二面角的平面角的四種求解策略

1、二面角的平面角的四種基本求法及訓(xùn)練O（1）定義法在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o點(diǎn)在棱上，用定義法。A圖3OBl(2)垂線法（三垂線定理法）利用三垂線定理作出平面角，通過(guò)解直角三角形求角的大小。注：o點(diǎn)在一個(gè)半平面上，用三垂線定理法。O圖5lCBA(3)垂面法通過(guò)做二面角的棱的垂面，兩條交線所成的角即為平面角。注：點(diǎn)O在二面角內(nèi)，用垂面法。ABCDO(4)射影面積法若多邊形的面積是S，它在一個(gè)平面上的射影圖形面積是S，則二面角q的大小為COS q= S S例1 如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，ABD和BCD均為等邊三角形，A

2、B=2，AC=求二面角A-BC-D的余弦值（三垂線定理法）例2 在60二面角MaN內(nèi)有一點(diǎn)P，P到平面M、平面N的距離分別為1和2，求點(diǎn)P到直線a的距離。（垂面法） 例3 如圖在三棱錐 S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分SC，且分別交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD為棱，BDE與BDC為面的二面角的度數(shù)。（定義法）EDBASCA例4如圖ABC與BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，ABC =DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。（補(bǔ)棱法和射影面積法） CBD例5.在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa

3、，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。（補(bǔ)棱法和射影面積法） 練習(xí)題1如圖，二面角-l-的大小是60，線段ABBl，AB與l所成的角為30則AB與平面所成的角的正弦值是 2.山坡與水平面成30角，坡面上有一條與坡角水平線成30角的直線小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，則此人行走的路程為 3在一個(gè)二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到棱的距離等于到另一個(gè)面的距離的2倍，則二面角的度數(shù)為 。4.在600的二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，則CD= 。5若二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離分別為a和，到

4、棱的距離為2a，則此二面角的度數(shù)是 。6. 的二面角內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)到面的距離為2，點(diǎn)到面的距離為11，則點(diǎn)到棱的距離為 7.二面角的面內(nèi)有一條直線,它與的夾角為，與平面的夾角為，則二面角的大小 8.在300的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，若它到另一個(gè)面的距離是10，則它到棱的距離是( ) A 5 B 20 C D9.在直二面角-l-中，RtABC在平面內(nèi)，斜邊BC在棱l上，若AB與面所成的角為600，則AC與平面所成的角為（ ） A 300 B 450 C 600 D 120010. 如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA平面ABC，PA=3，PB=PC=BC=6，求二面角P-BC-A的正弦值 11.如

5、圖，平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中點(diǎn)，（1）求證：AG平面BGC；（2）求二面角B-AC-G的正弦值12.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，M為PD的中點(diǎn)，PA=AB（I）求直線BC與平面ACM所成角的正弦值；（II）求平面PAB與平面ACM所成銳二面角的余弦值13.如圖，在四面體ABCD中，AB平面ACD，BC=BD=5，AC=4，CD=（）求該四面體的體積；（）求二面角A-BC-D大小的正弦值作二面角的平面角的四種基本方法O（1）定義法在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角

6、的大小就是二面角的平面角。注：o點(diǎn)在棱上，用定義法。A圖3OBl(2)垂線法（三垂線定理法）利用三垂線定理作出平面角，通過(guò)解直角三角形求角的大小。注：o點(diǎn)在一個(gè)半平面上，用三垂線定理法。O圖5lCBA(3)垂面法通過(guò)做二面角的棱的垂面，兩條交線所成的角即為平面角。注：點(diǎn)O在二面角內(nèi)，用垂面法。ABCDO(4)射影面積法若多邊形的面積是S，它在一個(gè)平面上的射影圖形面積是S，則二面角q的大小為COS q= S S例1 如圖PC平面ABC，ABBC=CAPC，求二面角BPAC的平面角的正切值。（三垂線定理法）解 PC平面ABC 平面PAC平面ABC，交線為AC作BDAC于D點(diǎn)，據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，B

7、D平面PAC，作DEPA于E，連BE，據(jù)三垂線定理，則BEPA，從而B(niǎo)ED是二面角BPAC的平面角。設(shè)PCa，依題意知三角形ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形， D是PC = CA=a，PCA=90， PAC45 在RtDEA例2 在60二面角MaN內(nèi)有一點(diǎn)P，P到平面M、平面N的距離分別為1和2，求點(diǎn)P到直線a的距離。（圖1126）（垂面法） 分析 設(shè)PA、PB分別為點(diǎn)P到平面M、N的距離，過(guò)PA、PB作平面，分別交M、N于AQ、BQ.同理，有PBa， PAPB=P， a面PAQB于Q 又 AQ、BQ平面PAQB AQa，BQa. AQB是二面角MaN的平面角。 AQB60 連PQ，則PQ是P到a的

8、距離，在平面圖形PAQB中，有 PAQPBQ=90 P、A、Q、B四點(diǎn)共圓，且PQ是四邊形PAQB的外接圓的直徑2R，在PAB中， PA=1，PB=2，BPA180-60=120，由余弦定理得AB214-212cos1207由正弦定理： 例3 如圖在三棱錐 S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分SC，且分別交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD為棱，BDE與BDC為面的二面角的度數(shù)。（定義法）EDBASC解： BS =BC，又DE垂直平分SC BESC，SC面BDE BDSC，又SA面ABC SABD，BD面SAC BDDE，且BDDC（定義法）則 E

9、DC就是所要求的平面角 設(shè) SA =AB =a，則 BC =SB =a 且 AC = 易證 SACDEC CDE =SAC =60例4如圖ABC與BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，ABC =DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。（補(bǔ)棱法和射影面積法）DBAEC解：過(guò) A作 AECB的延長(zhǎng)線于E， 連結(jié) DE， 面ABC面BCD AE面BCD E點(diǎn)即為點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影 EBD為ABD在面BCD內(nèi)的射影 設(shè) AB =a 則AE =DE =ABsin60= AD = ， sinABD = 又 考慮到我們求的是二面角 A-BD-E，而二面角 A-BD-C與A-BD-C互補(bǔ) 二面角

10、 A-BD-C的余弦值為。 例5.在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小?！痉ㄒ弧浚娣e法）如圖同時(shí)，BC平面BPA于B ，故PBA是PCD在平面PBA上的射影，設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為，則cos= =45【法二】（補(bǔ)形化為定義法）如圖，將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形得正方體ABCD-PQMN，則PQPA、PD，于是APD是兩面所成二面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD，則APD=45。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45練習(xí)題1如圖，二面角-l-的大小是60，線段ABBl，AB與l所成的角為30

11、則AB與平面所成的角的正弦值是 2.山坡與水平面成30角，坡面上有一條與坡角水平線成30角的直線小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，則此人行走的路程為 400米3.在一個(gè)二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到棱的距離等于到另一個(gè)面的距離的2倍，則二面角的度數(shù)為 。4.在600的二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，則CD= 。7cm5若二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離分別為a和，到棱的距離為2a，則此二面角的度數(shù)是 。700或16506. 的二面角內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)到面的距離為2，點(diǎn)到面的距離為11，則點(diǎn)到棱的距

12、離為 7.二面角的面內(nèi)有一條直線,它與的夾角為，與平面的夾角為，則二面角的大小 8.在300的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，若它到另一個(gè)面的距離是10，則它到棱的距離是( B ) A 5 B 20 C D9在直二面角-l-中，RtABC在平面內(nèi)，斜邊BC在棱l上，若AB與面所成的角為600，則AC與平面所成的角為（ A ） A 300 B 450 C 600 D 120010. 如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA平面ABC，PA=3，PB=PC=BC=6，求二面角P-BC-A的正弦值11.如圖，平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中點(diǎn)，（1）求證：AG平面BGC；（2）求二面角B-AC-G的正弦值（1）證明：G是矩形ABEF的邊EF的中點(diǎn)AG=BG=AG2+BG2=AB2 AGBG又平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，且BCABBC平面ABEF，又AG平面ABEF，BCAGBCBG=BAG平面BGC；（2）解：作GMAB于M，則M為AB中點(diǎn)，M為G的射影，作GHAC于H，連接MH，則所求角GHM GM=a，MH=BD=a GH=a sinGHM=12.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，M為