3不等式的證明

1、04-03 不等式的證明 二）點一點明確目標不等式證明方法多，證法靈活，要熟練掌握其中的比較法、分析法、綜合法；并能創(chuàng)造 性地輔以其他方法.做一做熱身適應(yīng)1分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的條件答案：充分2. 0 , an=bn 0,則am與bm的大小關(guān)系 是.解讀：若d=0或q=1，則am=bm.若 d 豐 0，畫出 an=ai+ bm，故ambm.答案：ambm0, a2n+1 = b2n+1 0bc,則因 + 習 因. b c, +)a c)=+.)a b) + 2| 2- n =4. M + 日.答案：4.2005年春季北京，8)若不等式 1) nav 2+ I對任意n N*恒

2、成立，則實數(shù) a的取值范圍是A. 2,) B. 2,)C. 3,) D. 2 ：| .而一2 為增函數(shù),2 a2.故 a 2,)答案：A5.2D.|a|+|b| |a+b|解讀：由v v 0，知bv a v 0. A不正確.答案：A理一理一一疑難要點1. 用綜合法證明不等式：禾U用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式以及函數(shù)的單調(diào)性導出 待證不等式的方法叫綜合法，概括為“由因?qū)Ч?. 用分析法證明不等式：從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個不等式成立的充分條件 的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”3. 探求不等式的證法一般用分析法，敘述證明過程用綜合法較簡，兩法結(jié)合在證明不等 式中經(jīng)常遇到.4. 由于

3、高考試卷不會出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合 在一起，所以在教案中，不等式的證明除常用的三種方法外，還需注意其他方法，如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法 特別是三角換元)、放縮法以及數(shù)學歸納法等.有時還會采用放縮、數(shù)形結(jié)合、反證等策略.撥一撥思路方法【例 1】設(shè)實數(shù) x、y 滿足 y+ x2= 0, 0v av 1.求證：loga0, ay0,ax+ ay 2 勻=2 厶I ./x /= ：| 2 日=2a .耳-I-log a 2 a即可.【例2】 已知a、b、c R+，且a+b+c=1.求證：1 + a) 1 + b) 81 a) 1 b) 1 c).剖析：在條件

4、“ a+b+c=1 ”來困難，若用“ a+b+c ”換成 問題.證明： a、b、c R+且要證原不等式成立，即證a+b+c ) +a 的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶“ 1 ”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實質(zhì)，解決a+b+c=1 ,a+b+c ) +b 8 a+b+c )a a+b+c) b a+b+c) c.也就是證 a+b) +c+a) a+b) +b+c) c+a) +b+c)8b+c )c+a ) a+b )./ a+b) + 0,b+c) + 2 0,c+a) + 2三式相乘得式成立.故原不等式得證.【例3】已知a 1, n2, n N*證法一：要證

5、一1 v -| ,即證av 0,貝U a=t+1.也就是證t+1 v 1+ H ) n.- 1+) n=1+C+C 1+t,即 一1 v /J成立.證法二：設(shè) a=xn, x 1.于是只要證 x-1,即證因 n.聯(lián)想到等比數(shù)列前 n項和1+x+xn-1= 兇 ，倒序xn-1+xn-2+1= 白.+得 2 工=1 + xn-1) +x+xn-2) + + 2 I +2 I + +2I 2n.燈 n.【例4】求證：匕 I + I .證明：令fx)剖析：|a+b|w ai+|b|,故可先研究fx) = 0)的單調(diào)性 | 0)，易證fx)在0, + g)上單調(diào)遞增|a+b|w|a|+|b|, f|a+

6、b|)w f5ax2+9a3成立的充要條件是 解讀：x3+13a2x)- 5ax2+9a3)32“ 2 小 3=x 5ax +13a x- 9a22=x- a) x 4ax+9a )22=x- a) 0.當 xm 2a 0 時，有 0.由題意故只需x-a 0即x a，以上過程可逆.答案：xa2. 已知a、b是不相等的正數(shù)，x= 卜：.,y= 亠 ，則x、y的關(guān)系是A.x yB.y xC.x yD.不能確定解讀： x2= zJ + 冋)2= a+b+2 回),y2=a+b= ：| ：| 0, y0. yx.答案：B3. 已知 abc且 a+b+c=0,求證： v 勺 a.證明：要證二！ v r

7、a,只需證b2 acv3a2,即證 b2+aa+b)v 3a2,即證 a b) 0,即證 a b) 0./ a b c,. a b) 0 成立.原不等式成立.4. 已知 a+b+c=0，求證：ab+bc+caw 0.證法一： 綜合法)T a+b+c=0,2- a+ b+c)= 0.展開得 ab+bc+ca= 亠 ab+bc+caw 0.證法二： 分析法)要證 ab+bc+ca 0,/ a+b+c=0,故只需證 ab+bc+caw 0,亦即證：| a+ b) 2b+ c) ?+ c + a)0.而這是顯然的，由于以上相應(yīng)各步均可逆，原不等式成立.證法三：T a+b+c=0， c= a+b.2 a

8、b+ bc+ ca=ab+b+ a) c=ab a+b)=a2 b2 ab=- b c.求證：Tv cv 0.證明： a2+b2+c2=1,2 2 va+b) 2ab+c =1. 2ab=a+b) +( 1= b c.令 fvx) =x2+vc 1) x+c2 c,貝6. 已知”恥|=1，求證：方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根.證明：由I =1，二 b= |.二 b2=+ c) 2=冃 +2ac+2c2=4ac+ * c) 24ac.方程ax2+ bx+c=0有實數(shù)根.7. 設(shè)a、b、c均為實數(shù)，求證： 上+岡+岡 兇+區(qū)| +兇.證明： a、b、c均為實數(shù)，川 因 ，當a=b時等號成立；岡+岡因兇 ，當b=c時等號成立； 1.求證：a、b、c、d中至少有一個是負數(shù).證明：假設(shè)a、b、c、d都是非負數(shù)，/ a+b=c+d=1, a+ b) ac+bd.這與ac+bd 1矛盾.所以假設(shè)不成立，即 a、b、c、d中至少有一個負數(shù).想一想一一拓展發(fā)散已知a、b為正數(shù)，求證：，則對于任何大于 1的正數(shù)x,恒有ax+日 b成立；b成立，則 +1 .分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：證明過程中代入條件；由條件變形得出要證的不等式.證明：1) ax+ 因=a2 兇 +1 +