2010級線性代數期末復習題

1、線性代數期末復習題一、判斷下列各題是否正確1 矩陣A、B的積AB0，則A0或B0。 （）2 設A為一任意矩陣，則AAT，AAT均為對稱矩陣。（）3 設對矩陣A施行初等變換得到矩陣B，且已知秩(A)r，秩(B)=s,則r = s 。（）4A、B均為n階可逆矩陣，則(AB)= AB。 ( )5設n階方陣A、B、C滿足關系式ABCE，則BCAE。 ( )6設A、B為n階方陣，則，(A-1 B-1)T(ATBT)-1。 ( )7等價的矩陣的秩相等。 ( )8若矩陣PTAP為對稱矩陣，則A為對稱矩陣。 ( ) 9在4階行列式中，項a13a34a42a21帶正號。 （ ）10A是n階方陣的伴隨矩陣，則 (

2、2 A) = 2 A （ ）11在5階行列式中，設aij為第i行第j列元素，Aij為aij的代數余子式。則， a31A41+a32A42+a33A43+ a34A44+ a35A45=0 （ ）12若A是n階方陣的伴隨矩陣，則，|A| = |A|n-1。 （ ）13若A、B是同階方陣，則（AB）2 A22ABB 2。 ( )14等價的向量組的秩相等。 ( )15A是n階方陣的伴隨矩陣，則AA =A A= |A| E 。 ( )16在4階行列式中，項a12a34a43a21帶負號。 （ ）17. 若 n階矩陣A可逆，則A的n個列向量線性相關 （ ）18. 若矩陣A、B相似，則矩陣A、B合同。 （

3、 ）19. 實二次型f (x1, x2, x3) = 是半正定二次型。 （ ）20. 已知三階矩陣A的三個特征值是 -1，1，2，則|A| = -2 ( ）21設A是45矩陣，秩（A）=3，則A中的3階子式都不為0 （ ）22若矩陣A、B合同，則矩陣A、B相似。 ( )23設A、B為n階可逆方陣，則 (AB)-1 = A-1 B-1。 ( )24.若A為對稱矩陣，則PTAP為對稱矩陣。 ( )25在5階行列式中，設aij為第i行第j列元素，Aij為aij的代數余子式。則 a51A51+a52A52+a53A53+ a54A54+ a55A55=0 （ ）26若矩陣A中所有t階子全為式0，則秩(

4、A)t 。 （ ）27n維零向量是任何一組n維向量的線性組合。 （ ）28正交矩陣的行列式等于1或 -1 。 （ ）29任一實對稱矩陣一定能與對角矩陣相似。 （ ）30實二次型f(x1,x2,x3)= 是正定二次型。 （ ）二單項選擇題1. ，為三階方陣，矩陣滿足則 ( ) . (A); (B)； (C) (D) 以上答案都不對.2. 、為n階方陣，且,、的列向量組分別為；. 若線性相關，則( ) . (A) 線性相關; (B) 線性相關； (C) （A）與(B)都成立； (D) (A)或(B)成立.3. 設為三階矩陣，且，若則( ).(A) 1 ； (B) 2；(C) 3； (D) 無法判斷

5、4. 設三階矩陣，其中均為三維行向量，已知，則( ) .(A) 1 ； (B) 2；(C) 3； (D)4.5. 若都是三階可逆矩陣，則下列結論不一定正確的是 ( ). (A) . (B) . (C) . (D) .6. 若為三階方陣，將矩陣第一列與第三列交換得矩陣，再把矩陣的第二列加到第三列得矩陣，則滿足的可逆矩陣為( ).(A) . (B) . (C) . (D) .7. 若都是階方陣，且，則必有( ). (A) . (B) . (C) . (D) 8. 已知向量組的秩為3，向量組的秩為3，向量組的秩為4，則向量組的秩為（ ）. (A) 3. (B) 4 . (C) 5. (D) 不能確定

6、9. r (A) = r (A,b)是非齊次線性方程組有無窮多解的 ( ). (A) 充分條件. (B) 必要條件. (C) 既非充分條件又非必要條件. (D) 不能確定.10.若向量組，的秩為2，則( ).(A) 1. (B) -2. (C) 2. (D) -1.11.若都是階方陣，且，則必有( ). (A) . (B) . (C) . (D) .12.下列矩陣中，不能相似于對角矩陣的是( ). (A). (B) . (C) . (D) .13.已知是階可逆矩陣，則與必有相同特征值的矩陣是( ). (A) . (B) . (C) . (D) .14若方程組存在非零解，則常數t = 。（A）2

7、（B）4（C）2（D）415設有n階方陣A與B等價，則 。(A)| A | = | B | (B) | A | | B | (C) 若| A |0,則必有| B |0 (D) | A | = | B | 16若A為n階可逆矩陣，下列各式正確的是 。（A）（2A）-1 = 2 A-1 (B) |2A| = 2 | A | (C) (D) (A-1 )T = ( AT )-117設，則4A41+3A42+2A43+A44 = (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 318已知可逆方陣，則A 。（A）（B）（C）（D）19設矩陣A、B、C滿足ABAC，則BC成立的一個充分條件是 。(A) A為方

8、陣（B）A為非零矩陣(C) A為可逆方陣(D) A為對角陣20，則x4的系數是 。(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 21若為三階方陣，將矩陣第一行與第三行交換得矩陣，再把矩陣的第一行加到第二行得矩陣，則滿足QA=C的可逆矩陣Q為 ( ) (A) . (B) . (C) . (D) .22下列不是矩陣A可逆充分必要條件的是 ( )(A) | A | 0(B) A是非奇異矩陣(C) A的任一特征值不為零(D) A是滿秩矩陣。23設n階方陣A與n階方陣B等價，則( ) (A) | A | = | B | (B) A與B 合同 (C) r (A) = r (A,B) (D) A與B

9、相似24若A為n階可逆矩陣，下列各式正確的是( ) （A） （2A）-1 = 2 A-1 (B) |2A| = 2 | A | (C) (2 A) = 2 A (D) (2A-1 )T = 2(AT )-1 25A為n階矩陣，每個n維向量都是齊次線性方程組Ax=0的解，則秩（A）=( )( A ) 1 （B） n ( C ) n-1 ( D ) 026若向量組1=(1，1，3，1)T，2=(1，1，a ，1)T，3=(5，-3，7，-11)T 的秩為2，則( )(A) 1. (B) 3. (C) -3. (D) -1.27.設A是mn矩陣，Ax=0是線性方程組Ax=b的導出組，若mn，則( )

10、A. Ax=b必有無窮多解 B. Ax=b必有唯一解C. Ax=0必有非零解 D. Ax=0必有唯一解28. 設二次型f(x)=xTAx正定,則下列結論中正確的是( )A對任意n維列向量x，xTAx都大于零 BA的特征值都大于零Cf的標準形的系數都大于或等于零 DA的所有子式都大于零29. 設矩陣A=，則以下向量中是A的特征向量的是( )(A).（1，1，1）T(B).（1，1，3）T(C).（1，1，0）T(D).（1，0，-3）T30若矩陣B的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示，則( )(A) 秩(B)秩(A) (B) 秩(B)秩(A) (C) 秩(B)秩(A) (D) 秩(B)秩(A)

11、 31設A為3階實對稱矩陣,A的全部特征值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎解系所含解向量的個數為( )（A）0 （B）. 1 （C）2 （D）. 332若A、B相似，則下列說法錯誤的是( )（A）A與B等價（B）. A與B合同(C) | A | = | B |(D). A與B有相同特征值33設3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則矩陣A( )(A). 正定 (B). 半正定 (C). 負定 (D). 半負定34設1，2是非齊次方程組Ax=b的解，是對應的齊次方程組Ax=0的解，則Ax=b必有一個解是（）A1+2B1-2C+1+2D+35設3元非齊次線性方程組Ax=b的

12、兩個解為=（1，0，2）T，=（1，-1，3）T，且系數矩陣A的秩r(A)=2，則對于任意常數k, k1, k2, 方程組的通解可表為（）Ak1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)TB(1,0,2)T+k (1,-1,3)T C(1,0,2)T+k (0,1,-1)T D(1,0,2)T+k (2,-1,5)T36矩陣A=的非零特征值為（）A4 B3 C2D1374元二次型的秩為（）A4 B3 C2D138設3階實對稱矩陣A的特征值為1=2=0，3=2，則秩（A）=（）A0 B1 C2 D339二次型的正慣性指數p為（）A0 B1 C2 D340設向量1=-1,4，2=1,-2，3=3,-8

13、，若有常數a,b使a1-b2-3=0，則（ ）Aa=-1, b=-2Ba=-1, b=2Ca=1, b=-2Da=1, b=241. 設P為正交矩陣，向量的內積為（）=2，則（）=（ ）A. B.1 C.D.242. 設向量組1=(1,2), 2=(0,2),=(4,2),則 ( )A. 1, 2,線性無關 B. 可由1, 2線性表示,但表示法不惟一C. 不能由1, 2線性表示 D. 可由1, 2線性表示,且表示法惟一43. 下列矩陣是正交矩陣的是（ ）A.B.C.D.三、填空題1.設、為n階非零矩陣，且的階梯形為，則矩陣的秩= .2.已知，則此行列式的所有代數余子式之和 .3.已知是的一個特

14、征向量，則 .4.為已知是3階方陣，是三維線性無關的向量. 若，則的行列式等于 .5.設均為三階矩陣，則= .6.設是4階矩陣，伴隨矩陣的特征值是，則矩陣的全部特征值是 .7.若向量組，的秩為2，則 .8.若矩陣為正定的，則滿足的條件為 .9.已知為3階可逆矩陣，是的伴隨矩陣，若 ，則= .10.設=，則的基礎解系中所含向量的個數是 .11.已知與相似，則= .12.矩陣的逆矩陣為 .13.若矩陣為正定的，則滿足的條件為 .14.設 都是4維列向量,且4階行列式則4階行列式_15. 已知線性相關,不能由線性表示則線性_ 16.設是階矩陣 ,是階矩陣,且,則的取值范圍是_17.設是43矩陣,且的

15、秩且則_-18.設0是矩陣的特征值,則_19.設是正定二次型,則的取值區(qū)間為 20.矩陣對應的二次型是_21. 設相似于對角陣,則 22.設為3階方陣,為伴隨矩陣,則=_23.設是不可逆矩陣,則_24. 25. 26. 設A、B為4階方陣，且，則27. 28. A是矩陣，其秩=1, , 則秩= _ 29.30.設方陣A有一特征值為，則的特征值為 。31. 32.33. 已知四元非齊次線性方程組Ax=b，R(A)=3，1，2，3是他的三個解向量，其中1+2=（1,1,0,2）T，2+3=（1,0,1,3）T，則該非齊次線性方程組的通解_ 34.設是3階矩陣,且,其中均為3維行向量, ,則行列式

16、35.已知方陣滿足(為常數),則 36.設,則應滿足_.37.設線性相關, 線性無關,則線性_關.38.設線性相關,則滿足關系式_39. 設A滿足,則A有特征值_40. 設A為n階方陣,且是的三個線性無關的解向量, 則的一個基礎解系為_.41.二次型正定,則滿足條件 _.42.設方陣相似于對角矩陣,則_.43.設A是矩陣,則_44矩陣對應的二次型是_ 45設、為n階矩陣，且A的n個列向量線性無關，則矩陣的秩 = .46已知非零向量線性相關，不能由線性表示，則秩（）= _ 。 47已知3階可逆矩陣的特征值為1,2，-2，則的三個特征值為= ， | A | 的代數余子式A11+ A22+ A33

17、= 。48設0是矩陣的特征值,則_49.實對稱矩陣所對應的二次型f (x1, x2, x3)=_.50設是mn矩陣，齊次線性方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是系數矩陣A的秩r(A)= .四、計算、解答下列各題1.計算行列式2.計算n階行列式 x y 0 0 0 0 x y 0 0 0 0 x 0 0Dn = ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： 0 0 0 x y y 0 0 0 x3.計算n階行列式 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1Dn = ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： 1 1 1 0 1 1 1 1 1 04.計算n階行列式 1+a1 1 1 1

18、1 1 1+a2 1 1 1 1 1 1+a3 1 1Dn = ： ： ： ： ： 其中a1a2 an0 ： ： ： ： ： 1 1 1 1+a n-1 1 1 1 1 1 1+an5. 設，矩陣滿足，求矩陣.6. 已知，且.求.7.已知, 矩陣滿足，求8.設矩陣，的秩為3，求.9.三階方陣滿足關系式:,且 ,求10.設,矩陣滿足關系式:,求11. 已知A、B為4階方陣，且A2，B3，求 (1) | 5AB | ; (2) |- A B T | ; (3) | ( AB )-1 |。12. 已知APPB，其中，求矩陣A及A5。13. 對參數討論方程組問為何值時，此方程組無解,有唯一解, 有無窮

19、多解，在有無窮多解時，求出其通解。14.已知維向量組線性無關，則為何值時，向量組亦線性無關。15.設非齊次線性方程組 , 問：取何值時，此方程組有唯一解、無解、有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解。16. 設非齊次線性方程組 , 問為何值時, 系數矩陣的秩為2？并求此時方程組的通解 17.問取何值時, 方程組無解,有唯一解,或有無窮多解,并在有無窮多解時寫出其一般解.18.設 1=（1,1,3,1）T， 2=（-1,1,-1,3）T，3=（5,-2,8,9）T， 4=（-1,3,1,t）T。問t取何值時, 1)4求不能由1，2，3線性表示。2）4能由1，2，3線性表示且表示式唯一。3）4能由1

20、，2，3線性表示且表示式不唯一。并求出一般表示式。19. 設 1=（1,1,3,1）T， 2=（-1,1,-1,3）T，3=（5,-3,7,-11）T， 4=（-1,3,1,7）T。（1）求該向量組1，2，3，4的秩及一個極大無關組. （2）將其余向量表示為該極大線性無關組的線性組合。20. 設（1）求向量組的秩及一個極大無關組。（2）并將其余向量用極大無關組線性表示。21.設為三階矩陣，有三個不同特征值，依次是屬于特征值的特征向量，令。若，求的特征值并計算行列式.22. 已知矩陣有一個特征值，是屬于特征值的特征向量. 求 (1) 常數的值；(2) 判定是否可相似對角化，說明理由. 23.已知三階矩陣的特征值為,設矩陣,求矩陣B的特征值及相似對角陣。24. 設實對稱矩陣 求正交矩陣使為對角矩陣.并寫出對角陣25.