我的高考--橢圓知識點總結(jié)

1、橢圓知識點一、橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù), 這個動點 的軌跡叫橢圓 . 這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段若，則動點的軌跡無圖形.；二、橢圓的標準方程1當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中2當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；注： 1只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；2在橢圓的兩種標準方程中，都有和；3橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，三、橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓：的簡單幾何性質(zhì)（ 1）對稱性：對于橢圓標準方程

2、說明：把換成、或把換成、或把、同時換成、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（ 2）范 圍：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足，。（ 3）頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。 橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為， 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（ 4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。 因為，所以的取值范圍是。越接近 1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之， 越接近于 0， 就

3、越接近 0，從而 越接近于 ，這時橢圓就越接近于圓。 當且僅當時，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A， 方程為。注：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如右圖）：（ 1）；（橢圓的第二定義）；（ 2）；（ 3）；四、橢圓與的區(qū)別和聯(lián)系標準方程圖形焦點，焦距范圍，對稱性關(guān)于 軸、軸和原點對稱頂點，性質(zhì)長軸長 =，短軸長 =軸長離心率準線方程焦半徑，注：關(guān)于橢圓與的說明：相 同 點 ： 形 狀 、 大 小 都 相 同 ； 參 數(shù) 間 的 關(guān) 系 都 有和，；不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標也不相同。規(guī)律方法：1、如何確定橢圓的標準方程？任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標

4、原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：2、橢圓標準方程中的三個量的幾何意義橢圓標準方程中，三個量的大小與坐標系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，且。可借助右圖理解記憶：顯然：恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中 a是斜邊， b、 c 為兩條直角邊。3、如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看 ， 的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4、方程 是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以

5、只有A、B、C同號，且 A B 時，方程表示橢圓。 當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上。5、求橢圓標準方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是 “先定型， 再定量”； 定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點的橢圓標準方程形式上的差異共焦點， 則 c 相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關(guān)于軸、軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱； 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對

6、稱； 若把曲線方程中的、 同時換成、，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8如何求解與焦點三角形PF1F2（ P 為橢圓上的點）有關(guān)的計算問題？思路分析：與焦點三角形 PF1F2 有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理） 、三角形面積公式相結(jié)合的方法進行計算解題。將有關(guān)線段，有關(guān)角() 結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系 .焦點三角形面積公式：(P 為橢圓上任一一點)9如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為，用表示為。顯然：當越小時，越大，橢圓形狀越扁；當越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。（一）橢圓及其性質(zhì)1、橢圓的定義（1）平面內(nèi)與兩

7、個定點F1，F(xiàn)2 的距離的和等于常數(shù)（大于|F1 F2| ）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。（2）一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù)，那么這個點的軌跡叫做橢圓其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)就是離心率2、橢圓的標準方程：3、橢圓的參數(shù)方程4、離心率 :橢圓焦距與長軸長之比5、橢圓的準線方程：左準線右準線（二）、橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式：焦點在 x 軸上的橢圓的焦半徑公式：（ 其中分別是橢圓的左右焦點）焦點在 y 軸上的橢圓的焦半徑公式：（ 其中分別是橢圓的下上焦點）（三）、直線與橢圓問題（韋達定理的運用）1 、弦 長 公

8、 式 ： 若 直 線與 圓 錐 曲 線 相 交 與、兩 點 ，則：弦長例 1.已知橢圓及直線 y x m。（ 1）當直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；（ 2）求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程。x2y22、已知弦 AB的中點，研究 AB的斜率和方程AB是橢圓 a2 b2 1(ab0)的一條弦，中點M坐標為 (x0 ， y0) ，b2x0則 AB的斜率為 a2y0 .運用點差法求AB的斜率，設(shè)A(x1 ， y1) ， B(x2 ，y2) x12y12a2 b2 1，A、 B 都在橢圓上，x22y22a2 b2 1，x12 x22 y12 y22 0，兩式相減得：a2b2 錯誤 ! 錯誤

9、 ! 0，y1 y2即： x1 x2錯誤 ! 錯誤 ! .b2x0故： kAB a2y0.例 2、過橢圓內(nèi)一點引一條弦， 使弦被點平分， 求這條弦所在直線的方程。（四）、四種題型與三種方法四種題型1、已知橢圓 C： 內(nèi)有一點 A（ 2，1），F(xiàn) 是橢圓 C 的左焦點， P 為橢圓 C 上的動點 .求： PA + PF的最小值。2、已知橢圓內(nèi)有一點A（ 2，1）， F 為橢圓的左焦點，P 是橢圓上動點 .求： PA +PF| 的最大值與最小值。3、已知橢圓外一點A（ 5， 6），l為橢圓的左準線，P 為橢圓上動點，點P 到l的距離為d，求：|PA|+的最小值。4、定長為 d() 的線段 AB 的

10、兩個端點分別在橢圓上移動 .求： AB的中點 M到橢圓右準線的最短距離。三種方法1、橢圓的切線與兩坐標軸分別交于A,B 兩點，求：三角形OAB的最小面積。2、已知橢圓和直線 l:x-y+9=0，在 l 上取一點M ，經(jīng)過點M且以橢圓的焦點 為焦點作橢圓，求 M在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程 。3、過橢圓的焦點的直線交橢圓A,B 兩點，求面積的最大值。課后同步練習1.橢圓的焦點坐標是,離心率是 _，準線方程是 _.2.已知 F1、F2 是橢圓的兩個焦點，過F1 的直線與橢圓交于M、N 兩點，則 MNF2的周長為 ()A8B16C 25D 323.橢圓上一點 P 到一個焦點的距離為5，

11、則 P 到另一個焦點的距離為（）A. 5B. 6C. 4D. 104.已知橢圓方程為, 那么它的焦距是（）A. 6B. 3C. 3D.5.如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數(shù)k 的取值范圍是A.（ 0，+）B.(0,2)C.(1,+ )D.(0,1)6設(shè)為定點， |=6 ，動點 M滿足，則動點 M的軌跡是（）A.橢 圓B.直 線C.圓D. 線段7.已知方程+=1，表示焦點在y 軸上的橢圓，則m的取值范圍為 .8. 已知橢圓的兩個焦點坐標是F1（ -2 ， 0）， F2（ 2， 0），并且經(jīng)過點P（），則橢圓標準方程是_9.過點A（ -1 ，-2 ）且與橢圓的兩個焦點相同的橢圓標準方程是 _1

12、0.過點 P（， -2 ）， Q（ -2， 1）兩點的橢圓標準方程是_ _11.若橢圓的離心率是，則 k 的值等于.x212. 已知 ABC的頂點 B、 C 在橢圓 3 y21 上，頂點 A 是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC 邊上，則 ABC 的周長是.13.F1、F2 分別為橢圓+ =1 的左、右焦點，點 P 在橢圓上， POF2是面積為的正三角形，則 b2的值是14.設(shè) M是橢圓上一點， F1、F2 為焦點，則15.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準線的距離為1，則該橢圓的離心率為(A)(B)(C)(D)16.設(shè)是右焦點為的橢圓上三個不同的點，則“成等差數(shù)列”是“”的（）（ A）充要條件（ B）必要不充分條件（ C）充分不必