2022版新教材高考數(shù)學一輪復(fù)習第三章高考大題專項一導數(shù)的綜合應(yīng)用課件新人教B版

1、高考大題專項高考大題專項( (一一) )導數(shù)的綜合應(yīng)用導數(shù)的綜合應(yīng)用第三章第三章 2022 內(nèi) 容 索 引 突破突破1 1利用導數(shù)研究與不等式有關(guān)的問題利用導數(shù)研究與不等式有關(guān)的問題 突破突破2 2利用導數(shù)研究與函數(shù)零點有關(guān)的問題利用導數(shù)研究與函數(shù)零點有關(guān)的問題 必備知識預(yù)案自診必備知識預(yù)案自診 關(guān)鍵能力學案突破關(guān)鍵能力學案突破 必備知識預(yù)案自診必備知識預(yù)案自診 關(guān)鍵能力學案突破關(guān)鍵能力學案突破 【考情分析考情分析】 從近五年的高考試題來看,對導數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用的考查常常是一大一小 兩個題目,其中解答題的命題特點是:以三次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及 分式函數(shù)為命題載體,以切線問題、單調(diào)性問題、

2、極值最值問題、恒成立 問題、存在性問題、函數(shù)零點問題為設(shè)置條件,與參數(shù)的范圍、不等式的 證明、 方程根的分布綜合成題,重點考查學生應(yīng)用分類討論思想、函數(shù)與方程思 想、數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)換與化歸思想來分析問題、解決問題的能力. 必備知識必備知識 預(yù)案自診預(yù)案自診 【知識梳理知識梳理】 突破1利用導數(shù)研究與不等式有關(guān)的問題 1.與ex,ln x有關(guān)的常用不等式的結(jié)論 (1)由f(x)=ex圖像上任一點(m,f(m)的切線方程為y-em=em(x-m),得exem(x+1)-mem, 當且僅當x=m時,等號成立.當m=0時,有ex1+x;當m=1時,有exex. (2)由過函數(shù)f(x)=ln x圖像上

3、任一點(n,f(n)的切線方程為y-ln n= (x-n),得ln x x-1+ln n,當且僅當x=n時,等號成立.當n=1時,有l(wèi)n xx-1;當n=e時,有l(wèi)n x x. (3)由(1),(2)得,若x(0,+),則exx+1x-1ln x. 2.證明含參數(shù)的函數(shù)不等式,其關(guān)鍵在于將所給的不等式進行“改造”,得到 “一平一曲”,然后運用導數(shù)求出“曲”的最值,將其與“平”進行比較即可. 3.函數(shù)不等式的類型與解法 (1)xD,f(x)kf(x)maxk;xD,f(x)kf(x)mink; (2)xD,f(x)g(x) f(x)maxg(x)min;xD,f(x)g(x) f(x)ming(

4、x)max. 4.含兩個未知數(shù)的不等式(函數(shù))問題的常見題型及具體轉(zhuǎn)化策略 (1)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的 最大值. (2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的 最小值. (3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上 的最小值. (4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上 的最大值. (5)x1a,b,當x2c,d時,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域與g(x)在

5、c,d 上的值域交集非空. (6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的 值域. (7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的 值域. 關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學案突破學案突破 考點考點1 1求函數(shù)不等式的參數(shù)的取值范圍求函數(shù)不等式的參數(shù)的取值范圍(多考向探究多考向探究) 考向1求單變量函數(shù)不等式的參數(shù)的取值范圍 【例1】 已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)略; (2)若當x(1,+)時,f(x)0,求實數(shù)a的取值范圍. ()當2-a0,即10,于是f(x)在(1,+)上

6、單調(diào)遞增,于是 f(x)f(1)=0. ()當2-a2時,存在x0(1,+),使得當1xx0時,f(x)0,于是f(x)在 (1,x0)上單調(diào)遞減, 所以f(x)0,f(x)0成立,求a的取值范圍,即求當x0,f(x)0恒成立 時的a的取值范圍,即研究a取什么范圍使得當x0時f(x)0成立. 2.對于恒成立求參數(shù)取值范圍的問題,最值法與分離參數(shù)法是兩種最常用 的方法.如果分離后的函數(shù)容易求最值,則選用分離參數(shù)法,否則選用最值 法.最值法主要考查學生分類討論的思想,一般遵循“構(gòu)造函數(shù)分類討 論”兩步來展開.一些稍難的恒成立問題,如果用分離參數(shù)法來處理,往往需 要多次求導和使用洛必達法則. 對點訓

7、練1(2020新高考全國1,21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-ln x+ln a. (1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的 面積; (2)若f(x)1,求實數(shù)a的取值范圍. 考向2求雙變量函數(shù)不等式的參數(shù)的取值范圍 解題心得對于含有兩個變量的不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題,一般 要找到兩個變量的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為一個變量,從而得到一個函數(shù);也可以從含 有兩個變量的不等式中抽象出一個函數(shù)是單調(diào)函數(shù).對于求參數(shù)的取值范 圍,可以分離出變量,得到一個不等式,通過函數(shù)的最值得參數(shù)的取值范圍; 如果變量不易分離,可以對參數(shù)進行討論,看參數(shù)在什么范圍不等式成立

8、, 從而求出參數(shù)的取值范圍. 考點考點2 2利用導數(shù)證明不等式利用導數(shù)證明不等式(多考向探究多考向探究) 考向1單未知數(shù)函數(shù)不等式的證明 【例3】 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m). (1)略; (2)當m2時,證明f(x)0. 解 (1)略. 又因為當x(-m)+時,f(x)-,當x+時,f(x)+, 所以f(x)=0在(-m,+)上有唯一的實數(shù)根x0,當-mxx0時,f(x)x0 時,f(x)0,所以f(x)在(-m,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+)上單調(diào)遞增,所以當x=x0 時,f(x)取得最小值. 證法3:當m2,x(-m,+)時,ln(x+m)ln(x+2),于是f(x)ex-

9、ln(x+2),所以 只要證明ex-ln(x+2)0(x-2),就能證明當m2時,f(x)0. 由ln xx-1(x0)可得ln(x+2)x+1(x-2). 又因為exx+1(xR),且兩個不等號不能同時成立,所以exln(x+2), 即ex-ln(x+2)0(x-2), 所以當m2時,f(x)0. 解題心得1.對于含有參數(shù)的一個未知數(shù)的函數(shù)不等式,其證明方法與不含 參數(shù)的一個未知數(shù)的函數(shù)不等式證明大體一致.可以直接證明,也可以放縮 后再證明,也可以分離參數(shù)后,利用導數(shù)求最值來證明. 2.證法1與證法2中出現(xiàn)的x0的具體數(shù)值是無法求解的,只能求出其范圍,我 們把這種零點稱為“隱性零點”.證法2

10、比證法1簡單,這是因為利用了函數(shù)單 調(diào)性將命題ex-ln(x+m)0加強為ex-ln(x+2)0,轉(zhuǎn)化為研究一個特例函數(shù)的 問題,從而大大降低了題目的難度.證法2中,因為(x0)的表達式涉及 (1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程; (2)求證:當a1時,f(x)+e0. (1)略; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=ln x+1,證明:當x(0,+)且a0時,f(x)g(x). 解題心得欲證函數(shù)不等式f(x)g(x)(xI,I是區(qū)間),設(shè)h(x)=f(x)-g(x)(xI),即 證h(x)0,為此研究h(x)的單調(diào)性,先求h(x)的零點,根據(jù)零點確定h(x)在給定 區(qū)間I上的正負,若h(x

11、)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減或先單調(diào)遞減后單調(diào) 遞增,只須h(x)min0(xI)(若h(x)min不存在,則須求函數(shù)h(x)在與區(qū)間I相應(yīng)的 閉區(qū)間上的端點處的函數(shù)值),若h(x)在區(qū)間I上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,只 須區(qū)間I的端點的函數(shù)值大于或等于0;若h(x)的零點不好求,可設(shè)出零點x0, 然后確定零點的范圍,進而確定h(x)的單調(diào)區(qū)間,求出h(x)的最小值h(x0),再 研究h(x0)的正負. 對點訓練4(2020全國2,理21)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x. (1)討論f(x)在區(qū)間(0,)的單調(diào)性; 考向2雙未知數(shù)函數(shù)不等式的證明 解題心得對于兩個未知數(shù)的函數(shù)不等式問題

12、,其關(guān)鍵在于將兩個未知數(shù)化 歸為一個未知數(shù),常見的證明方法有以下四種: 方法1:利用換元法,化歸為一個未知數(shù); 方法2:利用未知數(shù)之間的關(guān)系消元,化歸為一個未知數(shù); 方法3:分離未知數(shù)后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明; 方法4:利用主元法,構(gòu)造函數(shù)證明. 所以h(a)在e,+)上單調(diào)遞減. 所以h(a)h(e). 即g(a)g(e)=ln 8e-6e+2=(1+3ln 2)-6e+2=3ln 2-6e+33-6e+3=6-6e0, 所以g(a)在e,+)上單調(diào)遞減, g(a)g(e)=eln 8e-3e2+3e=e(1+3ln 2)-3e2+3e=e(3ln 2-3e+4)e(3- 3e+4)

13、=e(7-3e)0, 所以g(a)0時,討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù). 解 (1)略. (2)函數(shù)f(x)的定義域為R, f(x)=ex+(x-1)ex-kx=xex-kx=x(ex-k), 當00,解得x0. f(x)在(-,ln k)和(0,+)上單調(diào)遞增,在ln k,0上單調(diào)遞減. 由f(0)=-1,當x(-,0)時, 此時f(x)無零點,當x0,+)時,f(2)=e2-2ke2-20. 又f(x)在0,+)上單調(diào)遞增,f(x)在0,+)上有唯一的零點, 函數(shù)f(x)在定義域(-,+)上有唯一的零點. 當k1時,令f(x)0,解得xln k, f(x)在(-,0)和(ln k,+)上單調(diào)遞

14、增,在0,ln k上單調(diào)遞減. 當x(-,ln k)時,f(x)f(x)max=f(0)=-12,g(t)0,g(t)在(2,+)上單調(diào)遞增,g(t)g(2)=e2-20, g(t)在(2,+)上單調(diào)遞增,得g(t)g(2)=e2-20,即f(k+1)0. f(x)在ln k,+上有唯一的零點,故函數(shù)f(x)在定義域(-,+)上有唯一的 零點. 綜合可知,當k0時,函數(shù)f(x)在定義域(-,+)上有且只有一個零點. 解題心得有關(guān)函數(shù)的零點問題的解決方法主要是借助數(shù)形結(jié)合思想,利用 導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,利用函數(shù)的單調(diào)性模擬函數(shù)的圖像,根據(jù)函 數(shù)零點的個數(shù)的要求,控制極值點函數(shù)值的正負,從

15、而解不等式求出參數(shù)的 取值范圍. (1)當m=-1時,求函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的零點個數(shù); (2)若x01,+),使得f(x0)g(x0),求實數(shù)m的取值范圍. 考點考點2 2與函數(shù)零點有關(guān)的證明問題與函數(shù)零點有關(guān)的證明問題 【例2】 (2019全國1,理20)已知函數(shù)f(x)=sin x-ln(1+x),f(x)為f(x)的導數(shù).證 明: (2)f(x)有且僅有2個零點. (2)f(x)的定義域為(-1,+). 當x(-1,0時,由(1)知,f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增,而f(0)=0,所以當 x(-1,0)時,f(x)1,所以f(x)0,從而f(x)在區(qū)間(,+)上沒有零

16、點. 綜上,f(x)有且僅有2個零點. 解題心得1.如果函數(shù)中沒有參數(shù),一階導數(shù)求出函數(shù)的極值點,判斷極值點 大于0小于0的情況,進而判斷函數(shù)零點的個數(shù). 2.如果函數(shù)中含有參數(shù),往往一階導數(shù)的正負不好判斷,這時先對參數(shù)進行 分類,再判斷導數(shù)的符號,如果分類也不好判斷,那么需要對一階導函數(shù)進 行求導,在判斷二階導數(shù)的正負時,也可能需要分類. 對點訓練2(2020安徽合肥二模,文21)已知函數(shù)f(x)=exsin x.(e是自然對數(shù)的 底數(shù)) (1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2x,證明g(x)在(0,)上只有兩個零點.(參考數(shù)據(jù): 考點考點3 3已知函數(shù)零點情況

17、求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)零點情況求參數(shù)的取值范圍 【例3】 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍. 所以h(x)在R上單調(diào)遞增, 而h(0)=0,所以當x0時,h(x)0時,h(x)0,于是當x0,當 x0時,g(x)0,所以g(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,在(0,+)上單調(diào)遞減. g(0)=1,當x-時,g(x)-,當x+時,g(x)0+.函數(shù)g(x)的簡圖如圖所示. 若f(x)有兩個零點,則y=a與g(x)有兩個交點,所以a的取值范圍是(0,1). 解題心得對函數(shù)的零點問題,解題策略是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的

18、交點,三種 方式中(一平一曲、一斜一曲、兩曲)最為常見的是一平一曲.方法一是直 接考慮函數(shù)f(x)的圖像與x軸的交點情況,方法二是分離參數(shù)法,兩種方法的 本質(zhì)都是一平一曲.另外我們對某些函數(shù)或許可以通過換元,降低函數(shù)的解 決難度. 對點訓練3(2020全國1,文20)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2). (1)當a=1時,討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍. 解 (1)當a=1時,f(x)=ex-x-2,則f(x)=ex-1. 當x0時,f(x)0時,f(x)0. 所以f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,在(0,+)上單調(diào)遞增. (2)f(x)=ex-a. 當

19、a0時,f(x)0,所以f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增,故f(x)至多存在1個零點,不 合題意. 當a0時,由f(x)=0可得x=ln a.當x(-,ln a)時,f(x)0. 所以f(x)在(-,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,+)上單調(diào)遞增,故當x=ln a時,f(x)取 得最小值,最小值為f(ln a)=-a(1+ln a). 考點考點4 4利用導數(shù)解決存在性問題利用導數(shù)解決存在性問題 【例4】 (2019全國3,理20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b. (1)討論f(x)的單調(diào)性. (2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間0,1的最小值為-1且最大值為1?若存在,求 出a,b的所有值;若不存在,說明理由. (2)滿足題設(shè)條件的a,b存在. 當a0時,由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值 為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設(shè)條件當且僅當 b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1. 當a3時,由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最大值 為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設(shè)條件當且僅當 2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1. 解題心得依據(jù)已知條件,判別某種數(shù)學對象是否存在的問