高校自主招生數(shù)學(xué)講義集合與函數(shù)

1、備考 985 高校自主招生數(shù)學(xué)講義第一講 .方程與多項(xiàng)式知識(shí)要求1.因式分解方法2.待定系數(shù)方法3對(duì)稱參引方法4.構(gòu)造方法例題分析1. 解不等式 (x1)(x 2)( x3)( x4)24.（ 2009 年南京大學(xué)）2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程4 10+ x4 7x3.（ 2005 年復(fù)旦大學(xué)保送生試題）相關(guān)習(xí)題（1） .已知 xy1， n 為正整數(shù)，求證： x2ny2n21 2 n.（ 2009 年清華大學(xué)）（2）已知 a 、 b 為非負(fù)實(shí)數(shù)， Ma4b4 ，且 ab1，求 M 的最值 .（ 2006 年清華大學(xué)）3.設(shè)實(shí)數(shù) k9 ，解方程 x32kx2k 2 x9k 270.（ 2006 年復(fù)旦

2、大學(xué)保送生）相關(guān)習(xí)題（1） .已知方程 x3px2qx10 有 3個(gè)實(shí)根， p0 且 q0 .求證： pq 9.（ 2008 年南開大學(xué)）（2） .設(shè) a,b,cR ，使得方程 x3ax 2bx c0有 3個(gè)實(shí)根 .證明：如果2ab c0，則至少存在一個(gè)根在區(qū)間0,2中 .（2013 年清華大學(xué)夏令營）4.已知方程 x3ax 2bxc0 的三個(gè)根分別為a ， b ， c ，并且 a, ， b ， c 是不全為零的有理數(shù)，求 a ， b ， c 的值 .（ 2005 年上海交通大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1） .是否存在實(shí)數(shù)x ，使得 tan x3 和 cot x3 均為有理數(shù)？（ 2009 年北京大學(xué)）（

3、2）請(qǐng)證明2是一個(gè)無理數(shù) .（ 2008 年復(fù)旦大學(xué)面試）5.設(shè)實(shí)數(shù) a1、 a2、 a3 、 b1 、 b2 、 b3 滿足1備考 985 高校自主招生數(shù)學(xué)講義a1 a2a3b1b2b3 ,a1a2a2a3a3 a1b1b2b2b3b3b1,min a1, a2 ,a3min b1,b2 ,b3.求證： max a1 , a2 , a3 maxb1 , b2 ,b3 .（ 2008 年北京大學(xué)）6.（ 1）證明：多項(xiàng)式 p(x)x33x 1有三個(gè)實(shí)根 a bc ；（2）證明：若 xt 為 p(x) 的一個(gè)根，則 xt22 也是 p(x) 的一個(gè)根；（3）定義映射f: a,b,c a, b,c

4、 ， tt22 ，求 f (a) ， f (b) ， f (c) 的值 .（2013 年清華大學(xué)金秋營）7.給出一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式f ( x)an xnan 1 xn1a1xa0 ，使 f (x) 0 有一個(gè)根為3 32 （ 2009 年清華大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）.已知 x1999是函數(shù) f ( x)x4bx 2c 的一個(gè)零點(diǎn)， b,c 為整數(shù)，則 bc 的值是多少？（ 2013 年清華大學(xué)夏令營）（2） .以2 和 13 2 為兩根的有理系數(shù)一元n 次方程的最高次數(shù) n 的最小值為（）A.2B.3C.5D.6（ 2013 年北約）第二講數(shù)學(xué)邏輯2備考 985 高校自主招生數(shù)學(xué)講義知識(shí)要求1.反證

5、法2.數(shù)形結(jié)合方法3.不動(dòng)點(diǎn)問題例題分析1. 是否存在四個(gè)正實(shí)數(shù)，它們兩兩乘積分別為2， 3， 5，6， 10， 16.（ 2011 年北約十三校聯(lián)考）相關(guān)習(xí)題（1） .是否存在 0x，使得 sin x ， cosx ， tanx cot x 的某種排列為等差數(shù)列？2（ 2010年北約）（ 2 ）是否存在兩兩不同的實(shí)數(shù)a, b,c 使平面直角坐標(biāo)系中的三條直線yax b ，y bxc ， ycx a 共點(diǎn) .（ 2013 年北京大學(xué)保送生）2.已知由正整數(shù)組成的無窮等差數(shù)列中有3 項(xiàng)： 13， 25， 41，求證： 2009 為其中一項(xiàng) .（ 2009 年北京大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）.已 知 a1

6、, a2 , a3 , a1為0大 于 零 的 正 實(shí) 數(shù) ， 且 a1a2a3a10 30 ，a1a2 a3a1021.求證： a1, a2 , a3, a10 這 10 個(gè)數(shù)是必有一個(gè)數(shù)在(0,1) 之間 .（2012 年北京大學(xué)保送生）（ 2 ） 已 知 正 數(shù) 數(shù) 列 a1, a2 ,an . 對(duì) 于 大 于 的 整 數(shù) n ， 有 a1a2an3 n ，n12，試證： a1, a2, an 中至少有一個(gè)小于 1.（ 2000 年上海交通大學(xué)）a1a2 an2（3）已知 ai （ i1,2,2013 ）為 2013個(gè)實(shí)數(shù)，滿足：a1a2a20130 ，且 | a12a2 | | a2

7、2a3 | a20132a1 | ，求證： a1a2a20130.（ 2013年北約）3.至多能取多少個(gè)兩兩不同的正整數(shù)，使得其中任意三個(gè)數(shù)的和為質(zhì)數(shù)？證明你的結(jié)論.（2013 年北約）相關(guān)習(xí)題（1）在 1、 2、 3、 、 2012 中任取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，則所取的3備考 985 高校自主招生數(shù)學(xué)講義這組數(shù)中最多有多少個(gè)數(shù)？（2012 年北約）（2）寫出由 3 個(gè)質(zhì)數(shù)組成的公差為8 的等差數(shù)列 .（ 2009 年清華大學(xué)）4. 有限多條拋物線（線和線的內(nèi)部）能夠覆蓋整個(gè)平面嗎？證明你的結(jié)論.（ 2009 年清華大學(xué)特色測試）5. 設(shè) p ， q 為實(shí)數(shù)，函數(shù)f ( x)

8、x2pxq ，如果f ( f ( x) 0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求證： p ， q 0.（ 2011 年北京大學(xué)保送生試題）相關(guān)習(xí)題（1）. 已知函數(shù) f (x)ax2bxc(a0) ，且 f ( x) x 沒有實(shí)數(shù)根 .那么 f ( f ( x) x 是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論 .（ 2008 年上海交通大學(xué)冬令營）（2） .證明：若 f ( f (x) 有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則f ( x) 也有唯一的不動(dòng)點(diǎn) .（ 2009年上海交通大學(xué)）6.已知方程f (x)x 的根是函數(shù)f (x) 的不動(dòng)點(diǎn)，令f ( x)bxc .xa（1）若 1 ， 3 為函數(shù) f ( x) 的不動(dòng)點(diǎn)，求 a ， b ， c

9、的值；21（2）在（ 1）的條件下，若f (1)，求 f ( x) 的解析式 .（ 2003 年同濟(jì)大學(xué)）3相關(guān)習(xí)題（1） .已知 a 、 、c 、 為非負(fù)實(shí)數(shù)，f( x)axb( x R ) ，且 f 19)( 19， f (97) 97 ，bdcxdd，對(duì)任意的 x 均有 f ( f ( x)x ，試求出f ( x) 值域以外的唯一數(shù) .若 xc（2013 年清華大學(xué)夏令營）7.求證：一個(gè)數(shù)列a1, a2 , a3 , a2 n 1 中各數(shù)相等的充分必要條件是p ：其中任意 2n 個(gè)元素中 n 個(gè)元素之和等于另外n 個(gè)元素之和 .（2009 年清華大學(xué)）第三講集合與函數(shù)4備考 985 高校

10、自主招生數(shù)學(xué)講義知識(shí)要求1.注重理解集合的基礎(chǔ)知識(shí)2.掌握柯西方法及柯西方程的轉(zhuǎn)化3.注意函數(shù)性質(zhì)拓展與深化，注意導(dǎo)數(shù)工具的作用4.了解極限的概念典型例題1.已知集合 A ( x, y) (x 1)2 ( y2)25 ，集合 B( x, y) | x 1|2| y2| a ，4且 A B ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .（2008 年浙江大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）已知集合 M ( x, y) | x( x1)y(1 y) ， N( x, y) | x2y2k .若 MN ，則實(shí)數(shù) k 的最小值為（ 2009 年上海交通大學(xué)）2. 設(shè) M x | f ( x)x ， N x | f ( f (x)x.（1

11、）求證： MN.（2）當(dāng) f ( x) 是一個(gè) R 上增函數(shù)時(shí)，是否有MN ?如果有，請(qǐng)證明.（ 2010 年浙江大學(xué)）3. 求有限集合 A a1 , a2, , an ， 其 中 a1, a2 , , an 為 互 不 相 等 的 正 整 數(shù) ， 使 得a1a 2 ana 1a 2an .（ 2009 年上海交通大學(xué)、 2006 年清華大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）求所有滿足 tan A tan B tan Ctan Atan B tan C 的非直角 ABC .這里 x 表示不大于 x 的最大整數(shù)（例如 1.62 ， 1.6 1）.（2009 年南京大學(xué)保送生）（2）方程 1111的所有正整數(shù)解 (

12、x, y, z)xyz（ 2012 年清華大學(xué)保送生） （ 2003 年上海交通大學(xué)冬令營）4. 對(duì)于集合MR2 ， 稱 M 為 開 集 ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) P0 M ， r 0 ， 使 得5備考 985 高校自主招生數(shù)學(xué)講義 P R2 | PP0 | rM . 判斷集合 ( x, y) 4 x 2 y 50 與 ( x, y) x0, y0 是否為開集，并證明你的結(jié)論 .（ 2007 年清華大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（ 1） . 稱 1,2,3 ， ，9 的某些非空子集為奇子集，如果其中所有數(shù)的和為奇數(shù)；則共有多少個(gè)奇子集？（2013 年北京大學(xué)保送生）5. 已知當(dāng)1時(shí)，函數(shù) yx （0 ）的圖象如圖所

13、示 .（1）設(shè)1，試用 yx（0）說明，當(dāng) x0 ， x20 時(shí)，不1等式 ( x1x2 )x1x21成立 .y22（2）利用（ 1）中不等式證明：若0st ，則對(duì)任意的正數(shù)x1 、 x2 ，ss 1tt1不等式 ( x1x2 ) s( x1x2 ) t2成立 .22Ox33(第 5題圖 )16 時(shí)，求 x2y2 的最小值 .（3）當(dāng) x0 、 y0且 x2y2（ 2010 年華中師范大學(xué)）6. （柯西方程）設(shè)f (x) 在上單調(diào)，對(duì) x1 , x2 R 有 f (x1x2 )f ( x1 )f (x2 )R1則 f ( x) f (1) x.相關(guān)習(xí)題（1）. 若函數(shù) f ( x) 滿足 f

14、(x y)f ( x)f ( y)xy( xy) 且 f (0)1，求函數(shù) f ( x) 的解析式 .（ 2000年上海交通大學(xué)）（ 2 ） 若對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)x， y ，函數(shù)f ( x) 滿足 f ( xy)f ( x)f ( y)xy 1，若f ( 2)2f (a)a的所有整數(shù)a.（2013年清華大學(xué)夏令營），試求滿足7.已知函數(shù) f (x) 滿足：對(duì)實(shí)數(shù) a ， b 有 f ( ab) af (b)bf ( a) ，且 |f (x) |1，求證： f ( x) 0 .（可用以下結(jié)論：若lim g(x)0 ， | f ( x) |M ， M 為一常數(shù)，那么limf ( x) g( x) 0 ）

15、xx（ 2006 年清華大學(xué)）6備考 985 高校自主招生數(shù)學(xué)講義相關(guān)習(xí)題（1）.設(shè)f (x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y滿 足 ：222f ( x y)x f( y)， 且y (f )x ( x)y| f ( x )2|1求.函數(shù) f (x).（ 2007 年南京大學(xué)）x（2）求所有的f : N*N* ，滿足 xf ( y)yf (x)( x y) f (x2y2 ) 對(duì)所有的正整數(shù)x ，y 都成立 .（ 2013 年中國科技大學(xué)夏令營）8.方程 ex4x ， ln x4x 的解分別為 x1 ， x2 ，則 x1x2（）A.2B.4C.6D.8（ 2013 年復(fù)旦大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（ 1）實(shí)數(shù) a ， b

16、滿足 alg a10 ， b10b10 ，則 ab_（ 2009年上海交通大學(xué)）9.（ 1）已知函數(shù)f (x) 不恒為 0，且對(duì)x, yR ，有 f ( xy)f ( xy) 2 f ( x) f ( y) ，若存在常數(shù) T ，使得 f (T )0. 求證： 4T 是 f ( x) 的一個(gè)周期，且1f ( x) 1.（ 2013年華東師范大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（ 1 ）已知函數(shù)f (x) 滿足f (1)1f (xy)f ( xy)(x, yR) ，則， 4 f ( x) f ( y)4f (2010)（ 2010 年高考重慶卷）（2）定義在 R 上的函數(shù) f ( x) 滿足 f ( xy)f ( x)

17、f ( y)2xy（ x, yR ），且 f (1)2 ，則 f (3)（）A.2B.3C.6D.9（ 2008 年陜西卷）10. 已知函數(shù) f (x) 在 0,) 上可導(dǎo)，且滿足f (0)0， | f (x)f ( x) | 1.證明：當(dāng) x0,) 時(shí)， | f ( x) |ex1.(2012 山東大學(xué) )11. （1）設(shè)函數(shù) f (x)| lg x |, a, b 為實(shí)數(shù)，且0ab ，若 a, b 滿足：f (a)f (b)2 f ( ab) ，試寫出a 與 b 的關(guān)系，并證明在這一類關(guān)系中存在b 滿足3 b4.2（ 2002 上海交通大學(xué)）相關(guān)習(xí)題7備考 985 高校自主招生數(shù)學(xué)講義|

18、lg x |,0x10,（1）已知函數(shù) f (x)16, x若 a 、 b 、 c 互不相等，且 f (a)f (b) f (c) ，x10.2則 abc 的取值范圍是（）A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D. (20,24)（2010 年全國課標(biāo)卷）（2）已知函數(shù)f ( x) | lgx |. 若 0ab ，且 f (a) f (b) ，則 a2b 的取值范圍是 （）A. (2 2,)B. 22,)C. (3,)D. 3,) （ 2010年全國 I 卷）12.是否存在這樣的實(shí)數(shù)a ，使得 f (x)axsin x 存在兩切線相互垂直 .（ 2011 年北京大學(xué)保送生）13.求證：方程 2xx270 只有 x5一個(gè)根 .（ 2008 年南開大學(xué)）14. 設(shè) x0 ，（