2021年高考數(shù)學(xué)（理）考點(diǎn)一遍過(guò)考點(diǎn)57,推理與證明-之范文

1、（十八）推理與證明 1合情推理與演繹推理 （1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. （2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理. （3）了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 2直接證明與間接證明 （1）了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn). （2）了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn). 3數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 一、推理 1推理 （1）定義根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)

2、程就是推理推理一般包含兩個(gè)部分一是前提，是指已知的事實(shí)(或假設(shè))；二是結(jié)論，是由已知判斷推出的新的判斷，即推理的形式為“前提結(jié)論”. （2）分類(lèi)推理 2合情推理 （1）定義根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類(lèi)比，然后提出猜想的推理叫做合情推理. （2）特點(diǎn)合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理. （3）分類(lèi)合情推理 （4）歸納推理和類(lèi)比推理的定義、特征及步驟 名稱(chēng) 歸納推理 類(lèi)比推理 定義 根據(jù)某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，叫做歸納推理 由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)

3、對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理，叫做類(lèi)比推理 特征 由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理 由特殊到特殊的推理 步驟 通過(guò)觀察部分對(duì)象發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì) 從已知的一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）中推出相似性或一致性 找出兩類(lèi)事物之間的相同性質(zhì) 用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想) 3演繹推理 （1）定義從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱(chēng)為演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理 （2）特點(diǎn)演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確；若大前提、小前提、推理形式三者中有一個(gè)是錯(cuò)誤的，所得的結(jié)論就是錯(cuò)

4、誤的. 演繹推理是證明結(jié)論的推理 （3）模式三段論是演繹推理的一般模式，即 大前提已知一般的原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷. 【注】三段論常用的格式為大前提m是p. 小前提s是m. 結(jié)論s是p. 二、證明 1直接證明綜合法與分析法 （1）綜合法 定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示(其中p表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，q表示要證的結(jié)論) 思維過(guò)程由因?qū)Ч?（2）分析法 定義從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定

5、一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法 框圖表示(其中p表示要證明的結(jié)論) 思維過(guò)程執(zhí)果索因 2間接證明反證法 （1）定義一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法. （2）反證法中的矛盾主要是指以下幾方面與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾；自相矛盾 三、數(shù)學(xué)歸納法 （1）概念一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；(歸納遞推)假設(shè)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)

6、命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立. 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法. （2）框圖表示（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵在于兩個(gè)步驟，要做到“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉”因此必須注意以下兩點(diǎn)驗(yàn)證是基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)歸納法的原理表明第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n，這個(gè)數(shù)n就是要證明的命題對(duì)象的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不一定都是“1”，因此，“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法第一個(gè)要注意的問(wèn)題 遞推是關(guān)鍵 數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k+1”的過(guò)程中，必須把歸納假設(shè)“n=k”作為條件來(lái)導(dǎo)出“n=k+1”時(shí)的命題成立，在推導(dǎo)過(guò)程中，歸納假設(shè)

7、要用一次或幾次 考向一 合情推理 常見(jiàn)的類(lèi)比、歸納推理及求解策略（1）在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，不僅要注意形式的類(lèi)比，還要注意方法的類(lèi)比，且要注意以下兩點(diǎn)找兩類(lèi)對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等 （2）歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法. 典例1 不難證明一個(gè)邊長(zhǎng)為，面積為的正三角形的內(nèi)切圓半徑，由此類(lèi)比到空間，若一個(gè)正四面體的一個(gè)面的面積為，體積

8、為，則其內(nèi)切球的半徑為_(kāi) 【答案】 【解析】由題意得，故 將此方法類(lèi)比到正四面體，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則， ，即內(nèi)切球的半徑為 故答案為. 【名師點(diǎn)睛】類(lèi)比推理應(yīng)用的類(lèi)型及相應(yīng)方法 (1)類(lèi)比定義在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類(lèi)比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來(lái)求解；(2)類(lèi)比性質(zhì)從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類(lèi)比推理型問(wèn)題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過(guò)程是求解的關(guān)鍵；(3)類(lèi)比方法有一些處理問(wèn)題的方法具有類(lèi)比性，可以把這種方法類(lèi)比應(yīng)用到其他問(wèn)題的求解中，注意知識(shí)的遷移 典例2 有一個(gè)奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下1 3 7 13 21 5 9 15

9、 23 11 17 25 19 27 29 則第3行從左到右第3個(gè)數(shù)是_ 【答案】151 【解析】先求第3行的第1個(gè)數(shù)，再求第3行的第3個(gè)數(shù)觀察每一行的第一個(gè)數(shù)，由歸納推理可得第3行的第1個(gè)數(shù)是. 又第n行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大2n，第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2n+2， 所以第3行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大6，第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大62， 故第3行從左到右第3個(gè)數(shù)是929+6+62=15 【技巧點(diǎn)撥】解決此類(lèi)數(shù)陣問(wèn)題時(shí)，通常利用歸納推理，其步驟如下明確各行、各列數(shù)的排列順序；分別歸納各行、各列中數(shù)的規(guī)律；按歸納出的規(guī)律寫(xiě)出第n行第m個(gè)數(shù).解決此類(lèi)問(wèn)題一般需要轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和

10、等. 1設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，的面積為s，內(nèi)切圓半徑為r，則，類(lèi)比這個(gè)結(jié)論可知，四面體sabc的四個(gè)面的面積分別為s1、s2、s3、s4，內(nèi)切球半徑為r，四面體sabc的體積為v，則r等于 a b c d 2將棱長(zhǎng)相等的正方體按圖示的形狀擺放，從上往下依次為第1層，第2層， ，則第2層正方體的個(gè)數(shù)是 a42 b44 c21 d22 考向二 演繹推理 （1）演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略. （2）演繹推理的結(jié)論是否正確，取決于該推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正確，因此，分析推理中

11、的錯(cuò)因?qū)嵸|(zhì)就是判斷大前提、小前提和推理形式是否正確. 典例3 有一段“三段論”，推理是這樣的對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么是函數(shù)的極值點(diǎn)因?yàn)樵谔幍膶?dǎo)數(shù)值，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)以上推理中 a大前提錯(cuò)誤 b小前提錯(cuò)誤 c推理形式錯(cuò)誤 d結(jié)論正確 【答案】a 【解析】因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以大前提錯(cuò)誤. 故選a 典例4 甲、乙、丙三人中，一人是教師、一人是記者、一人是醫(yī)生.已知丙的年齡比醫(yī)生大；甲的年齡和記者不同；記者的年齡比乙小.根據(jù)以上情況，下列判斷正確的是 a甲是教師，乙是醫(yī)生，丙是記者 b甲是醫(yī)生，乙是記者，丙是教師 c甲是醫(yī)生，乙是教師，丙是記者 d甲是記者，乙是醫(yī)生

12、，丙是教師 【答案】c 【解析】由甲的年齡和記者不同和記者的年齡比乙小可以推得丙是記者，再由丙的年齡比醫(yī)生大，可知甲是醫(yī)生，故乙是教師. 故選c. 3有一段演繹推理“對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)；已知是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?a大前提錯(cuò)誤 b小前提錯(cuò)誤 c推理形式錯(cuò)誤 d非以上錯(cuò)誤 4有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說(shuō)“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說(shuō)“我獲獎(jiǎng)了”，丁說(shuō)“是乙獲獎(jiǎng)了”.四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是 考向三 直接證明 利用綜合法、分析法證明問(wèn)題的策略（1）綜合法的證明步驟如下分析條件，選擇方向確定

13、已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理等；轉(zhuǎn)化條件，組織過(guò)程將條件合理轉(zhuǎn)化，書(shū)寫(xiě)出嚴(yán)密的證明過(guò)程.特別地，根據(jù)題目特點(diǎn)選取合適的證法可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程. （2）分析法的證明過(guò)程是確定結(jié)論與已知條件間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直到獲得一個(gè)顯而易見(jiàn)的命題即可. （3）實(shí)際解題時(shí)，用分析法思考問(wèn)題，尋找解題途徑，用綜合法書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程，或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“已知”(分析)，從“已知”推“可知”(綜合)，雙管齊下，兩面夾擊，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑. 典例5 已知，求證. 【答案】見(jiàn)解析. 【解析】要證， 即，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立 ￥%

14、網(wǎng) 【名師點(diǎn)睛】逆向思考是用分析法證明的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵 證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證. 5（1）設(shè)，用綜合法證明；（2）用分析法證明. 考向四 間接證明 1用反證法證明不等式要把握的三點(diǎn) （1）必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面 （2）必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證. （3）推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾

15、必須是明顯的. 2反證法的一般步驟 用反證法證明命題時(shí)，要從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)出邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程包括下面三個(gè)步驟 （1）反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真； （2）歸謬由“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，得出矛盾； （3）存真由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯(cuò)誤，從而肯定原結(jié)論成立. 即反證法的證明過(guò)程可以概括為反設(shè)歸謬存真. 典例6 用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是 a自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) b自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) c自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù) d自然數(shù)a，b

16、，c都是偶數(shù) 【答案】b 【解析】“恰有一個(gè)偶數(shù)”的反面應(yīng)是“至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”，故選b. 【名師點(diǎn)睛】反證法證明含“至少”、“至多”型命題時(shí)，可減少討論情況，目標(biāo)明確.否定結(jié)論時(shí)需弄清楚結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.需注意“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)都沒(méi)有”，“至多有一個(gè)”的否定為“至少有兩個(gè)”. 典例7 若a,b,c均為實(shí)數(shù)，.求證a，b，c中至少有一個(gè)大于. 【答案】見(jiàn)解析. 【解析】設(shè)a、b、c都小于或等于，即a，b，c， abc， 而abc（x22x）（y24y）（z22z）（x1）2（y2）2（z1）26， 這與假設(shè)矛盾，即原命題成立. 【名師點(diǎn)睛】用反證法，假設(shè)都小于或

17、等于，推出的值大于,出現(xiàn)矛盾，從而得到假設(shè)不正確，命題得證.反證法的適用范圍（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無(wú)限”、“唯一”等詞語(yǔ)的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少 6設(shè)是公比為q的等比數(shù)列 （1）推導(dǎo)的前n項(xiàng)和公式；（2）設(shè)q1，證明數(shù)列不是等比數(shù)列 考向五 數(shù)學(xué)歸納法 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的常見(jiàn)策略（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，由n=k到n=k1時(shí)等式兩邊變化的項(xiàng) （2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，關(guān)鍵是由n=k成立證n=k1時(shí)也成

18、立在歸納假設(shè)后應(yīng)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等加以證明，充分應(yīng)用不等式的性質(zhì)及放縮技巧 （3）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決“歸納猜想證明”，是不完全歸納與數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再證明結(jié)論的正確性. 典例8 用數(shù)學(xué)歸納法證明+時(shí)，由k到k+1，不等式左邊的變化是 a增加項(xiàng) b增加和兩項(xiàng) c增加和兩項(xiàng)同時(shí)減少項(xiàng) d以上結(jié)論都不對(duì) 【答案】c 【解析】n=k時(shí)，左邊=+；n=k+1時(shí)，左邊， 由“n=k”變成“n=k+1”時(shí)，不等式左邊的變化是+. 7已知數(shù)列的前n項(xiàng)和 （1）計(jì)算，；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論 1由安夢(mèng)怡是高三（21）班的學(xué)生，安夢(mèng)怡是

19、獨(dú)生子女，高三（21）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女.寫(xiě)一個(gè)“三段論”形式的推理，則大前提、小前提和結(jié)論分別為 a b c d 2用反證法證明命題“若，則全為”，其反設(shè)正確的是 a至少有一個(gè)不為 b至少有一個(gè)為 c全不為 d中只有一個(gè)為 3有一段演繹推理是這樣的“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?a大前提錯(cuò)誤 b小前提錯(cuò)誤 c推理形式錯(cuò)誤 d非以上錯(cuò)誤 4若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列（）也是等差數(shù)列，類(lèi)比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列是等比數(shù)列，且也是等比數(shù)列，則的表達(dá)式應(yīng)為 a b c d 5有一個(gè)奇數(shù)列1，3，5，7，9，現(xiàn)進(jìn)行

20、如下分組第1組為，第2組為；第3組為；試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與該組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系為 a b c d 6袋子里有編號(hào)為的五個(gè)球，某位教師從袋中任取兩個(gè)不同的球教師把所取兩球編號(hào)的和只告訴甲，其乘積只告訴乙，讓甲、乙分別推斷這兩個(gè)球的編號(hào) 甲說(shuō)“我無(wú)法確定.” 乙說(shuō)“我也無(wú)法確定.” 甲聽(tīng)完乙的回答以后，甲又說(shuō)“我可以確定了.” 根據(jù)以上信息，你可以推斷出抽取的兩球中 a一定有3號(hào)球 b一定沒(méi)有3號(hào)球 c可能有5號(hào)球 d可能有6號(hào)球 7我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)的論割圓術(shù)中有“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣.”它體現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程.比如在表達(dá)式中“.”

21、即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過(guò)方程求得，類(lèi)似上述過(guò)程，則 a b3 c6 d 8如圖，第1個(gè)圖形由正三角形擴(kuò)展而成，共12個(gè)頂點(diǎn).第n個(gè)圖形是由正n+2邊形擴(kuò)展而來(lái)，則第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是 a(2n+1)(2n+2) b3(2n+2) c2n(5n+1) d(n+2)(n+3) 9在一次連環(huán)交通事故中，只有一個(gè)人需要負(fù)主要責(zé)任，但在警察詢(xún)問(wèn)時(shí)，甲說(shuō)“主要責(zé)任在乙”；乙說(shuō)“丙應(yīng)負(fù)主要責(zé)任”；丙說(shuō)“甲說(shuō)的對(duì)”；丁說(shuō)“反正我沒(méi)有責(zé)任”，四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，則該事故中需要負(fù)主要責(zé)任的人是 a丁 b乙 c丙 d甲 1圖一是美麗的“勾股樹(shù)”，它是分別以一個(gè)直角三角形的每一邊向外作

22、正方形而得到的.圖二是第1代“勾股樹(shù)”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹(shù)”，以此類(lèi)推，已知最大的正方形面積為1，則第代“勾股樹(shù)”所有正方形的面積的和為 a b c d 11用數(shù)學(xué)歸納法證明“，”，則當(dāng)時(shí)，應(yīng)當(dāng)在時(shí)對(duì)應(yīng)的等式的左邊加上 a b c d 12給出下列等式 由以上等式可推出一個(gè)一般結(jié)論對(duì)于，_ 13已知函數(shù)，. （1）用分析法證明；（2）證明. 14設(shè)數(shù)列an滿足a1=，. （1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=(3n+1)an，證明數(shù)列cn中任意三項(xiàng)不可能構(gòu)成等差數(shù)列. 15已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) （1）求函數(shù)f (x)=1

23、xex的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大小；（2）計(jì)算，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明. 1(217年高考新課標(biāo)ii卷)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)老師說(shuō)你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)看后甲對(duì)大家說(shuō)我還是不知道我的成績(jī)根據(jù)以上信息，則 a乙可以知道四人的成績(jī) b丁可以知道四人的成績(jī) c乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) d乙、丁可以知道自己的成績(jī) 2（217年高考北京卷）袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入

24、丙盒.重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則 a乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 b乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 c乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 d乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 3(216年高考新課標(biāo)ii卷)有三張卡片，分別寫(xiě)有1和2，1和3，2和甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 . 4(215年高考山東卷)觀察下列各式； 照此規(guī)律，當(dāng)時(shí)， . 5(215年高考湖南卷)設(shè)a，b，且.證明（1）；（2）與不可能同時(shí)成立. 變式拓展 1【答

25、案】c 【規(guī)律總結(jié)】類(lèi)比推理的一般模式為a類(lèi)事物具有性質(zhì)a，b，c，d，b類(lèi)事物具有性質(zhì)a，b，c(a，b，c分別與a，b，c相似或相同)，所以b類(lèi)事物可能具有性質(zhì)d(d與d相似或相同). 2【答案】c 【解析】觀察可得，第1層正方體的個(gè)數(shù)為1，第2層正方體的個(gè)數(shù)為3，比第1層多2個(gè)， 第3層正方體的個(gè)數(shù)為6，比第2層多3個(gè)；， 可得，每一層比上一層多的個(gè)數(shù)依次為2, 3, 4, 5, 故第2層的正方體個(gè)數(shù)為. 故選c. 【點(diǎn)睛】觀察相鄰兩層正方體個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，利用等差數(shù)列求和公式求解即可.歸納推理的一般步驟: 一、通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一

26、個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）. 常見(jiàn)的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類(lèi)(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納. 學(xué)% 3【答案】a 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查“三段論”的定義以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于簡(jiǎn)單題.由的范圍不確定可得，對(duì)數(shù)函數(shù)且是增函數(shù)這個(gè)大前提是錯(cuò)誤的. 4【答案】丙 【解析】若甲是獲獎(jiǎng)歌手，則四句全是假話，不合題意；若乙是獲獎(jiǎng)歌手，則甲、乙、丁都是真話，丙說(shuō)假話，不合題意；

27、若丁是獲獎(jiǎng)歌手，則甲、丁、丙都說(shuō)假話，乙說(shuō)真話，不合題意；當(dāng)丙是獲獎(jiǎng)歌手時(shí)，甲、丙說(shuō)了真話，乙、丁說(shuō)了假話，符合題意. 故答案為丙. 5【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析. 【解析】（1）， 而， ， . （2）要證， 只需證， 即證， 只需證， 即， 而顯然成立， 故原不等式得證. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了證明方法中的綜合法及分析法，屬于中檔題.用分析法證明問(wèn)題時(shí)，注意證明的格式，是從結(jié)論出發(fā)尋求結(jié)論成立的條件. （1）根據(jù)題目可采用作差法求證；（2）用分析法，采用平方的方法可證明. 6【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析. a1， . q， ， q=1，這與已知矛盾 假設(shè)不成立，故不是等比數(shù)

28、列 學(xué)￥% 7【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)數(shù)列與自然數(shù)集n相關(guān)性質(zhì)，其步驟為設(shè)p（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，先驗(yàn)證p（n）在n=1時(shí)成立；然后在p（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下，若可推出p（k+1）成立，則p（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立. （1）從n=1依次代入sn與an的關(guān)系式，即可求出a1，a2，a3，a4；（2）由a1，a2，a3，a4的值與n的關(guān)系，歸納推理出數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明. 考點(diǎn)沖關(guān) 1【答案】b 【解析】因?yàn)楦呷?1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女，而且安夢(mèng)怡是高三（21）班得學(xué)生，所以安夢(mèng)怡是獨(dú)生子

29、女. 故選b. 【名師點(diǎn)睛】由三段論的一般模式，可得結(jié)論.三段論是演繹推理的一般模式（1）大前提已知的一般原理；（2）小前提所研究的特殊情況；（3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷. 2【答案】a 【解析】由反證法的定義證明命題“若，則全為”，其反設(shè)為至少有一個(gè)不為. 本題選擇a選項(xiàng). 3【答案】a 【名師點(diǎn)睛】（1）歸納推理和演繹推理會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是由合情推理的性質(zhì)決定的，但演繹推理出現(xiàn)錯(cuò)誤，有三種可能，一種是大前提錯(cuò)誤，第二種是小前提錯(cuò)誤，第三種是邏輯結(jié)構(gòu)錯(cuò)誤 （2）在使用三段論推理證明中，如果命題是錯(cuò)誤的，則可能是“大前提”錯(cuò)誤，也可能是“小前提”錯(cuò)誤，也可能是邏輯錯(cuò)誤.仔細(xì)分析

30、“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的推理過(guò)程，不難得到結(jié)論 4【答案】d 【解析】數(shù)列是等差數(shù)列，且也為等差數(shù)列，正項(xiàng)數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為， 是等比數(shù)列. 故選d. 5【答案】b 【解析】由題意可得，第一組數(shù)字之和為；第二組數(shù)字之和為；第三組數(shù)字之和為，依次類(lèi)推，按照規(guī)律，歸納可得，第組數(shù)字之和為. 故選b. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，對(duì)于合情推理主要包括歸納推理和類(lèi)比推理.數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合乎情理”

31、的推理，它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).由題意可得，第一組數(shù)字之和為；第二組數(shù)字之和為；第三組數(shù)字之和為，觀察規(guī)律，歸納可得，第組數(shù)字之和與其組的編號(hào)數(shù)之間的關(guān)系. 6【答案】d 【名師點(diǎn)睛】本題是一道通俗易懂的合情推理題目，主要考查同學(xué)們的邏輯思維能力和推理能力，問(wèn)題難度不大，認(rèn)真審題是關(guān)鍵. 學(xué)#￥ 7【答案】a 【解析】由已知代數(shù)式的求值方法先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），可得要求的式子，令，則兩邊平方得，得，即，解得（舍去）. 故選a. 8【答案】d 【解析】由已知中的圖形我們可以得到當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)共有（個(gè)）， 時(shí)，頂點(diǎn)共有

32、（個(gè)）， 時(shí)，頂點(diǎn)共有（個(gè)）， 時(shí)，頂點(diǎn)共有（個(gè)）， 由此我們可以推斷第個(gè)圖形共有頂點(diǎn)個(gè). 故選d. 【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，解答的關(guān)鍵是先通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；然后從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題或猜想由已知圖形中，我們可以列出頂點(diǎn)個(gè)數(shù)與多邊形邊數(shù)，然后分析其中的變化規(guī)律，然后用歸納推理可以推斷出一個(gè)一般性的結(jié)論. 9【答案】d 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，以實(shí)際問(wèn)題為背景考查了邏輯推理，屬于中檔題.解題時(shí)正確使用反證法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.利用反證法，可推導(dǎo)出丁說(shuō)的是真話，甲、乙、丙三人說(shuō)的均為假話，進(jìn)而得到答案. 1【答案】d 【解析】

33、最大的正方形面積為1，當(dāng)n=1時(shí)，由勾股定理知正方形面積的和為2，依次類(lèi)推，可得所有正方形面積的和為. 故選d. 11【答案】a 【解析】當(dāng)n=k 時(shí)，左邊為， 當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊為， 所以左邊增加的項(xiàng)為， 故選a. 12【答案】 【解析】由已知中的等式【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，歸納推理的一般步驟是（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；￥%網(wǎng) （2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想） 由已知中的三個(gè)式子，我們分析等式左邊每一個(gè)累加項(xiàng)的變化趨勢(shì)，可以歸納出其通項(xiàng)為，分析等式右邊的式子，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)式了均為兩項(xiàng)差的形式，且被減數(shù)均為1，減數(shù)為，由此即可得到結(jié)論 13【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析. 【解析】（1）由，得， 要證， 只需證， 只需證， 只需證， 因?yàn)楹愠闪ⅲ?所以成立. （2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 又， 所以由（1）得. 【思路點(diǎn)撥】（1）要證原不等式成立，先將函數(shù)的表達(dá)式代入原不等式，兩邊乘以，可以得到一個(gè)顯然成立的結(jié)論，由此證得原不等式成立. （2）利用（1）的結(jié)論，將（1）右邊的二次函數(shù)配方，求出其最小值，由此可證得，而，由此可得. 14【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）見(jiàn)解析. . （2）由（1）得，cn=(3n+1)an=3n1， （反證法）假設(shè)存在正整數(shù)l，m，n且1lmn，使得cl