高考數(shù)學(xué)必備—函數(shù)—函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題答案（理科）(1)

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題答案1.解:(I)時(shí),f(x),可得f(1)=0,故時(shí),函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程是;(II),f(x),當(dāng)時(shí),f(x),則在R上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令f(x),得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(III)設(shè),則F(x),時(shí),F(x)=0,時(shí),F(x),在遞增,時(shí),化簡(jiǎn)得:,時(shí),設(shè),則h(x),設(shè),H(x),由H(x)=0,得時(shí),H(x),時(shí),H(x),時(shí),的最小值是,時(shí),即,(x),可以知道函數(shù)在遞增,化簡(jiǎn)得,時(shí),時(shí),即,即時(shí),當(dāng)時(shí),由(2)得在遞增,得滿足條件,當(dāng)時(shí),由(2)得在遞減,時(shí),與已知,矛盾,綜上,a的范圍是2.(I)解:,由得是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),是增函數(shù).當(dāng)時(shí),即是減函數(shù)

2、;當(dāng)時(shí),即是增函數(shù).函數(shù)沒(méi)有極大值,只有極小值,且當(dāng)時(shí),取得極小值.的極小值為(II)證明:,是減函數(shù).由計(jì)算得出當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)是增函數(shù),當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)是減函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,最大值為,當(dāng)時(shí),函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).(III)證明:,化為設(shè),則u(x)設(shè),則v(x),又當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù).,即又,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù).當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),3.解:(I)f(x),f(1),又在直線上,;(II)由,得:,且等號(hào)不同時(shí)取得,故,即,恒成立,即,令,則t(x),時(shí),從而t(x),在遞增,的最小值是,;(III)根據(jù)題意,設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P,Q,滿足題意,則P,Q只能在y軸的兩側(cè),不妨設(shè),則,是

3、以為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,是否存在P,O等價(jià)于該方程且是否有根,當(dāng)時(shí),方程可化為,化簡(jiǎn)得:,此時(shí)方程無(wú)解,當(dāng)時(shí),方程可化為,即,設(shè),則h(t),顯然,時(shí),h(t),即在遞增,的值域是,即,當(dāng)時(shí)方程總有解,即對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,曲線上總存在兩點(diǎn)P,Q,使得是以為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上.4.()若,則在上單調(diào)遞增,在(a,2)上單調(diào)遞減;若,則在(,)上單調(diào)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.()由()知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.,.恒成立,即恒成立.即恒成立,令,易知在其定義域上有最大值.所以,.5.解:(1),則g(x),當(dāng)時(shí),g(

4、x),當(dāng)時(shí),g(x),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值1.(2),令,則h(x),故當(dāng)在上恒成立時(shí),使得函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上恒成立,故;經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)時(shí),函數(shù)h(x)在上恒成立;當(dāng)時(shí),不滿足題意.(3)令,則F,故單調(diào)遞增,又,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng),6.解：（1），當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.（2）由，令，由或，由或，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得極小值，且，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.在時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，時(shí)，.綜上結(jié)合圖形得：當(dāng)沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)或有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或有二個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有三個(gè)零點(diǎn).7.解:(1)(

5、x),(0),(x),記,(x),令h(x)=0得當(dāng)時(shí),h(x),單減;當(dāng)時(shí),h(x),單增,故f(x)恒成立,所以在上單調(diào)遞增,.(2),(x)令,(x),當(dāng)時(shí),m(x),在上單增,(i)當(dāng)即時(shí),恒成立,即g(x),在上單增,計(jì)算得出,所以當(dāng)即時(shí),在上單增,且,當(dāng)時(shí),使,即當(dāng)時(shí),即g(x),單減;當(dāng)時(shí),即g(x),單增.,可得,由,記,(x),在上單調(diào)遞增,綜上,.(3)證明:等價(jià)于,即,等價(jià)于令,則h(x),當(dāng)時(shí),h(x),單減;當(dāng)時(shí),h(x),單增.在處有極小值,即最小值,且時(shí),不等式成立.8.解:(1)當(dāng)時(shí),令,得易知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)證明:,當(dāng)時(shí),故,故單調(diào)遞增.又,

6、故存在唯一的,使得,即,且當(dāng)時(shí),故單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),故單調(diào)遞增.故因?yàn)槭欠匠痰母?故故令,故在上單調(diào)遞減,故,故在上單調(diào)遞減,故9.解:(),令,計(jì)算得出,令,計(jì)算得出所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,的最大值為()令,(1)當(dāng)時(shí),所以在時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?函數(shù)的值域?yàn)?所以在上,恒有,即,所以對(duì)任意大于零恒成立,所以在上單調(diào)遞增;(2)當(dāng)時(shí),所以,顯然在時(shí)有函數(shù)恒成立,所以函數(shù)在時(shí)恒成立,所以對(duì)任意恒成立,所以在上單調(diào)遞減;由(1)(2)得,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以的最大值為當(dāng),即時(shí),函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng),即時(shí),函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn);當(dāng),即時(shí),函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).10.解:(1)若

7、,在上單調(diào)遞增,無(wú)極值,不符合題意;若,令,得,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.所以,當(dāng)時(shí),取到極小值,即令,則,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.又,所以有唯一解(2)據(jù)(1),當(dāng)時(shí),恒成立,即恒成立.令,則,令,則,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”).當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,所以,即,即,所以在單調(diào)遞增,所以,所以,所以,即恒成立.當(dāng)時(shí),是增函數(shù),所以,故在單調(diào)遞增,所以,即,所以在單調(diào)遞增,所以,所以,即恒成立.當(dāng)時(shí),是增函數(shù),當(dāng)時(shí),所以,則,使得,當(dāng)時(shí),在遞減,此時(shí),即,所以在遞減,不符合題意.綜上所述,m的取值范圍是11.(1)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù);.曲線在點(diǎn)處的切線方程為:,即;(2)如果切點(diǎn)是,由

8、(1)知,則存在t,使.于是方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.記,則.當(dāng)t變化時(shí),變化情況如下表:因?yàn)樵赗上中人有一個(gè)極大值3和一個(gè)極小值-5,故過(guò)點(diǎn)可以作曲線,的三條切線.12.（1）,定義域是,當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為,沒(méi)有減區(qū)間；當(dāng)時(shí),令,得,因,所以,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）由,在上遞減,所以對(duì)于,恒成立,即,恒成立,所以,恒成立,令,在上為減函數(shù),則,所以.13.（1）因?yàn)?當(dāng),即,或時(shí),所以在上是單調(diào)遞減函數(shù),故此時(shí)無(wú)極值;當(dāng),即時(shí),由,得所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,故此時(shí)在時(shí)有極大值,無(wú)極小值.(2)可得,所以,又,設(shè),則,由得故在上是單調(diào)遞減函數(shù),在上

9、是單調(diào)遞增函數(shù).故,解得,或即實(shí)數(shù)的取值范圍是（3）當(dāng)時(shí),設(shè),則,令,則,故為減函數(shù),所以,故在上是單調(diào)遞減函數(shù).又,即,14.（1）函數(shù)的定義域?yàn)?由可得,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.所以的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.（2）由（1）知,時(shí),函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,故在內(nèi)不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),因?yàn)?當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,故在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí),得時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)的最小值為.函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng),解得.綜上所述,函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),的取值范圍是15.(1)由得,此在區(qū)間上,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,從而.(2)當(dāng)時(shí),“”等價(jià)于“”,“

10、”等價(jià)于“”令,則,當(dāng)時(shí),對(duì)上恒成立,當(dāng)時(shí),因?yàn)閷?duì)任意,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,從而,對(duì)任意恒成立,當(dāng)時(shí),存在唯一的使得,與在區(qū)間上的情況如下:x+-因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù),所以進(jìn)一步對(duì)任意恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)綜上所述當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,所以若對(duì)上恒成立,則a的最大值為,b的最小值為116.(),所以斜率又,曲線在點(diǎn)處的切線方程為由由可以知道:當(dāng)時(shí),即或時(shí),有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),即或時(shí),有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),即時(shí),沒(méi)有公共點(diǎn)(),由得令,則當(dāng),由得所以,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增因此,由,比較可以知道所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).17.(1)當(dāng)時(shí),即,計(jì)算得出.(2)對(duì)求導(dǎo),

11、得.令,得或(舍去)當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù)所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù).當(dāng)時(shí),y取得最大值;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),y取得最大值綜上:當(dāng)時(shí),時(shí),y取得最大值當(dāng)時(shí),時(shí),y取得最大值18.(I).當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),由,計(jì)算得出.令,計(jì)算得出,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;令,計(jì)算得出,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.對(duì)于任意,總存在,使得成立.當(dāng)時(shí),由(I)可以知道:當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.,計(jì)算得出.實(shí)數(shù)a的取值范圍是.19.(1)函數(shù)的定義域?yàn)?函數(shù)有極值,在上有解,即

12、在上有解,故;(2)證明:若,則在上恒成立,若,由(1)知,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);故只需使,顯然成立;若,則在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);故只需使,求導(dǎo)可以知道在上是減函數(shù),且,;綜上所述,最大整數(shù)k值為4;故,故;,故在上是增函數(shù),故;故成立.20.(1)解:根據(jù)題意得,而函數(shù)的定義域?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù),在上為增函數(shù),在上為增函數(shù),實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2)解:,顯然,函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù)函數(shù)的最小值為要使方程至少有一個(gè)解,則,即p的最小值為0(3)證明:由(2)可以知道:在上恒成立所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立令,則代入上面不等式得:即,即所以,將以上n個(gè)等式相加即可得到:21.（1）由

13、已知可得,當(dāng)時(shí),有,此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),令得,令得,此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）由已知可得,即,設(shè),則,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以,恒成立,即,所以的取值范圍為（3）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),所以,因此,即,要證明,只要證明,即證,不妨設(shè),記,則,因此只要證明,即,記（）,則.記,則.當(dāng)時(shí),所以,即時(shí),所以,即成立,所以22.(1)g(x)=+m,因?yàn)樵趚=0處取得極值,故g(0)=1+m=0,m=-1；（2）要證存在(0,1),使,只需證x+1令h(x)=,h(x)=,h(0)=5+a,又因?yàn)閍-5,故h(0)=5+a0即h(x)在（0,）(是接近于零的一個(gè)無(wú)窮小

14、量）范圍內(nèi)單調(diào)遞增,又h（0）=1,故h（x）在（0,）大于h（0）（h（0）為該范圍內(nèi)的最小值）,亦即1.又g(x)=-1在（0,1）內(nèi)大于零,故函數(shù)g（x）在（0,1）上遞增,g（0）=0,故在（0,1）,g（x）0,即x+1綜上在（0,）內(nèi),因?yàn)閔(x)=1,有因?yàn)閤+1,故存在x在（0,）,使x+1（大的一邊乘以一個(gè)大于1的數(shù),不等式符號(hào)不改變）,即.即a-5時(shí),存在（0,）,使.（0,）（0,1）,故存在（0,1）,使.23.（1）,.當(dāng)時(shí),令,解得,即當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,令,解得,即當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),故,即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,單

15、調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）,則,所以的兩根,即為方程的兩根,因?yàn)?所以,.又因?yàn)?為的零點(diǎn),所以,兩式相減,得,得,而,所以.令（）,由,得,因?yàn)?兩邊同時(shí)除以,得.因?yàn)?所以,解得或,所以.設(shè),所以,則在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),所以,即的最小值為24.(1)函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)?所以,即,所以,令,得,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為:,即(2)因?yàn)?令,則,因?yàn)?所以,所以在,上為減函數(shù),又因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),此時(shí),;當(dāng)時(shí),此時(shí),假設(shè)有最小值,則,即.若,當(dāng)時(shí),;若,當(dāng)時(shí),所以,不存在正數(shù)b,使所以,當(dāng),且時(shí),所以,計(jì)算得出:25.（1）的定義域?yàn)?.（）若,則,所以在單調(diào)增加.（）若,則

16、由得,且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)增加,在單調(diào)減少.（2）設(shè)函數(shù),則,.當(dāng)時(shí),而,所以.故當(dāng)時(shí),.26.(1)令,得,令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),(2)由且得,令,則,設(shè),則,所以,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以又,所以,綜上,27.()f(x),(x),當(dāng)時(shí),恒成立,(x)為單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)時(shí),因?yàn)?則,(x),(x)為單調(diào)遞減函數(shù),當(dāng)時(shí),(x),(x)為單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)時(shí),令f(x),計(jì)算得出,即,f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),即,f(x)為單調(diào)遞減函數(shù),綜上所述:當(dāng)時(shí),f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)時(shí),f(x)為單調(diào)遞減函數(shù),當(dāng)時(shí),f(x)在單調(diào)遞增函數(shù),f(x)在單調(diào)遞

17、減函數(shù),()由,可得,(x),由()可以知道,當(dāng)時(shí),f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),(x)(0)f(x)(1),令f,即e,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,又,時(shí),無(wú)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),無(wú)零點(diǎn),當(dāng),函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn),時(shí),f(x)為單調(diào)遞減函數(shù),若函數(shù)在上有零點(diǎn),又,(0),f(1),令f,即e,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,只需要f,在上有解即可,在有解即可,對(duì)稱軸在之間,在有解,當(dāng)時(shí),也不能滿足,(同()中的),綜上所述a的取值范圍為28.（I）,當(dāng)上無(wú)極值點(diǎn)當(dāng)p0時(shí),令的變化情況如下表：x(0,)+0極大值從上表可以看出：當(dāng)p0時(shí),有唯一的極大值點(diǎn)（）當(dāng)p0時(shí)在處取得極大值,此極大值也是最大值,要使恒成立

18、,只需,即p的取值范圍為1,+（）令p=1,由（）知,結(jié)論成立29.(1)f(x),由已知得f,即:,所以,所以,函數(shù)的定義域?yàn)?f(x),因?yàn)閒(x)在上為減函數(shù),而f,所以當(dāng)時(shí),f(x);當(dāng)時(shí),f(x),所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)因?yàn)?所以,所以,令,則g(x),所以,當(dāng)時(shí),g(x),當(dāng)時(shí),g(x),所以,即:令,則h(x)(,所以,當(dāng)時(shí),h(x),當(dāng)時(shí),h(x),所以,即:所以,對(duì)任意,因此,當(dāng)時(shí),對(duì)任意,所以x的取值范圍為30.(1)函數(shù)定義域?yàn)?由已知得,得:,(x),由f(x),得或,由f(x),得,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)證明:由(x),令,

19、(x),(x),在上為增函數(shù),時(shí)取“=”),而h(x),由,得:,時(shí),時(shí),在為增函數(shù),在為減函數(shù),而,時(shí)取“=”),(x),即:(x).31.()解:,(x)(e)=0,則f(x)當(dāng)時(shí),f(x)在內(nèi)大于0,在內(nèi)小于0,在內(nèi)為增函數(shù),在內(nèi)為減函數(shù),即有極大值而無(wú)極小值;當(dāng)時(shí),在內(nèi)為減函數(shù),在內(nèi)為增函數(shù),即有極小值而無(wú)極大值.,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為;()(i)證明:當(dāng)時(shí),設(shè)g(x)在區(qū)間上為減函數(shù),又g(1),g存在實(shí)數(shù),使得此時(shí)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),在內(nèi)為減函數(shù).又,由單調(diào)性知,又,即;,當(dāng),時(shí),設(shè)則h(x)令(x),(x)(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),h(x)(1)當(dāng)時(shí),即時(shí),h(x),在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞