《分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》論文正稿

1、.師學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)論文分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作者*院 ( 系) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級*級學(xué)號指導(dǎo)老師*論文成績?nèi)掌?*年* 月 * 日.專業(yè)資料 .學(xué)生誠信承諾書本人重承諾 : 所呈交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得師學(xué)院或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書所使用過的材料與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意簽名:日期:論文使用授權(quán)說明本人完全了解師學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即: 學(xué)校有權(quán)保留送交論文的

2、復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠秩?，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文簽名:導(dǎo)師簽名 :日期:.專業(yè)資料 .分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用牛紅姣（師學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，455002）摘 要：在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)用分類討論思想，通過正確分類，可以使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答分類討論的思想在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，其解決過程包括多種情形，需要根據(jù)所研究的對象存在的差別，按一定標(biāo)準(zhǔn)把原問題分為幾個(gè)不同的種類，并對每一類逐一地加以分析和討論，再把每一類結(jié)果和結(jié)論進(jìn)行匯總，最終使得整個(gè)問題在總體上得到解決關(guān)鍵詞：正確分類；應(yīng)用；分類討論思想；標(biāo)準(zhǔn)1 簡述分類討論思想由

3、于在研究問題過程中出現(xiàn)了不同情況，從而對不同情況進(jìn)行分類研究的思想，我們稱之為分類討論思想，其實(shí)質(zhì)是一種邏輯劃分的思想，是一種“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略分類討論思想，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時(shí)又是一種重要的解題策略分類討論思想具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，所以在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置2 分類討論的要求、原則及其意義分類討論的要求：正確應(yīng)用分類討論思想，是完整解題的基礎(chǔ)應(yīng)用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學(xué)，統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，在此基礎(chǔ)上減少分類，簡化分類討論過程為了分類的正確性，

4、分類討論必需遵循一定的原則進(jìn)行，在中學(xué)階段，我們經(jīng)常用到的有以下四大原則 : 同一性原則分類應(yīng)按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類根據(jù)可以通過集合的思想來解釋，如果把研究對象看作全集 I ，Ai 是 I 的子集并以此分類，且 A1 A2 An I ，則稱這種分類 A, A, An 符合同一性原則 互斥性原則分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各個(gè)子項(xiàng)相互排斥，分類后不能有些元素既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)即對于研究對象 I ， Ai i 1 n 是 I 的子集，且作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，若 AiAji, j1n, ij ，則稱這種分類符合互斥性原則 相稱性原則分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分

5、后子項(xiàng)外延的總和（并集），應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等 層次性原則分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后的所有的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再次進(jìn)行分類，直到滿足需要為止分類討論的意義：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，對于因?yàn)榇嬖谝恍┎淮_定因素?zé)o法解答或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們往往將問題按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干類或若干個(gè)局部問題來解決，通過正確的分類，能夠克服思維的片面性，可以使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答3 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.1 分類討論思想在集合中的應(yīng)用在集合運(yùn)算中也常常需結(jié)合元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系分類討論，尤其是對一些.專業(yè)資料 .含

6、參數(shù)的集合問題，常需要進(jìn)行分類討論求解例 1設(shè) A x |2xa, B y | y2 x3, xA, C z | zx 2 , xA,且 CB ，求實(shí)數(shù) a 的取值圍分析當(dāng)2xa 時(shí) zx2 的圍與實(shí)數(shù) a 取值的正負(fù)號， a 與 2 的大小均有關(guān)系，因此必須對 a 分情況討論，從而得到集合 C ，再根據(jù) CB ，求出 a 的取值圍解Ax2xa ，By y2x3, xAy1y2a3 當(dāng)2a0 時(shí)， C z | a 2z4 ，因?yàn)?CB ，所以 42a3，解得a 1 ，2與 2 a 0 矛盾 當(dāng) 0 a 2 時(shí)， C z | a 2 z 4 ，因?yàn)?C B ，所以 4 2a 3 ，解得a 1 ，

7、2故1a22 當(dāng) a 2 時(shí)， C z | 0za 2 ，因?yàn)?CB ，所以 a22a3 ，解得1a3 ，故2a3 綜上可得1a3 a23.2分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用3.2.1分段函數(shù)中的分類討論例 2已知函數(shù) f ( x) x3x 1 ，作函數(shù) f ( x) 的圖像分析f ( x) 是分段函數(shù)，沒有統(tǒng)一的表達(dá)式，所以按其零點(diǎn)分區(qū)間討論解 當(dāng) x1 時(shí)，f (x) 3xx12x 2 ； 當(dāng)1 x3 時(shí)，f ( x)3xx1 4 ； 當(dāng) x3 時(shí)，f (x)x3x12x2 ；即.專業(yè)資料 .2x2, x1f ( x)4, 1x3 2x2, x3故 f (x) 的函數(shù)圖像為如圖（ 1）所示:圖（

8、1）3.2.2函數(shù)中含參數(shù)的分類討論例 3已知函數(shù) f x2x 22ax3 在區(qū)間1,1 上有最小值，記作 g(a) ，求 g(a) 的函數(shù)表達(dá)式解原式配方得y 2( xa)23a2，22其對稱軸方程為xa ， 當(dāng) a21時(shí)，即 a2時(shí)， y 在 1,1上遞增，2在 x1時(shí)，g(a)2a 5 ； 當(dāng) 1a2a 2 時(shí)，1時(shí)，即2在 x a 處有最小值，2g(a)3a2； 當(dāng) a21 即 a2 時(shí)， y 在1,1 上單調(diào)遞減，2在 x1時(shí)，g(a)52a ；綜上所述可得2a5,( a2)g(a) 3a2,( 2a 2) 252a,( a2).專業(yè)資料 .3.3分類討論思想在不等式中的應(yīng)用3.3.

9、1涉及運(yùn)算要求的分類討論我們在解題過程中，往往將式子變形或轉(zhuǎn)化為另外一個(gè)式子來進(jìn)行解題和運(yùn)算，很多變形和運(yùn)算是受條件限制的，如解不等式當(dāng)兩邊同時(shí)乘（除）以一個(gè)代數(shù)式時(shí)，要考慮代數(shù)式的值是否為負(fù)；解無理不等式時(shí)，去掉根號要考慮兩邊是否都大于 0 等等例 4解不等式 x 1 x 3分析解此不等式需要去掉根號，而去掉根號時(shí)，需要考慮兩邊是否同為正，才能同時(shí)平方而不改變不等號方向，因此根據(jù)運(yùn)算要求進(jìn)行分類討論解原不等式等價(jià)于x10 ，x30或x10x30；x1x23解得1x3，或3x5 原不等式解集為x 1x5 3.3.2 含參數(shù)不等式的分類討論例 5解關(guān)于 x 的不等式 x2(a a2 ) xa30

10、 分析原不等式是關(guān)于 x 的一元二次不等式，可化為( xa)( xa2 ) 0 由于 a 與 a 2 無法確定，此不等式無法解下去，因此對 a 進(jìn)行討論，討論的著眼點(diǎn)應(yīng)該在 a 與a 2 的大小上解 當(dāng) 0 a1時(shí)， aa2 ，不等式的解集為x xa 2或 xa ； 當(dāng) a0 時(shí)， aa2 ，不等式解集為x xR且x0 ； 當(dāng) a1時(shí)， aa 2 ，不等式解集為x xR且 x1 ； 當(dāng) a1 或 a0時(shí)， aa2 ，不等式解集為x 0 xa且xa 2 3.4分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用分類討論思想在排列組合中也常見，尤其是解含有約束條件的排列組合問題時(shí)，運(yùn)用分類討論的方法可以把復(fù)雜的問題化為

11、簡單的問題例 6 在正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)中，12 條棱的中點(diǎn)，6 個(gè)面的中心及正方體的中心共 27 個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少？.專業(yè)資料 .解依題意，共線的三點(diǎn)組可以分為三類 : 兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有87228 （個(gè)）； 兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組，共有61（個(gè)）；23 兩端點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有123（個(gè)）；218所以總共有 28 3 1849 （個(gè)）例 7 甲、乙、丙3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中參加某項(xiàng)志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一個(gè)人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排共有多少方法？解 本題考查排列組合，按甲參加的日期分類

12、: 甲周一參加，乙和丙在剩下的 4 天中選兩天參加，共有 A42 種； 甲周二參加，同理可知有 A32 種； 甲周三參加，有 A22 種；222根據(jù)加法原理可知，總共有 A4A3A220 種在有些數(shù)列問題中存在不確定的因素，如等比數(shù)列的公比 q 是否為1；數(shù)列的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)還是奇數(shù)等等，就那樣的數(shù)列問題，我們要進(jìn)行分類討論， ，2，3，例 8 已知數(shù)列 1 2x 3x4x求它的前 n 項(xiàng)和分析 本題未指明數(shù)列為等比數(shù)列，所以分類討論時(shí)還要考慮 x0這一情況解 設(shè) Sn1 2x 3x 2nx n 1 ， 當(dāng) x0時(shí)，Sn 1 ； 當(dāng) x1時(shí)，Sn123nn n1 ； 當(dāng) x0 且 x1 時(shí)，2

13、由S12x3x 2nx n 1 ，n得xSx 2x23x 3n 1 x n 1nx n ，n兩式相減:1 x Sn1 x x2xn 1nxn1x nn，1xnxnn1 xnx1x Sn12x綜上所述.專業(yè)資料 .1,x0n( n1),( x1)Sn21xnnxn (1x) ,( x 0, x1)(1x) 212例 9已知數(shù)列an 的前 n 和為Sn ，滿足關(guān)系式Snan，且 an0 ，若2bn1 n Sn ，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)的和 Tn 解 當(dāng) n 1時(shí)，由a1S1a112得a11 ； 當(dāng) n 2時(shí)，由an12an SnSn12得anan 1 anan 12an0 ， an an 12

14、，2，2an 11，20 即 an是首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列，從而Snn2 ， b1 n S1 n n 2 nn 當(dāng) n2m m N，即偶數(shù)時(shí)，TnT2m122232422m1 22m 22 21242322m 22m1 22m 2m1n n1 ；22 當(dāng) n 2m 1 mN ，即奇數(shù)時(shí)，TnT2m 1T2mb2 mn n 1n 2n n 1 22綜上所述Tn1 nn n 1 , n N 3.62分類討論思想在圓錐曲線中的應(yīng)用例 10如圖（2）所示，給定點(diǎn) A a，0a 0 和直線 l 上的動點(diǎn) AB ，BOA 的角平分線交AB 于點(diǎn) C ，求點(diǎn) C 的軌跡方程，并說什么曲線.專業(yè)資

15、料 .（圖2）分析由于動點(diǎn)因點(diǎn)在直線 l 上的位置的變動而變化，故設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)1,b ，b為參數(shù)，由題意知 C 點(diǎn)應(yīng)為 b 的表達(dá)式，消去參數(shù)，即得 C 點(diǎn)的軌跡方程本體的關(guān)鍵是如何求 C 點(diǎn)的坐標(biāo)，方法有多種，如利用角平分線的定義，性質(zhì)可得解 依題意，記 B(1, b), (bR) ，則直線 OA 和 OB 的方程分別為 y0和 ybx 設(shè)點(diǎn) C x, y，則有0xa ，由點(diǎn)到直線的距離公式得yybx1b 2點(diǎn) C 在直線 AB 上，故ybxa，1 a由 x a 0得b1a yxa將代入得y21a x22ax1ay20 若 y0，則1 a x22ax1 a y20 0xa ； 若 y0，則

16、b 0， AOB，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為0,0，滿足上式綜上得點(diǎn) C 的軌跡方程為1 a x 22ax 1 a y 20 0 x a此軌跡方程里含有參數(shù) a ，因參數(shù) a 的值的不同而導(dǎo)致曲線的形狀不同，從而需要對參數(shù) a分情況討論 當(dāng) a1 時(shí)，方程化為y 2x 0xa此時(shí)，方程表示為拋物線弧段； 當(dāng) a1時(shí)，軌跡方程為.專業(yè)資料 .a2x21 ay1 0 x aa2a 21a21a2所以，當(dāng) 0a1 時(shí)，方程表示橢圓弧段，當(dāng) a 1時(shí)，方程表示雙曲線支的弧段3.7 分類討論思想在立體幾何中的應(yīng)用點(diǎn)，線，面是組成幾何圖形的三個(gè)要素，有些立體幾何題中，這三者的位置關(guān)系是不確定的，因此要對每種情況進(jìn)行

17、分類討論求解，這樣防止漏解下面一題是涉及點(diǎn)與線的位置關(guān)系不確定的分類討論例 11線段 AB 與平面 平行，平面的斜線 A1 A，B1 A 與平面所稱的角分別 30 和60且 A1ABB1 BA90 ， AB a ， A1 B1b(b 0) ，求 AB 與平面的距離分析作 AC，垂足為 C ，則 AC 即為所求距離作 BD，垂足為 D ，Q AB/AB / /CD ，由已知可證 AB面 A1 AC ，同理可證 AB面 B1BD ，面 A1 AC / / 面 B1BD ，由面面平行的性質(zhì)定理可知 A1C / / B1D 考慮到 A1, B1 在 CD 的同側(cè)或 CD 異側(cè)，所以分兩種情況討論解 如

18、圖（ 3）， A1 , B1 在 CD 的同側(cè)時(shí)，過點(diǎn) B1 作 B1E A1C ，垂足為 E ，由已知 AA1C 30 ， BB1 D 60 設(shè) ACx ，則可用 x 表示，在 Rt A1EB1 中，利用勾股定理列方程，解得x3b2a2 2圖(3)圖 (4) 如圖（4）， A1, B1 在 CD 異側(cè)時(shí)，在平面作 A1EB1D ，交其延長線于 E ，同理可得AC3b2a243.8分類討論思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用近幾年來，考試命題從知識轉(zhuǎn)向能力測試，出現(xiàn)了大量有鮮活背景的實(shí)際應(yīng)用題，這種應(yīng)用題，往往需要有分類討論的思想才能順利解決其解題思路是：用數(shù)學(xué)的語言加以表達(dá)和交流，敏捷的接受試題所提供的信

19、息，并和所學(xué)的有關(guān)知識相結(jié)合，確定適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把一個(gè)復(fù)雜的應(yīng)用題分解成幾個(gè)較簡單的問題，從而使問題獲解例 12有一批貨物，如在本月初出售，可獲利 10 萬元，然后將本利都存入銀行，每月利.專業(yè)資料 .率為 2.4% ，如在下月出售，可獲利12 萬元，但要付 0.5 萬元貨物保管費(fèi)，試問這批貨物在本月初出售合算還是下月初出售合算 ?解設(shè)這批貨物的成本 a 萬元 若這批貨物在本月初出售，將本利存入銀行，到下月初貨主有金額m a 10 1 2.4% ； 若這批貨物在下月初出售，貨主有金額為na120.5 ； mn0.024a1.260.024 a52.5 ，當(dāng)成本 a52.5 時(shí)，應(yīng)該本月初出售

20、合算；當(dāng)成本 a 52.5 時(shí)，在本月初出售或下月初出售都一樣；當(dāng)成本 a 52.5 時(shí)，在下月初出售合算4 如何簡化分類討論分類討論是一種重要的解題策略，但他不是萬能的，不是唯一的，對于分類討論的問題，在熟悉和掌握分類討論的同時(shí)，要注意克服盲目討論的思維定勢，要認(rèn)真審查題目的特點(diǎn)，充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能避免分類討論，簡化分類討論過程，從而提高分類討論的效果下面對于避免和簡化分類討論簡單舉個(gè)例子：例 13關(guān)于 x 的方程x222m210 至少有1個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值圍mx分析本題若正面考慮，則必須分為下列 3 種情況加以討論 : 有 2 個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根； 有 1個(gè)正實(shí)數(shù)根和

21、1個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根； 有 個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根和個(gè)零根11顯然，這樣解題過程繁瑣冗長，又容易產(chǎn)生錯(cuò)誤我們可以從命題的反面入手，即先從方程沒有負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)探求實(shí)數(shù) m的圍 A ，再求出至少有 1個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí) m 的圍（為 m 的補(bǔ)集）解 設(shè)全集Um0m1 m1，設(shè)方程沒有負(fù)實(shí)數(shù)根，即只有正實(shí)數(shù)根或零根時(shí) m 的圍為集合 A 由0x1x20，x1x20得1m12m02m10所以 1 m2 ，即2Am1m2 2所以集合 A的補(bǔ)集是m |21 m2故實(shí)數(shù) m 的取值圍是2m1 m2.專業(yè)資料 .5 總結(jié)通過探討分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中集合，函數(shù)，不等式，排列組合等中的應(yīng)用，我們應(yīng)用正確的分類討論思想，對不同情況進(jìn)行分類

22、研究，使問題化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整，從而使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答分類討論的思想方法在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，其解決過程包括多種情形，不可一概而論，難以用統(tǒng)一的形式或同一種方法進(jìn)行處理，需要根據(jù)所研究的對象存在的差別，按一定標(biāo)準(zhǔn)把原問題分為幾個(gè)不同的種類，并對每一類逐一地加以分析和討論，再把每一類結(jié)果和結(jié)論進(jìn)行匯總，最終使得整個(gè)問題在總體上得到解決參考文獻(xiàn)1 文武. 中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想分類討論思想 M ，科學(xué)，2003.11.4.2 曹軍. 數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)研究 M ，師大學(xué)， 2001.專業(yè)資料 .3 光立. 最新高中數(shù)學(xué)應(yīng)用開放題大全 M ，第一版，教育， 2004.5.4 呂鳳祥. 中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法 M ，工業(yè)大學(xué)， 2003.5 紹春. 名師視點(diǎn)（高中數(shù)學(xué)不等式） M ，東北師大學(xué)， 2007.3.1.6 北京天利考試信息網(wǎng) . 高考真題隨時(shí)練 - 數(shù)學(xué)（天利 38 套），人民出社,2009.7.1.The Application of Categorized Discussion inSecondary School MathematicsNiu Hong-jiao(Schoo