工程科技電磁場理論

1、第 六 章電磁感應(yīng) Time-Varying Electromagnetic Field 第六章 電磁感應(yīng) 下 頁 電磁感應(yīng)定律和全電流定律 正弦電磁場 序 電磁輻射 電磁場基本方程、分界面上的銜接條件 動態(tài)位及其積分解 返 回 坡印廷定理和坡印廷矢量 第 六 章電磁感應(yīng) 6.1.1 電磁感應(yīng)定律（Faraday s Law） 當(dāng)與回路交鏈的磁通發(fā)生變化時，回路中會產(chǎn)生感 應(yīng)電動勢，這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律。 電磁感應(yīng)定律： t e d d? ? 負(fù)號表示感應(yīng)電流產(chǎn) 生的磁場總是阻礙原磁場 的變化。 Faraday s Law and Ampere s Circuital Law 6.1電磁感

2、應(yīng)定律和全電流定律 圖4.1.1 感生電動勢的參考方向 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 1.回路不變，磁場隨時間變化 S B d d d ? ? ? ? ? S tt e ? 又稱為感生電動勢，這是變壓器工作的原理，亦稱 為變壓器電勢。 圖4.1.2 感生電動勢 根據(jù)磁通變化的原因，分為三類： e 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 2.磁場不變，回路切割磁力線 lBd)( d d ? ? l t e ? 稱為動生電動勢，這是發(fā) 電機(jī)工作原理，亦稱為發(fā) 電機(jī)電勢。 圖4.1.3 動生電動勢 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 3.磁場隨時間變化，回路切割磁力線 S B lBdd

3、)( d d ? ? ? ? ? Sl tt e ? 實(shí)驗(yàn)表明：只要與回路交鏈的磁通發(fā)生變化，回路中 就有感應(yīng)電動勢。與構(gòu)成回路的材料性質(zhì)無關(guān)（甚 至可以是假想回路），當(dāng)回路是導(dǎo)體時，有感應(yīng)電流 產(chǎn)生。 e 下 頁上 頁返 回 電荷為什么會運(yùn)動呢？即為什么產(chǎn)生感應(yīng)電流呢？ 思考 第 六 章電磁感應(yīng) 6.1.2感應(yīng)電場（Inducted Electric Field） 麥克斯韋假設(shè)，變化的磁場在其周圍激發(fā)著一種 電場，該電場對電荷有作用力（產(chǎn)生感應(yīng)電流），稱 之為感應(yīng)電場。 ? ? ? ? ?S B SElEd d)(d ii t sl t? ? ? B E i圖4.1.4 變化的磁場產(chǎn) 生感應(yīng)

4、電場 在靜止媒質(zhì)中l(wèi)Ed i ? ? l e 感應(yīng)電場是非保守場，電力線呈閉合曲線，變化 的磁場是產(chǎn)生的渦旋源，故又稱渦旋電場。 i E t? ?B 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 圖4.1.5 變化的磁場 產(chǎn)生感應(yīng)電場 t? ? ? B E 若空間同時存在庫侖電場 , 即則有, i EEE? C 表明不僅電荷產(chǎn)生電場，變 化的磁場也能產(chǎn)生電場。 下 頁上 頁返 回 根據(jù)自然界的對偶關(guān)系，變化的電場是否會產(chǎn)生 磁場呢？ 思考 第 六 章電磁感應(yīng)電磁感應(yīng) 0dd 2 ? ? Sl SJlH 6.1.3全電流定律（Ampere s Law ） 圖4.1.6交變電路用 安培環(huán)路定律 問題的提

5、出 i Sl ? ? 1 ddSJlH 思考 經(jīng)過S 1面 經(jīng)過S 2面 i l ? ? l H d 下 頁上 頁返 回 為什么相同的線積分結(jié)果不同？電流不連續(xù) 嗎？ 原因所在？ 第 六 章電磁感應(yīng) 電流連續(xù)性原理 0)(?H Stokes theorem ? ? Sl SJlHdd 矢量恒等式 S D JlHd)(d? ? ? ? ? t Sl 0)(?H 矢量恒等式 恒 定 場時 變 場 下 頁上 頁返 回 0? J JH ? 所以 tt? ? ? ? ? ? D J ? 因?yàn)?0)(? ? ? ? t D J 所以 t? ? ? D JH 所以 第 六 章電磁感應(yīng) S D JlHd)(d

6、? ? ? ? ? Sl t 變化的電場產(chǎn)生位移電流（ Displacement Current ），電流仍然是連續(xù)的。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 dd SS i t q S tt ? S D i S ? ? S J d 1 = 下 頁上 頁返 回 圖4.1.7交變電路用安培 環(huán)路定律 第 六 章電磁感應(yīng) 全電流定律 不僅傳導(dǎo)電流產(chǎn)生磁場，變化的電場也能產(chǎn)生 磁場。麥克斯韋預(yù)言電磁波的存在。 t? ? ? D JH 微分形式 dc d)(dii t lS ? ? ? ? ? S D JlH積分形式 其中，位移電流密度 d J t D ? ? ? 下 頁上 頁返 回 第第 六

7、六 章章電磁感應(yīng)電磁感應(yīng) 解： 忽略邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場 d tu ED d u E )( , ? ? 位移電流密度 位移電流 ) d d ( d t u dt D J ? ? ? ? ? cd d d ) d d (di t u C t u d S i S ? ? ? SJ 電場 例 6.1.1 已知平板電容器的面積 S, 相距 d, 介 質(zhì)的介電常數(shù)， 極板間電壓 u( t )。試求位移電 流 i d；傳導(dǎo)電流 ic 與 i d 的關(guān)系是什么? ? 圖4.1.8傳導(dǎo)電流與 位移電流 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 6.3 電 感 6.3 .1 自感（Self-Inductance）

8、回路的電流與該回路交鏈的 磁鏈的比值稱為自感。 LI S ? ? S B d ? 即 H（亨利） I L ? ? L = 內(nèi)自感 L i + 外自感 L 0 Inductance 求自感的一般步驟： 設(shè)),( 0i LLLI?BH A 圖3.7.1 內(nèi)磁鏈與外磁鏈 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) I l ? ? l H d 例 6.3.1 試求圖示長為 l 的同軸電纜的自感 L。 1. 內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感)0( 1 ? 解: S B d d?磁通 , 2 2 1 ? ? I H ? 匝數(shù) 2 1 2 ? ? ? ? ? I I N 8 01 1 l I L i i ? ? 內(nèi)自感 因此，

9、? ? S i N?d 1? ? 1 0 2 1 2 2 1 0 d 2 ? ? ? ? ? ?lI 8 0 lI? ? 下 頁上 頁返 回 圖3.7.2 同軸電纜截面 2 2 1 ? ? I ? 2 2 1 ? ? I ? ? ? ? d 2 2 1 0 l I ? 第 六 章電磁感應(yīng) 2. 外導(dǎo)體內(nèi)自感) ( 32 ? 圖3.7.3 同軸電纜 2 2 2 3 22 300 22? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? II B 由例3.2.2 知 ?ddd 2 lBSB i ? )(8 )( )(2 ln)( 2 2 2 2 3 2 2 2 30 2 2 2 3 2 30 2 32 2

10、2 2 3 2 30 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? lll ? ? 3 2 d 1 2 ? ? ?BlN I Li 2 2 2 3 2 2 3 ? ? ? ? ? I I N匝數(shù) 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 3. 外自感)( 21 ? 1 2000 0 ln 2 d 2 12 1? ? ? ? ? ? ? ? ? l I II L ? ? 2 0I B? ? ? ? d 2 dd 0 00 l I ? 總自感 210 ii LLLL? 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? RD R xl xDx I d

11、 )( 11 2 0 ? ? R RDIl? ?ln 0 ? R RDl I L ? ?ln 0 0 ? ? ? ? )(22 00 xD I x I BI ? 設(shè) 總自感為 R RDll LLL i ? ?ln 4 2 00 0 ? 0 2LLL i ?總自感解: 內(nèi)自感, 8 0l L i ? ? 解法一 0 L?B 由 例 6.3.2 試求半徑為R的兩平行傳輸線自感。 圖3.7.4 兩線傳輸線 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) zRDx zRx RD RI R RDI eA eA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln 2 ln 2 0 2 0 1

12、 ? ? 解法二 0 L?A 由 lAlA l 21 d? ? lA?IL R RDlI 0 0 ln ? ? ? ? R RDl I L ? ?ln 0 0 ? 圖3.7.5 雙線傳輸線 下 頁上 頁返 回 z e I 1 20 ln 2? ? ?A 第 六 章電磁感應(yīng) 6.3.2 互感（Mutual Inductance） 互感是一個回路電流與其在另一個回路所產(chǎn)生 的磁鏈之比值，它與兩個回路的幾何尺寸，相對位 置及周圍媒質(zhì)有關(guān)。 計(jì)算互感的一般步驟： 設(shè) d 2 2121111 ? ? s SB BHI 1 21 21 I M? A 21 M?可以證明 2 12 12 I M ? ? ,

13、12121 IM? 1 21 21 I M ? ? H（亨利） 下 頁上 頁返 回 圖3.7.6 電流I1 產(chǎn)生與回路 L 2交鏈的磁鏈 第 六 章電磁感應(yīng) 圖3.7.7 兩對傳輸線的互感 解： 設(shè)傳輸線 AB帶電，求穿過 CD 回路的磁鏈 導(dǎo)線B作用 BD BC BB D DlI ln 2 0 mm ? ? 合成后 AC AD S AA D DIl ln 2 d 0 mm ? ? ? SB 導(dǎo)線A 作用 ? ? 2 0 I B? 1) 若回路方向相反，互感會改變嗎？ 它反映 了什么物理意義？ 例 6.3.3 試求圖示兩對傳輸線的互感。 BDAC BCAD BA DD DDlI ? ? ?ln

14、 2 0 mmm ? ? BDAC BCAD DD DDl M ? ? ?ln 2 0 ? 思考 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 2) 鐵板放在兩線圈的下方 ,互感增加否？ 如何計(jì)算？ 3） 鐵板放在兩線圈之間，互感、自感是否增加？ 4）如何繞制無感電阻？ 圖3.7.8 一塊無限大鐵板置于兩線圈的下方 圖3.7.9 一塊無限大鐵板置于兩線圈之間 圖 3.7.10 無感線圈 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 6.3.3 諾依曼公式（Neumann s Formula） 1. 求兩導(dǎo)線回路的互感 互感 ? ? ? ? 21 12 21 1 21 21 dd 4 ll o M RI M

15、 ll? 設(shè)回路 1 通以電流 I1，則空間任意點(diǎn)的磁矢位為 ? ? 1 110 d 4 l R Il A ? 穿過回路 2 的磁通為 ? ? ? 21 2 110 d) d ( 4 ll R I l l? ? ? 2 221 d l lA 圖3.7.11 兩個細(xì)導(dǎo)線電流回路 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 2. 用諾依曼公式計(jì)算回路的外自感 外自感 ? ? ? 21 210 0 dd 4 ll RI L ll? ? ? 1 110 d 4 l R Il A ? 電流 I 在 l2 上產(chǎn)生的磁矢位為 ? ? ? 212 210 2 dd 4 d lll R I ll lA ? 與 l

16、2 交鏈的磁通為 設(shè)電流I 集中在導(dǎo)線的軸線 l1上，磁通穿過外 表面輪廓 l2所限定的面積。 下 頁上 頁返 回 圖3.7.12 線圈的自感 第 六 章電磁感應(yīng) ? 媒質(zhì)為線性； ? 磁場建立無限緩慢（不考慮渦流及輻射）； ? 系統(tǒng)能量僅與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)，與能 量的建立過程無關(guān)。 假設(shè)： 磁場能量的推導(dǎo)過程 6.4.1 恒定磁場中的能量（Magnetic Energy） 6.4 磁場能量與力 Magnetic Energy and Force ? ? ? n k kk n i n j jiij n k kk IIIMILW 1111 2 m 2 1 2 1 2 1 ? ) 0 ( ? i

17、 自有能互有能 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 由矢量恒等式 AHHAAH?)( 6.4.2 磁場能量的分布及磁能密度 ( Energy Distribution and Energy Density) ? ? ? k n k k IW? 1 m 2 1 ? ? ? ? n k k V V k 1 d 2 1 JA ? ? S Vd 2 1 HA ? ? ? ? l A d 2 1 1 n k l k k I ?n 得VVW VV d 2 1 d )( 2 1 m? ?BHAH 0 ? ? SV VBHSAHd 2 1 d)( 2 1 下 頁上 頁返 回 第一項(xiàng)為 0 2 d, 1 ,

18、 1 rS rr 2 ?AH 由于?r所以時， 第 六 章電磁感應(yīng) VVBHdd 2 1 mm? ? VV wW J（焦耳） 磁能密度 ? ? 2 2 m 2 1 2 1 2 1B Hw?BH 3 mJ 磁場能量是以密度形式儲存在空間中。 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) 解: 由安培環(huán)路定律 ? ? ? ? ? ? ? ? 12 1 0 2 2 2 1 0 22 2 ? ? ? ? dlHdlH ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 0 ln 4 1 4 ? ?lI 自感 ? ? ? ? ? ? ? 1 20 2 m ln 4 1 2 2 ? ?l I W L 例 6.4.1 試求長

19、度為 l , 通有電流 I 的同軸電纜 儲存的磁場能量與自感。 磁能? ? VW V d 2 1 m BH ? V V H d 2 1 2 0 ? 1 2 1 1 0 22 ? ? ? ? ? ? ? ?eeH II 212 2 ? ? ? ?eH I 下 頁上 頁返 回 圖3.8.1 同軸電纜截面 第 六 章電磁感應(yīng) 6.4.3 磁場力( Magnetic Field Force) 1. 安培力BlF? ? l Id 解:定性分析場分布 B 板的磁場) ( 2 0 y a I eB? ? A 板受力 ? ? S S BKFd ? ? )( 2 )(d 0 0 y a z a I yb a I

20、 ee ? )( 2 2 0 x a bI e? ? 例3.8.2試求載流導(dǎo)板間的相互作用力。 下 頁上 頁返 回 圖3.8.2 兩平行導(dǎo)板間的磁力 第 六 章電磁感應(yīng) 2. 虛位移法（Method of False Displacement) 電源提供的能量 = 磁場能量的增量 + 磁場力所做的功 ? 常電流系統(tǒng) 外源不斷提供能量，一半用于增加磁能，一半提 供磁場力作功。 constm dd ? ? k I Wgf n個載流回路中， 當(dāng)僅有一個廣義坐標(biāo)發(fā)生位移 dg，系統(tǒng)的功能守恒是 gfWWddd m ? 廣義力 const m ? ? ? ? k I g W f gfII n k kkk

21、 n k k d) 2 1 (d)(d 11 ? ? ? ? 即 下 頁上 頁返 回 第 六 章電磁感應(yīng) ? 常磁鏈系統(tǒng) constm dd ? ? k Wgf ? 磁鏈不變，表示沒有感應(yīng)電動勢，電源不需要提供 克服感應(yīng)電動勢的能量 廣義力 const m ? ? ? ? k g W f ? 取兩個回路的相對位置坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，求出互有磁 能，便可求得相互作用力。 兩種假設(shè)的結(jié)果相同，即 const m const m ? ? ? ? ? ? ? kk g W g W f I? 0d m ?W 下 頁上 頁返 回 第第 六六 章章電磁感應(yīng)電磁感應(yīng) 解：系統(tǒng)的相互作用能為 21m IMIW M

22、? BmT? 用矢量表示為 例 6.4.3 試求圖中載流平面線圈的轉(zhuǎn)矩。 選a為廣義坐標(biāo)，對應(yīng)的廣 義力是轉(zhuǎn)矩， T 0 表示磁路對試棒的作用力為吸力 (沿x軸方 向）, 這也是電磁閥的工作原理。 d? ? NIdH l lH 例 6.4.4 試求磁路對磁導(dǎo)率為?的試棒的作用力， 試棒截面積為。 ba? xabHHd) 22 ( 2 0 2 ? ? d NI H ? 下 頁上 頁返 回 圖3.8.4 磁路對磁導(dǎo)率為m試 棒的作用力 第 六 章電磁感應(yīng) 3. 法拉第觀點(diǎn) 法拉第觀點(diǎn)，通量管沿其軸向方向受到縱張力，垂 直方向受到側(cè)壓力, 其量值都等于 ? ? 22 1 2 1 2 2 B HBHf? N/m 2 圖3.8.7 載流導(dǎo)體位 于鐵板上方 例 3.8.5 試判斷物體受力情況。 下 頁上 頁返 回 圖3.8.5 向量管受力 圖3.8.6 電磁鐵 第 六 章電磁感應(yīng) 若要繼續(xù)充電, 外源必須克服回路的感應(yīng)電動勢做功 , 過