2021年高考數(shù)學(xué)《考前30天大題沖刺》練習(xí)十三(含答案詳解)

1、2021年高考數(shù)學(xué)考前30天大題沖刺練習(xí)十三在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B.(1)求證:c=2b;(2)若ABC的面積S=5b2-a2,求tan A的值.某學(xué)校為鼓勵(lì)家?；?dòng)，與某手機(jī)通訊商合作，為教師辦理流量套餐為了解該校教師手機(jī)流量使用情況，通過(guò)抽樣，得到100位教師近2年每人手機(jī)月平均使用流量L(單位：M)的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如下：若將每位教師的手機(jī)月平均使用流量分別視為其手機(jī)月使用流量，并將頻率視為概率，回答以下問(wèn)題(1)從該校教師中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至多有1人手機(jī)月使用流量不超過(guò)300 M的概率；(2)現(xiàn)該

2、通訊商推出三款流量套餐，詳情如下：這三款套餐都有如下附加條款：套餐費(fèi)月初一次性收取，手機(jī)使用流量一旦超出套餐流量，系統(tǒng)就自動(dòng)幫用戶充值200 M流量，資費(fèi)20元；如果又超出充值流量，系統(tǒng)就再次自動(dòng)幫用戶充值200 M流量，資費(fèi)20元，以此類推，如果當(dāng)月流量有剩余，系統(tǒng)將自動(dòng)清零，無(wú)法轉(zhuǎn)入次月使用學(xué)校欲訂購(gòu)其中一款流量套餐，為教師支付月套餐費(fèi)，并承擔(dān)系統(tǒng)自動(dòng)充值的流量資費(fèi)的75%，其余部分由教師個(gè)人承擔(dān)，問(wèn)學(xué)校訂購(gòu)哪一款套餐最經(jīng)濟(jì)？說(shuō)明理由如圖1所示，正ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖2所示.(1)試判斷直線A

3、B與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求二面角E-DF-C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使APDE？證明你的結(jié)論.已知橢圓C的離心率為，長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0).（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線A1P，A2Q交于S，試問(wèn)：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.若xD,總有f(x)F(x)M10在x(-1,0)恒成立,求M的值.(e=2.718是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),21.414,2131.260)參考答案 (1)證明:ABC中,由sin A=si

4、n(B-C)+2sin 2B,得sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展開(kāi)化簡(jiǎn)得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因?yàn)锽,所以cos B0,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)解:因?yàn)锳BC的面積為S=5b2-a2,所以有12bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入得b2sin A=4b2cos A,所以tan A=4.解：(1)記“從該校隨機(jī)抽取1位教師，該教師手機(jī)月使用流量不超過(guò)300 M”為事件D.

5、依題意，P(D)=(0.000 80.002 2)100=0.3.從該校教師中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中手機(jī)月使用流量不超過(guò)300 M的人數(shù)為X，則XB(3,0.3)，所以從該校教師中隨機(jī)抽取3人，至多有1人手機(jī)月使用流量不超過(guò)300 M的概率為P(X=0)P(X=1)=C0.30(10.3)3C0.3(10.3)2=0.3430.441=0.784.(2)依題意，從該校隨機(jī)抽取1位教師，該教師手機(jī)月使用流量L(300,500的概率為(0.002 50.003 5)100=0.6，L(500,700的概率為(0.000 80.000 2)100=0.1.當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)A套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的

6、月費(fèi)用為X1元，則X1的所有可能取值為20,35,50，且P(X1=20)=0.3，P(X1=35)=0.6，P(X1=50)=0.1，所以X1的分布列為所以E(X1)=200.3350.6500.1=32(元)當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)B套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為X2元，則X2的所有可能取值為30,45，且P(X2=30)=0.30.6=0.9，P(X2=45)=0.1，所以X2的分布列為所以E(X2)=300.9450.1=31.5(元)當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)C套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為X3元，則X3的所有可能取值為38，且P(X3=38)=1，所以E(X3)=381=38(元)因?yàn)镋(X2)

7、E(X1)E(X3)，所以學(xué)校訂購(gòu)B套餐最經(jīng)濟(jì)解：(1)AB平面DEF，理由如下：在ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點(diǎn)，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以D為原點(diǎn)，分別以DB，DC，DA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(xiàn)(1，0)，易知平面CDF的法向量為=(0,0,2)，設(shè)平面EDF的法向量為n=(x，y，z)，則即取n=(3，3)，則cos，n=，二面角E-DF-C的余弦值為.(3)存在.證明如下：設(shè)P(x，y,0)，則=y2=0，y=.又=(x2，y,0

8、)，=(x,2y,0)，(x2)(2y)=xy，xy=2.把y=代入上式得x=，P，=，點(diǎn)P在線段BC上.在線段BC上存在點(diǎn)P，使APDE.解：（1）設(shè)橢圓C的方程為，橢圓C的方程為；（2）取，得，直線的方程是，直線的方程是，交點(diǎn)為.若，由對(duì)稱性可知，若點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為l：.以下證明對(duì)于任意的m，直線與的交點(diǎn)S均在直線l：上，事實(shí)上，由，得，記，則，記與l交于點(diǎn)，由，得，設(shè)與交于點(diǎn)，由，得，即與重合，這說(shuō)明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線l：上. (1)證明:令(x)=ex-1-x,則(x)=ex-1.當(dāng)x0時(shí),(x)(0)=0,故對(duì)x(-1,0)都有ex1+x.再令t(x)=ex-1-x-,當(dāng)x0,故t(x)在(-1,0)上為增函數(shù).因此t(x)t(0)=0,所以對(duì)x(-1,0)都有ex2(1+x)+-222-20.828.又h(x)=2ex+-22(1+x+)+-2=x2+2x+,令m(x)=x2+2x+=(x+1)2+-1,m(x)=2(x+1)-,令m(x)=0,解得x=-1+(12),易得m(x)在(-1,-1+(12)上單調(diào)遞減,在(-1+(12),0)上單調(diào)遞增,則m(x)min=m(