三年級(jí)奧數(shù)等差數(shù)列求和習(xí)題及答案

1、計(jì)算（三）等差數(shù)列求和知識(shí)精講一、定義：一個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)的和為這個(gè)數(shù)列的和。二、表達(dá)方式：常用Sn 來表示 。三：求和公式：和( 首項(xiàng) 末項(xiàng) )項(xiàng)數(shù) 2 ， sn( a1 an )n2 。對(duì)于這個(gè)公式的得到可以從兩個(gè)方面入手：( 思路 1) 12 3 L98 99100（1100）（299）（398） L（5051）101 50 50501 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 43共 50個(gè) 101( 思路 2) 這道題目，還可以這樣理解：和= 1234L9899100+ 和100999897L321倍和101 101 101 101 L1011011012即，和

2、(1001)1002101505050 。四、中項(xiàng)定理： 對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列， 中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。譬如：4812L3236 （436） 922091800，題中的等差數(shù)列有656361L9 項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5 項(xiàng)的值是20，而和恰等于531 （165） 33233331089，209 ；題中的等差數(shù)列有33 項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17 項(xiàng)的值是33，而和恰等于3333。例題精講：例 1：求和 ：（ 1） 1+2+3+4+5+6 =（ 2）1+4+7+11+13=（ 3） 1+4+7+11+13 85=分析：

3、 弄清楚一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)， 末項(xiàng)和公差， 從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)， 再根據(jù)求和公式求和。例如（ 3）式項(xiàng)數(shù) =（85-1 ） 3+1=29和 =（ 1+85） 29 2=1247答案：（ 1）21（ 2） 36（ 3） 1247例 2：求下列各等差數(shù)列的和。（ 1） 1+2+3+4+ +199（ 2） 2+4+6+ +78（ 3） 3+7+11+15+ +207分析： 弄清楚一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)， 末項(xiàng)和公差， 從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)， 再根據(jù)求和公式求和。例如（ 1）式 =（ 1+199） 199 2=19900答案：（ 1）19900（2） 1160（ 3） 5355例 3：一個(gè)等差數(shù)列 2，

4、4， 6， 8， 10，12， 14，這個(gè)數(shù)列的和是多少？分析：根據(jù)中項(xiàng)定理，這個(gè)數(shù)列一共有7 項(xiàng)，各項(xiàng)的和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)，即為： 8756答案： 56例 4：求 1+5+9+13+17 +401 該數(shù)列的和是多少。分析：這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是 1，末項(xiàng)是 401，項(xiàng)數(shù)是（ 401-1 ） 4+1=101，所以根據(jù)求和公式，可有：和 =（ 1+401） 101 2=20301答案： 20301例 5：有一串自然數(shù)2、 5、 8、 11、，問這一串自然數(shù)中前分析：即求首項(xiàng)是2，公差是3，項(xiàng)數(shù)是61 的等差數(shù)列的和，根據(jù)末項(xiàng)公式：末項(xiàng)=2+（ 61-1 ） 3=182根據(jù)求和公式：和=（2+182）

5、 61 2=561261 個(gè)數(shù)的和是多少？答案：5612例 6：把自然數(shù)依次排成“三角形陣” ，如圖。第一排 1 個(gè)數(shù)；第二排 3 個(gè)數(shù)；第三排 5 個(gè)數(shù)；求：（ 1）第十二排第一個(gè)數(shù)是幾？最后一個(gè)數(shù)是幾？（ 2） 207 排在第幾排第幾個(gè)數(shù)？（ 3）第 13 排各數(shù)的和是多少？分析：整體看就是自然數(shù)列，每排的個(gè)數(shù)的規(guī)律是1,3,5 ， 7.即為奇數(shù)數(shù)列若排數(shù)為n（n 2de 自然數(shù) ) ，則這排之前的數(shù)共有（n-1 ）（ n-1) 個(gè)。（1）第十二排共有23 個(gè)數(shù)。前面共有（1+21） 11 2=121 個(gè)數(shù)，所以第十二排的第一個(gè)數(shù)為122，最后一個(gè)數(shù)為122+（23-1 ） 1=144（

6、2）前十四排共有196 個(gè)數(shù)，前十五排共有225 個(gè)數(shù)，所以207 在第十五排， 第十五排的第一個(gè)數(shù)是197，所以 207 是第（ 207-197=10 ）個(gè)數(shù)（3）前十二排共有144 個(gè)數(shù)，所以第十三排的第一個(gè)數(shù)是145，而第十三排共有25 個(gè)數(shù)，所以最后一個(gè)數(shù)是145+（ 25-1 ） 1=169，所以和 =（ 145+169） 25 2=3925答案：（ 1）122； 144（ 2）第十五排第10 個(gè)數(shù)（ 3） 3925例 7：15 個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是 1995，其中最大的奇數(shù)是多少？分析：由中項(xiàng)定理，中間的數(shù)即第8 個(gè)數(shù)為： 1995 15133，所以這個(gè)數(shù)列最大的奇數(shù)即第15 個(gè)數(shù)是：

7、 1332 （158） 147 。答案： 147。例 8：把 210 拆成 7 個(gè)自然數(shù)的和，使這 7 個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是 5，那么，第 1 個(gè)數(shù)與第 6 個(gè)數(shù)分別是多少？分析：由題可知： 由 210 拆成的 7 個(gè)數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列， 則中間一個(gè)數(shù)為 210 7=30，所以，這 7 個(gè)數(shù)分別是 15、 20、 25、30、 35、40、 45。即第 1 個(gè)數(shù)是 15，第 6 個(gè)數(shù)是 40。答案：第1 個(gè)數(shù)： 15；第 6 個(gè)數(shù)： 40。例 9：已知等差數(shù)列 15， 19，23， 443，求這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的差是多少？分析：公差 =19-15=4項(xiàng)數(shù) =（

8、 443-15 ） 4+1=108倒數(shù)第二項(xiàng) =443-4=439奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：15，23，31 439，公差為 8，和為（15+439） 54 2=12258偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：19，27，35 443，公差為 8，和為（ 19+443） 54 2=12474差為 12474-12258=216答案： 216例 10： 在 1100 這一百個(gè)自然數(shù)中，所有能被9 整除的數(shù)的和是多少？分析：每 9 個(gè)連續(xù)數(shù)中必有一個(gè)數(shù)是9 的倍數(shù)， 在 1100 中，我們很容易知道能被9 整除的最小的數(shù)是 99 1，最大的數(shù)是 99911，這些數(shù)構(gòu)成公差為9 的等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列一共有： 11 1 11

9、1項(xiàng)，所以，所求數(shù)的和是：91827L99 （999） 112594也可以從找規(guī)律角度分析答案： 594例 11：一串?dāng)?shù)按下面的規(guī)律排列： 1、 2、3、 2、3、 4、 3、 4、5、 4、5、 6問：從左面第一個(gè)數(shù)起，前 105 個(gè)數(shù)的和是多少？分析：這些數(shù)字直接看沒有什么規(guī)律，但是如果3 個(gè)一組，會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)數(shù)列：6,9,12,15.即求首項(xiàng)是6，公差是3，項(xiàng)數(shù)是1053=35 的和末項(xiàng) =6+3（ 35 -1 ） =108和 =（ 6+108 ） 35 2=1995答案： 1995例 12：在下面 12 個(gè)方框中各填入一個(gè)數(shù)， 使這 12 個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列， 其中 10、16

10、已經(jīng)填好，這 12 個(gè)數(shù)的和為。?16?10?分析：由題意知： 這個(gè)數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列， 又由題目給出的兩個(gè)數(shù) 10和 16知：公差為 2 ，那 么 第 一 個(gè) 方 格 填 26 ， 最 后 一 個(gè) 方 格 是 4 ， 由 等 差 數(shù) 列 求 和 公 式 知 和 為 ：(426)122180 。答案： 180。本講小結(jié)： 1. 一個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)的和為這個(gè)數(shù)列的和，我們稱為。2.求和公式：和( 首項(xiàng)末項(xiàng) )項(xiàng)數(shù)2 ， sn(a1an )n2 。3. 對(duì)于任意一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。練習(xí)：1.求和：（1） 1+3+5+7+9=（ 2） 1+2+3+4 21=（ 3） 1+

11、3+5+7+9 39=分析： 弄清楚一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)，求和。答案：（ 1）25（ 2） 231末項(xiàng)和公差， 從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，（3） 400再根據(jù)求和公式2. 求下列各等差數(shù)列的和。（ 1） 1+2+3+ +100（ 2） 3+6+9+ +39分析： 弄清楚一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)，求和。答案：（ 1）5050（ 2） 273末項(xiàng)和公差， 從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式3. 一個(gè)等差數(shù)列4,8,12,16,20,24,28,32分析：根據(jù)中項(xiàng)定理，這個(gè)數(shù)列一共有即為： 20 9=180， 36 這個(gè)數(shù)列的和是多少?9 項(xiàng)，各項(xiàng)的和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)，答案：1804. 所有兩位單數(shù)的和是多

12、少？分析：即求首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是99 的奇數(shù)數(shù)列的和為多少。和 =（ 11+99） 45 2=2475答案： 24755.數(shù)列 1、 5、 9、 13、，這串?dāng)?shù)列中，前91 個(gè)數(shù)和是多少？分析：首項(xiàng)是1，公差是4，項(xiàng)數(shù)是 91，根據(jù)重要公式，可得：末項(xiàng) =1+（ 91-1 ） 4=361和 =（ 1+361） 91 2=16471答案： 164716. 如圖，把邊長為 1 的小正方形疊成“金字塔形”圖，其中黑白相間染色。如果最底層有15 個(gè)正方形，問： “金字塔”中有多少個(gè)染白色的正方形，有多少個(gè)染黑色的正方形？分析：由題意可知，從上到下每層的正方形個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，其中 a1 1 ， d 2

13、 ， an15 ，所以 n （151） 2 18 ，所以，白色方格數(shù)是：123L8（18） 8236黑色方格數(shù)是： 123L7（17） 7228 。答案： 287. （2005 2006 2007 2008 200920102011） 2008。分析： 根據(jù)中項(xiàng)定理知： 2005200620072008 20092010 2011 2008 7 , 所以原式2008 7 2008 7。答案： 7。8. 把 248 分成 8 個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，其中最大的那個(gè)數(shù)是多少？分析：公差為 2 的遞增等差數(shù)列。平均數(shù)： 248 8=31，第 4 個(gè)數(shù)： 31-1=30 ；首項(xiàng)： 30-6=24 ；末項(xiàng)： 2

14、4+（ 8-1 ） 2=38。即：最大的數(shù)為 38。答案： 389. 求從 1 到 2000 的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。分析：解法1：可以看出， 2， 4， 6， 2000是一個(gè)公差為 2 的等差數(shù)列，1， 3， 5，1999 也是一個(gè)公差為2 的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為1000，所以：原式 =（ 2+2000) 1000 2- （ 1+1999） 1000 2=1000解法2：注意到這兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對(duì)應(yīng)項(xiàng)差1，所以 1000項(xiàng)就差了 1000 個(gè) 1，即原式 =1000 1=1000答案： 100010.在 1100 這一百個(gè)自然數(shù)中，所有不能被9 整除的數(shù)的和是多少？分析：先計(jì)算 1100 的自然數(shù)和， 再減去能被9 整除的自然數(shù)和， 就是所有不能被 9 整除的自然數(shù)和了12 L 100 （1100） 100 25050，91827L 99 （999） 11 2594 ， 所 有 不 能 被9 整 除 的 自 然 數(shù) 和 ：50505944456如果直接計(jì)算不能被 9 整除的自然數(shù)和，是很麻煩的，所以先計(jì)算所有1100 的自然數(shù)和，再排除掉能被9 整除的自然數(shù)和，這樣計(jì)算過程變得簡便多了。答案： 59411. 一個(gè)建筑工地旁， 堆著一些鋼管（如圖） ，聰明的小朋友，你