(shù)列a 3n , 為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的

7、等比數(shù)列即 an 0,()求數(shù)列 an的通項公式。解：n 1的底數(shù)與an的系數(shù)相同，則兩邊除以n 1得零an1 2n1n 1n21 ann2是首項為冃一二0 ,公差d = 1的等差數(shù)列。=0 (n1) = n1 an=(n-1) n 2n。五，取倒數(shù)法有些關(guān)于通項的遞推關(guān)系式變形后含有兩邊同除以anan1后，相鄰兩項的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出a例 14、已知數(shù)列an, a1= -1, an .1nanan1項，直接求相鄰兩項的關(guān)系很困難，但an。n 三 N ，求 an =?1 - an解：把原式變形得 an 1 -an 1 an二an兩邊同除以/曰 11.anan .1 得1anan

8、+ 是首項為_1 , d=1的等差數(shù)列故 丄= 1+(n1)(1) = n a anan3例15、(06江西理22)已知數(shù)列an滿足a1，且an23(n2an j n -1()求數(shù)列 a的通項公式。解：把原式變形成 2anan d (n - 1)an =3nan兩邊同除以anan,得n1q= 的等比數(shù)列32/3即 d J口 2an 3 an _131 , n -13 an構(gòu)造新數(shù)列，使其成為公比annn -12 、卄、亠+滿足式使 an3an J3111 , q=1的等比數(shù)列331八2n 33 333n -1江西文22 )已知各項均為正數(shù)的數(shù)列n即 (-)整理得:an亠數(shù)列an1-1是首項為1

9、 -a1 -1an例 16 .(06an 滿足：q=3 , 且2an 1 an二a.an i n N 求數(shù)列 a.的通項公式。2務(wù)解：把原式變形為 2an 1 - an =anan 1(2aan 1)a“an 1 得an an 1兩邊同除以所以新數(shù)列1=2%-1 移項得：-an 1an 111843q=2的等比數(shù)列。a133故-anan六利用公式1an是首項為an=-1 2n 2 解關(guān)于 an 的方程得 an J (2n 122n 29)。33an 二 Snn -2)求通項有些數(shù)列給出 an的前n項和Sn與an的關(guān)系式Sn = f(an),利用該式寫出 Sn= f (an，兩式做差，再利用an

10、彳=Snj- Sh導(dǎo)出and與an的遞推式，從而求出an。例17.(07重慶21題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 a. 的前n項和為&滿足S 1且6Sn =(an 1)(an 2)n N ”求an的通項公式。1解：由a(=S| =(ai1)(ai2)解得ai =1 或 ai =2,由已知a 1,因此ai =2 又由6an 1 = Sn .1 -Sn = (8n 1 - 1) .1 - 2)(8n 1)(8n 2)得6 6(an 1 an)(and - an -3)=0/ an 0 an- an =3從而 an 是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，故 an 的通項為an =2+3(n-1)=3n-1.1例

11、18.(07陜西理22)已知各項全不為0的數(shù)列 ak的前k項和為Q，且Sk=akak d (k N )其中a =1，求數(shù)列ak的通項公式。1解：當(dāng) k=1 時，印=S= a1a2 及 a1=1 得 as =2 ;當(dāng) k 2 時,21 1由 ak =2.1= akak 1 - $ 比得 ak(ak1 -ak)=2akTak豐 0 二ak1 -ak=2從而 a2m 1 =1+(m-1)2=2m-1 a2m =2+(m-1)2=2m( m N )故 ak =k(k N ).例19.（07福建文21）數(shù)列an的前n項和為Sn ,Q =1,an2Sn（n N ）,求 an的通項公式。1 a解：由 a1=

12、1, a? = 2S =2，當(dāng) n2 時 an = Sn Sn=(an 半an)得=3，因此 an是2 an 首項為a2=2 , q=3的等比數(shù)列。故 an = 2 3n(n2),而 a1=1不滿足該式所以aJ1(T 漢 3n (n 藝2)AAnQ例20.（06全國I理22）該數(shù)列an的前n項和Sn = a.況2+（n=1、3）求333的通項公式。41 n 12412解：由 Snan2(n=1、2、3)得 a1 = Si= a14 -3333334 12所以 a1=2 再 Sn= _an4_ 2n (n=2、3)333將和相減得：an = & -Sn4 = 4（an-an）-1 （2n1-2n

13、）33整理得 an-2n=4（an2n）（n=2、3）因而數(shù)列an- 2n是首項為 q - 2 = 4,q=4的等比數(shù)列。即an 2n = 4 4n4 = 4n，因而an =4n-2n。七重新構(gòu)造新方程組求通項法有時數(shù)列 an和bn的通項以方程組的形式給出，要想求出an與bn必須得重新構(gòu)造關(guān)于an和bn的方程組，然后解新方程組求得 an和0。例21. （07遼寧第21題）：已知數(shù)列an, bn滿足a1 =2, Q =1且an3 1二一a-bn14 413an 4 _bn 4 144(n 一 2),求數(shù)列 an, Q 的通項公式。解析：兩式相加得anbn=an4 bn 42則 anbn是首項為a

14、1b1= 3 , d=2的等差數(shù)列，故 an bn=3+2(n-1)=2n+1 (1)1 1 1 1而兩式相減得an- bn =an jbn二=(an- bn)則an- bn是首項為a1- b| =1, q=的等比數(shù)列，故an -bn = (1)nJ2 3n +bn =2 n1 聯(lián)立、得1 nJ由此得anan - h 二(-)分析 該題條件新穎，給出的數(shù)據(jù)比較特殊， 數(shù)列，從而再通過解方程組很順利求出 樣解決呢？下面給出一種通法。二 n - 1 (1)n , bn 二 n 冷 _G)n。2 2 2 2兩條件做加法、減法后恰好能構(gòu)造成等差或等比 an、bn 的通項公式。若改變一下數(shù)據(jù)，又該怎f

15、an 1 二 2an _ 6bn 例 22.在數(shù)列an、bu 中 a1=2, b1=1，且 n 1 n n(n N )求數(shù)列 an和 0 的通項公式。解析：顯然再把 an q與bn彳做和或做差已無規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新數(shù)列 -0的常數(shù) anbn其中為 則an 1bn1 = 2an -60，(an70) = (2，總 +(7- 6)0 = (2，)( an bn )令九+ 27 - -6得人=2或 =3則 an +扎bn為首項q +扎0 , q=九+2的等比數(shù)列。-2即=2時, an 2bn是首項為4, q=4的等比數(shù)列，故an 2bn=4x 4n J = 4n ；2=3時，an 3bn是首項為5

16、, q=5的等比數(shù)列，故an 3bn =5x 5n= 5nan +2bn =4nn nn n聯(lián)立二式n n 解得 an =3 4n -2 5n ,=54n。an +3bn =5n注：該法也可適用于例21,下面給出例21的該種解法解：構(gòu)造新數(shù)列a bn，則“31.13.3 + 扎anbn = ( )an+()bn+ (1 )=44444!_1 +3人令得i=1或2 = -1即=1時，新數(shù)列 an bn中，3( an bn) -(anJ bn42新數(shù)列 an bn是首項為列二 an bn = 3 2(n _ 1) = 2n 1 (1)andbn,3：ranbn = an Jbn21當(dāng)2= -1時，新數(shù)列a.-bn是首項為ai bi=i，q= 的等比數(shù)列2- an -bn =an聯(lián)立、(2).12丿bn =2 n 1/ z 得 an= nan嗆丿例 23.在數(shù)列 an、 bn中，q =0 =1,an d = 5an 15bn.(bn十a(chǎn)n f 5 :)，求 % 、 4 的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列an bn，則an . 一bn. = (5an+ (15 7-)0 = (5- -