高考數(shù)學(xué)必備—高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題—第55煉 數(shù)列中的不等關(guān)系

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家第55煉 數(shù)列中的不等關(guān)系一、基礎(chǔ)知識：1、在數(shù)列中涉及到的不等關(guān)系通常與數(shù)列的最值有關(guān)，而要求的數(shù)列中的最值項(xiàng)，要依靠數(shù)列的單調(diào)性，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性往往是此類問題的入手點(diǎn)2、如何判斷數(shù)列的單調(diào)性：（1）函數(shù)角度：從通項(xiàng)公式入手，將其視為關(guān)于的函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷數(shù)列的單調(diào)性。由于 ，所以如果需要用到導(dǎo)數(shù)，首先要構(gòu)造一個與通項(xiàng)公式形式相同，但定義域?yàn)?的函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性后再結(jié)合得到數(shù)列的單調(diào)性（2）相鄰項(xiàng)比較：在通項(xiàng)公式不便于直接分析單調(diào)性時，可考慮進(jìn)行相鄰項(xiàng)的比較得出數(shù)列的單調(diào)性，通常的手段就是作差

2、（與0比較，從而轉(zhuǎn)化為判斷符號問題）或作商（與1比較，但要求是正項(xiàng)數(shù)列）3、用數(shù)列的眼光去看待有特征的一列數(shù)：在解數(shù)列題目時，不要狹隘的認(rèn)為只有題目中的是數(shù)列，實(shí)質(zhì)上只要是有規(guī)律的一排數(shù)，都可以視為數(shù)列，都可以運(yùn)用數(shù)列的知識來進(jìn)行處理。比如：含的表達(dá)式就可以看作是一個數(shù)列的通項(xiàng)公式；某數(shù)列的前項(xiàng)和也可看做數(shù)列等等。4、對于某數(shù)列的前項(xiàng)和，在判斷其單調(diào)性時可以考慮從解析式出發(fā)，用函數(shù)的觀點(diǎn)解決。也可以考慮相鄰項(xiàng)比較。在相鄰項(xiàng)比較的過程中可發(fā)現(xiàn)：，所以的增減由所加項(xiàng)的符號確定。進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化成為判斷的符號問題二、典型例題例1：已知數(shù)列，前項(xiàng)和滿足 （1）求的通項(xiàng)公式 （2）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列

3、，求實(shí)數(shù)的取值范圍 解：（1） 時， 當(dāng)時，符合上式 （2）思路：由（1）可得：，由已知為單調(diào)遞減數(shù)列可得對均成立，所以代入通項(xiàng)公式得到關(guān)于的不等式，即只需，構(gòu)造函數(shù)或者數(shù)列求出的最大值即可解：是遞減數(shù)列 ，即 只需 構(gòu)造函數(shù)：設(shè) 則 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 時， 即 構(gòu)造數(shù)列：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 時，即當(dāng)時， 所以的最大項(xiàng)為 例2：已知等差數(shù)列中，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，對任意的恒成立，則整數(shù)的最小值是（ ）A. B. C. D. 思路：若恒成立，要找，則需先確定的通項(xiàng)公式得到：，所以，發(fā)現(xiàn)無法直接求和，很難變?yōu)楹唵蔚谋磉_(dá)式，所以考慮將視為一個數(shù)列，通過相鄰項(xiàng)比較尋找其單調(diào)性：，進(jìn)而單調(diào)遞減

4、，所以，從而 答案：B例3：已知數(shù)列滿足，若為等比數(shù)列，且（1）求（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為 求 求正整數(shù)，使得對于，均有解：（1） 或（舍）（2） 思路：實(shí)質(zhì)是求取到最大值的項(xiàng)，考慮分析的單調(diào)性，從解析式上很難通過函數(shù)的單調(diào)性判斷，從而考慮相鄰項(xiàng)比較。對于而言，的增減受符號的影響，所以將問題轉(zhuǎn)化為判斷的符號?？晒烙?jì)出當(dāng)取得值較大時，會由正項(xiàng)變?yōu)樨?fù)項(xiàng)。所以只要尋找到正負(fù)的分界點(diǎn)即可解：當(dāng)時，可驗(yàn)證，從而可得設(shè)，則當(dāng)時，遞減時， 時，均有例4：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且，數(shù)列滿足：，其前項(xiàng)和為（1）求（2）令，記的前項(xiàng)和為，對，均有，求的最小值解：（1）為公差是的等差數(shù)列 時，符合上式 為等差數(shù)列設(shè)前

5、項(xiàng)和為 （2）思路：依題意可得：，可求出，從而，若最小，則應(yīng)最接近的最大最小值（或是臨界值），所以問題轉(zhuǎn)化成為求的范圍，可分析其單調(diào)性。單調(diào)遞增。所以最小值為，而當(dāng)時，所以無限接近，故的取值范圍為中的離散點(diǎn)，從而求出的最小值解：設(shè)，可知遞增，當(dāng)時， 若最小，則 例5（2014，黃州區(qū)校級模擬）數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求證：當(dāng)時，數(shù)列為等比數(shù)列（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列中只有最小，求的取值范圍解：（1） 符合上式 （2）考慮即 數(shù)列為等比數(shù)列（3）思路：由（2）可求得通項(xiàng)公式，但不知其單調(diào)性，但可以先考慮必要條件以縮小的取值范圍。若要最小，則最起

6、碼要比小，從而先求出滿足的必要條件（也許最后結(jié)果是其子集），在這個范圍內(nèi)可判定為遞增數(shù)列，從而能保證最小由（2）可得：是公比為的等比數(shù)列 若要最小，則必然要即 則，所以為遞增數(shù)列，符合最小的條件所以小煉有話說：在求參數(shù)范圍時如果不能一次準(zhǔn)確列出參數(shù)所滿足的條件，可先寫出其必要條件適當(dāng)縮小其取值范圍，往往會給解題帶來新的突破口例6：（2014，文登市二模）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 ，其前項(xiàng)和為，滿足 ，且 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小解：（1） （舍）或是公比為2的等比數(shù)列，解得： （2）思路：由（1）可得，進(jìn)而可求出，比較大小只需兩式作差，再進(jìn)行化簡通分可得。

7、利用函數(shù)或構(gòu)造數(shù)列判斷出的符號即可解： 設(shè) ，可得 為減函數(shù) 例7：（2014，湖南模擬）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意的，都有（其中，且為常數(shù)），記數(shù)列的前項(xiàng)和為 （1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式及（2）當(dāng)時，將數(shù)列的前項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來的順序恰為等比數(shù)列的前項(xiàng)，記的前項(xiàng)和為 ，若存在，使得對任意，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1） 可得： 即為公差是的等差數(shù)列在令得：解得： （2）思路：本小問實(shí)質(zhì)是在數(shù)列背景下的多元恒成立問題，先求的表達(dá)式。由已知可得：時，要解決，首先要解出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。時，進(jìn)而 顯然抽去的應(yīng)為，所以，得到， ，所以要處理的恒成立不等式為：。

8、再利用最值逐步消元即可解：時，進(jìn)而成公比為的等比數(shù)列，即的公比為，且 而由（1），當(dāng)時，所以恒成立的不等式為：，所以設(shè) 可得為遞增函數(shù) 所以對任意的均成立即設(shè) 為減函數(shù) 小煉有話說：本題在處理恒成立問題時，兩個階段對變量量詞的不同導(dǎo)致取最大還是最小值要明確區(qū)分。第一階段是存在，也就是說只要有滿足不等式即可，所以只要最小值比右邊小，就意味著已經(jīng)存在這樣的；第二階段是對任意的，不等式均要成立，所以只要最大值滿足不等式，剩下的函數(shù)值也必然能滿足不等式。例8：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足 （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2）設(shè)數(shù)列滿足（為非零整數(shù)，），問是否存在整數(shù)，使得對任意，都有

9、解：（1） 即是公差為1的等差數(shù)列 在令得： （2）思路：由（1）可得：，所以等同于，化簡可得： ，而的奇偶將決定的符號，所以要進(jìn)行分類討論解：由（1）可得：則等價于： 當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立不等式為：所以只需當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立不等式為：所以只需 例9：已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且 （1）求的通項(xiàng)公式 （2）設(shè)，若集合恰有個元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍 解：（1） （2）思路：由（1）所得通項(xiàng)公式可利用錯位相減法求 ，進(jìn)而得到，要讀懂集合恰有4個元素的含義，根據(jù)描述的特點(diǎn)可知：集合中的元素應(yīng)該為從大到小排前4項(xiàng)的序數(shù)，所以只需判斷出的單調(diào)性，并結(jié)合單調(diào)性選出較大的前4項(xiàng)，便可確定的取值。解： 兩式相減可得： 下

10、面考慮的單調(diào)性 時，即時，所以 而 從大到小排的前4項(xiàng)為： 例10：（2015，天元區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足 （1）當(dāng)時，求數(shù)列的前項(xiàng)和 （2）若對任意，都有成立，求的取值范圍解：（1） 可得： 中奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差均為4當(dāng)時， 當(dāng)為奇數(shù)時， 所以當(dāng)為偶數(shù)時 為奇數(shù)時 （2）思路：考慮將不等式轉(zhuǎn)化為的不等式，由（1）可得的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)各為等差數(shù)列，所以只要通過分類討論確定的奇偶，即可把均用表示，再求出范圍即可解：由（1）可得：的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)各為等差數(shù)列，且公差為4當(dāng)為奇數(shù)時， 化簡后可得： 所以只需設(shè) 解得：或當(dāng)為偶數(shù)時，同理：， 化簡可得：即設(shè)可得：綜上所述：或三、

11、歷年好題精選1、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（2）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式（3）記，若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值2、已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和中成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，若，求證： 3、已知數(shù)列滿足：，且（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）設(shè)（為非零整數(shù)），試確定的值，使得對任意，都有成立4、已知數(shù)列中，（為非零常數(shù)），其前項(xiàng)和滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，且，求的值（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)，數(shù)列中滿足的最大項(xiàng)恰為第項(xiàng)？若存在，分別求出的取值范圍；若不存在，請說明理由5、（2016，無錫聯(lián)考）數(shù)列

12、的前項(xiàng)和為，且對一切正整數(shù)都有（1）求證：（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由6、已知函數(shù)，數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式（2）令，若對一切成立，求最小正整數(shù)7、（2016，貴陽一中四月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，對任意，都有（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令，若對任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍8、設(shè)數(shù)列為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在整數(shù)，使得對任意的都有成立，求的最大值習(xí)題答案：1、解析：（1）（2）由可知，代入可得：時，代入可得：，即是公比為的等比數(shù)列在中，令可得：（3）可知為遞減數(shù)列 為遞增數(shù)列即的最大值為2、解析：（1）成等差數(shù)列（2）由（1）可得： 為遞增數(shù)列綜上所述：3、解：（1） 是公比為的等比數(shù)列（2）當(dāng)時，即當(dāng)時， 是公差為的等差數(shù)列即（3）由（2）可得： 恒成立不等式為：當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時， 4、解析：（1）由已知令，則，所以 當(dāng)時，驗(yàn)證可知符合通項(xiàng)公式（2）可得 （3）由可得若，則，不符題意，舍去若，則的最大項(xiàng)恰為第項(xiàng)因?yàn)樵摬坏仁綄θ我饩闪⒔獾茫?、解析：（1） 即（2）由（1）可知，兩式相減可得：中奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成公差是4的等差數(shù)列中令令可得：綜上所述可得：（3）恒成立的不等式