高數(shù)競賽練習

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.高數(shù)競賽練習試卷(一)1,1 +telim T 7 21te-arcta n-求極限兀t。tan(sin x)-sin(tan x) lim求極限 tT0tan X sin X設f(x)具有二階連續(xù)導數(shù)，且ofWZf(o)=f(o)= 0 t是曲線 y=f(x)上點 xf(t)lim求 Ttf(x)。(X, f(x)處的切線在X軸的截距，設 f(x)在0,址)二階可導，且 f(0) = 1f(0) 1( X() f x( ),x：(.求證： f (X) ex。231 y(Jdx + J ydx + J y dx + J y dx ) f 已知tanx2F(x

2、)=f f (tx2)dt 設，其中3Txln(sin x)dx計算0。4 dx = 11-y4,求X _ f (y)的表達式。f(X)為連續(xù)函數(shù)，求F(X)，并討論F (X)的連續(xù)性。fb1I(0)t珂與直線y=f(1)及設f(X)連續(xù)可導，證明： 設非負函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，且單調(diào)上升，x=t圍成圖形的面積為S(t)，y = f(x)與直線y=f(o)及x=t圍成圖形的面積為 S2(t)證明：存在唯一的(,1),使得5(0 2(。t取何值時兩部分面積之和取最小值？10.求函數(shù)豹=xyz + 7x2 +在平面兀：x-yy F -恵在點Pg-1 )處沿直線 + 2zT=0上的投影直線1方

3、向的方向?qū)?shù)。1 ZZ 畤rV,證明級數(shù)心mm +n收斂.J f (y)cos X 兀 y dx +f(y)sinx-ldyACBL： 112. 計算曲線積分AL，2)與點B(3兀，4)的線段AB之下方的任意路線，且該路線與線段 的面積為1， f(x)是連續(xù)可導的函數(shù).13. 設 f(x),g(x)可微，且 z = yf(xy)dx +xg(xy)dy. 若存在 u，使 du =z，求 f(x)-g(x)； 若 f(x) =F(x)，求 u，使 z=du .，其中ACB為連結(jié)點AB所圍圖形14.設r廠(1)=3f(u)在H,咫)上有連續(xù)的二階導數(shù)，彳二一1 ,2，且函數(shù)2 2 2 2 =(x

4、+y + z )f (X2+z）滿足：2exCO+ 2cz=0,求 f(u)）上的最小值。15.已知當 x0時，2(1+x) f (于(1、n 4 ln 丿(+1 xx)gx) f (x)有1L-Z g !- 41oI = JJ 2 f （ X, y, z） X d yd z （16.計算 If （0） =g（0）=0，證明:f, xd z3x ( 3f , x) y z其 丿、f（ X, y,為連續(xù)函數(shù)，工為平面x+y-z+5=0在第川象限部分的上側(cè)。高數(shù)競賽練習試卷（二）Xnx lim（焉 H Xn） =0Pm=0一.已知數(shù)列，滿足n書 ），證明：n* na =0- ，且b H 0，求常數(shù)

5、 mf（x） sinx三. 設 f（x）在（一1,1）內(nèi)有 f （X） 0，且 Tf （X） 3xX-2四. 試問：方程e2=x（x -3）總共有幾個實根.一、01lim Jf f （xdx五. 設函數(shù)f（x）在1連續(xù)且非負，證明fVO六. 設函數(shù)f（X）在1,2 上連續(xù)，在（h 2內(nèi)可微，且廠（X ）H 0lirntan(tanx) -sin(sin x) -btanz(sinx) 二.設巴I7=2,證明在理 f（x）a, b（一1,11內(nèi)有證明存在,*（1,2 使得：2七.設D是曲線y=2x X與九.十.D1和D2兩D1的周長以x軸圍成的平面圖形，直線把D分成 部分，若D1的面積S與D2的

6、面積S之比S = S2二1 = 7，求平面圖形 及D1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.-be設shx shy h，計算積分J。ydx.c f（x）=送 jnx2e*x求函數(shù)nrn的定義域，并證明f（X）在定義域內(nèi)有界.設L：x=x（t）, y = y（t）（ 00中任意光滑閉曲面,（r =Jx2+y2+z2）x2+y2= 23(0,0)S圍成區(qū)域有連續(xù)的d xH仃 Jx# 芝 d zy-弟，求（r）其中L是包圍原點函數(shù)u數(shù)滿足1 1 1十五.計算 VVf0f(y,z)g(z,x)dxdydzrif(y，z)冷 0 其中I0rig(z，xto(y,z)迂 D1(y,z)D1D1：0y1,0z1,

7、 y-z(Z,瀘 Di(Z, X)誌 Di14D2 :0x1,0z1, zx| !4高數(shù)競賽練習試卷（三）、填空題1、已知f（x）在（一X +a乜）內(nèi)可導，且xm）2JT1) a =2、3、設函數(shù)y =y（x）是由x+ y-3axy = 0（ a。）確定，則x取x設圓錐面的頂點在原點，且三個坐標軸的正半軸都在其上，則圓錐面的方程為 O4、已知y“ +（x+e y）（y） =0，則方程的通解為 c送Un5、 已知級數(shù)n的一般項Un與前n項的和Sn有如下關系:22Sn 2u nSn un （ n 工2 ）且 5=2C nf(X)= S 務6、設n#n ( 0xW1)，則 f(X)+ f(1x) +

8、 lnx dn(1x)=7、z = Jx2 +y2 -2x-4y+9 +Jx2 +y2 -6x + 2y+118 、設C是由z=xy , x+y + z = 1與z = 0圍成的區(qū)域，則二、設函數(shù)f (x)滿足fi，且對X二1時，有l(wèi)im f (x)lim f (x) 2n(n+1)四、證明：內(nèi)切于一給定正方形的所有橢圓中，以圓的周長為最大。2兀u = f f (r cos,r sin9) d9-o，且五、設f(x，y)有二階連續(xù)偏導數(shù)，22 兀 Cd uf(rcos0,rsin 0)d0 crdr02兀點2cr2f (rcos日，rsi n&)d+ fi2 =dr2 dr的值。z= (x2七

9、、rf(x)在口，+處)上有連續(xù)的二階導數(shù),-2 r-2C Z C z c += 0 2、八2.2、-2-2U)f(X + y)滿足孤 今5=0，且二元函數(shù)f(x)在1, +切的fj yz(y - z)dydz + xz(z - x)dzdx + xy(x - y) dxdy 計算曲面積分 I，求其中：E是曲面z = J4Rx-x2r八、設區(qū)域D為x61165,3,2 ,2._y2(x-)+ y =1y ( R呂1)在柱面 2之內(nèi)部分的上側(cè)。-1，證明蘭 JJsin(x2 +y2)3dxdy 蘭2 n5an 二嚴(0)總 an+n!，證明級數(shù) 0ana2收斂，并求其和。f(X)=2九、設1 -

10、X-Xf Jx2 + y2dx + yxy+1 n(x + Jx2 + y2) dy十、計算曲線積分其中L是曲線 y = Jx +1 從點 A(1,2)到點 C1)的部分。出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之 臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報之于陛下也。誠宜開張圣聽, 以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論 其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費祎、董允等，此皆良實，志慮忠純，是以先帝

11、簡拔以遺陛下: 愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補闕漏，有所廣益。能”，是以眾議舉寵為將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰 督：愚以為營中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在 時，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書、長史、參軍，此悉貞良死 節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計日而待也臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自 枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受 任于敗軍之際，奉命于危難之間，爾來二十有一年矣。先帝知臣謹慎，故臨崩寄臣以大事也。受命以來，夙夜憂嘆，恐托付不效，以傷先帝 之明；故五月渡瀘，深入不毛。今南方已定，兵甲已