7A版1994考研數(shù)一真題及解析

1、7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1994 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題 一、填空題(本題共 5個(gè)小題,每小題 3分,滿分15 分.) 11 (1) lim cot x( ) . x 0 sin x x (2) 曲面 z ez 2xy 3在點(diǎn)(1,2,0) 處的切平面方程為 . 2 (3) 設(shè)u e xsin x,則 u 在點(diǎn) (2, 1 )處的值為. y x y 2 2 (4) 設(shè)區(qū)域 D 為 x2 y2 R2,則 (x2 y2 )dxdy . D a b (5) 已知(1,2,3),(1,1 , 1) ,設(shè)A T ,其中 T 是 的轉(zhuǎn)置,則 An 23 二、選擇題(本題共 5個(gè)小題,每小題

2、3分,滿分15 分.) 2 sinx 4 2 3 4 2 2 3 4 (1)設(shè)M 22 cos xdx,N(sin x cos x)dx,P(x sin x cos x)dx, 2 1 x 2 2 則() (A) N P M (B)M P N (C)N M P (D) P M N (2) 二元函 數(shù) f(x, y)在點(diǎn)( x0 , y0 )處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) fx(x0,y0) 、 fy(x0,y0)存在是 f (x, y) 在該點(diǎn)連續(xù)的 () (A)充分條件但非必要條件 (B) 必要條件而非充分條件 (C)充分必要條件 (D) 既非充分條件又非必要條件 |a | (3) 設(shè)常數(shù)0,且級(jí)數(shù) an2

3、收斂,則級(jí)數(shù) ( 1)n |a2n| () n1 n 1n2 (A)發(fā)散(B)條件收斂 (C)絕對(duì)收斂 (D) 收斂性與 有關(guān) (4) lim atanx b(1 cosxx)22,其中 a2 c2 0,則必有() x 0 cln(1 2x) d(1 e x ) (A) b 4d (B)b 4d (C)a 4c(D) a 4c (5) 已知向量組 1、 2、 3、 4線性無(wú)關(guān),則向量組 () (A) 1 2 、 2 3、 3 4 、 4 1線性無(wú)關(guān) 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 (B) 1 2 、 2 3 、 3 4 、 4 1 線性無(wú)關(guān) (C) 12 、23 、34 、41 線

4、性無(wú)關(guān) (D) 12 、23、34、41線性無(wú)關(guān) 三、(本題共 3 2小題 ,每小題 5 分 ,滿分 15 分.) x cos(t ), 2 (1) 設(shè)2t7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1求 dy、 d 2y在t的值. y t cos(t2 )cosudu, dx dx22 (2) 將函數(shù) f(x) 1ln12xu 1 arctan x x展開(kāi)成 x的冪級(jí)數(shù). 4 1 x 2 (3)求 dx sin2x 2sin x 四、( 本題滿分 6 分) 2 計(jì)算曲面積分 xdy2dz 2z dx2dy ,其中S是由曲面x2 y2 R2及兩平面 z R, S x2 y2 z2 z R(R 0) 所圍成立體表面的

5、外側(cè) . 五、( 本題滿分 9 分) 設(shè) f ( x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) , f(0) 0, f (0) 1,且 xy(x y) f(x)ydx f (x) x2ydy 0為一全微分方程 ,求 f (x)及此全微分方 程的通解 . 六、( 本題滿分 8 分) 設(shè) f(x)在點(diǎn) x 0的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,且lim f (x) 0 ,證明級(jí)數(shù) 1x f ( 1)絕對(duì)收斂 . n 1 n 七、( 本題滿分 6 分) 已知點(diǎn) A與B的直角坐標(biāo)分別為 (1,0,0)與(0,1,1).線段 AB繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周所 圍成的旋轉(zhuǎn)曲面為 S.求由 S及兩平面 z 0,z 1所圍成的立體體積 . 八、(

6、 本題滿分 8 分) x x 0, 設(shè)四元線性齊次方程組 ( ) 為 1 2 又已知某線性齊次方程組 ( )的通 x2 x4 0, 解為 k1(0,1,10) k2( 1,2,2,1) . 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 (1) 求線性方程組 ( ) 的基礎(chǔ)解系； (2) 問(wèn)線性方程組 ( )和 ( )是否有非零公共解？若有 ,則求出所有的非零公共 解.若沒(méi)有,則說(shuō)明理由 . 九、( 本題滿分 6 分) 設(shè)A為n階非零方陣 , A*是A的伴隨矩陣 , AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣 ,當(dāng) A* AT時(shí), 證明 | A| 0. 十、填空題 (本題共 2 小題,每小題 3 分, 滿分 6 分.) (1) 已 知 A 、

7、 B 兩 個(gè) 事 件 滿 足 條 件 P(AB) P(AB) , 且 P(A) p , 則 P(B) ._ (2) 設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量 X 、 Y 具有同一分布律 ,且 X 的分布律為 X 01 P 11 22 則隨機(jī)變量 Z max X,Y 的分布律為 . 十一、 (本題滿分 6 分 ) 已知隨機(jī)變量 ( X ,Y)服從二維正態(tài)分布 ,且X 和Y分別服從正態(tài)分布 N (1,32 ) 和 1X Y N (0,4 2) , X與Y的相關(guān)系數(shù) XY1,設(shè)Z X Y , 23 2 (1)求Z的數(shù)學(xué)期望 E(Z)和方差 D(Z)； (2)求X 與Z的相關(guān)系數(shù) XZ； (3) 問(wèn) X 與 Z 是否

8、相互獨(dú)立？為什么？ 1994 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析 、填空題 (本題共 5 個(gè)小題,每小題 3分,滿分 15 分.) 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 (1) 【答案】 1 6 【解析】原式變形后為“ 0 ”型的極限未定式 ,又分子分母在點(diǎn) 0處導(dǎo)數(shù)都存 0 在 ,所以連續(xù)應(yīng)用兩次洛必達(dá)法則 ,有 cosx(x sinx) x sin x 原式 lim 2lim cosx lim x 0 xsin 2 xx 0 x 0 1 cosx sin x 1 sinx lim 2 lim.(由重要極限 lim 1) x 0 3x2x 0 6x 6 x 0 x (2) 【答

9、案】 2x y 4 0 解析】所求平面的法向量 n為平行于所給曲面在點(diǎn) (1,2,0) 處法線方向的方 向向量 l ,取 n l ,又平面過(guò)已知點(diǎn) M (1,2,0) . 已知平面的法向量 (A,B,C)和過(guò)已知點(diǎn) (x0,y0,z0) 可唯一確定這個(gè)平面： A(x x0 ) B(y y0) C(z z0) 0. 因點(diǎn) (1,2,0) 在曲面 F(x,y,z) 0上.曲面方程 F (x, y, z) z ez 2xy 3. 曲面在該點(diǎn)的法向量 2y,2x,1 ez4,2,0 2 2,1,0 , (1,2,0) (1,2,0) FFF n , , xyz 故切平面方程為 2(x 1) (y 2)

10、 0,即2x y 4 0. (3)【答案】 2 2 e 解析】由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān) ,為了簡(jiǎn)化運(yùn)算 ,所以本 題可以先求 u ,再求 y u y2 2u x y (2, 1) u xy x x x e cos , y u y 2x e (1 x)cos x) y x (2, 1) x ( 2x xe cos x x 22 x 2 0 2 . e x2 (可邊代值邊計(jì)算 ,這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算量 .) 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù) u (x,y),v (x,y) 都在點(diǎn) (x,y)具有對(duì) x及對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù) ,函數(shù) z f (u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u,v) 具有連續(xù)

11、偏導(dǎo)數(shù) ,則 復(fù)合函數(shù) 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 z f( (x,y), (x,y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 ,且有 v x； v (4)【答案】 解析】 原式 zzuzv xuxvx zzuzv yuyvy 4 1 1 R4( 2 2) 4 a b 很顯然 ,根據(jù)此題的特征用極坐標(biāo)變換來(lái)計(jì)算： 2 2 cos2 f1 ux f2 x f1 u f2 yy 00 22 cos sin 22 ab 2 2 2 2 注意： 0 cos2 d 0 sin2 d , 2sin2 a2sinb2 dr3dr. 0 11 則原式 12 12 a2 b2 (5) 【答案】 3n 1

12、 11 1 1 24R3 212 3 R4 12 12 4 a2 b2 解析】由 于是 , 23 陣3乘3法有1結(jié) 121 1, , 1,2,3 11 1 23 3 ,(是一個(gè)三階矩陣 ) T 1,12,13 是一個(gè)數(shù), 3 T1 )12 ( 3T 212 3 二、選擇題 (本題共 5 個(gè)小題3,每3小題1 2 (1)【答案】 (D) 3 An ( T )( T )( T 3n 1 T3n 1 11T ) T T T T 3 分 ,滿分 15 分.) 解析】對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的積分 ,應(yīng)該關(guān)注被積函數(shù)的奇偶性 . 由對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)積分的性質(zhì) ,被積函數(shù)是奇函數(shù) ,積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

13、稱,則積分為 0,故 M 0,且 由定積分的性質(zhì),如果 在區(qū)間 a,b 上,被積函數(shù) f(x) 0,則 b f (x)dx 0 (a b). a 所以 N 2 02 cos4 xdx 0,P 2 02 cos4 xdx N 0. 因而 P M N ,應(yīng)選 (D). (2)【答案】 (D) 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 【解析】 f (x, y)在點(diǎn)( x0, y0)連續(xù)不能保證 f(x,y)在點(diǎn) (x0, y0)存在偏導(dǎo)數(shù) fx(x0,y0), fy(x0,y0).反之, f (x, y)在點(diǎn)( x0 , y0)存在這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) fx ( x0 , y0), fy (x0, y0

14、)也不能 保證 f(x,y) 在點(diǎn)(x0, y0)連續(xù),因此應(yīng)選(D). 二元函數(shù) f(x,y)在點(diǎn) ( x0 , y0 )處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在和在點(diǎn) (x0,y0)處連續(xù)并沒(méi)有 相關(guān)性. (3) 【答案】 (C) 解析】考查取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù) .因 ( 1)n |an 1 2 1 1 an2 2 n2 n2 1 1 2 1 an2 , 2 n 2n2 (第一個(gè)不等式是由 a 0,b 0,ab 1(a2 b2)得到的.) 1 n 1 n 1 2n n 1 所以1an2 12收斂,由比較判別法 ,得 n 1 2 2n n 1 故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 ,因此選 (C). 2 11 又 an2 收斂,12 收斂

15、,(此為 p級(jí)數(shù)：1p當(dāng) p 1時(shí)收斂；當(dāng) p 1時(shí)發(fā)散.) 收斂. (4) 【答案】 (D) 2 【解析】因?yàn)?1 cosx 1x2 o( x),1 e x x2 o(x), 2 故atanx b(1 cosx) ax (a 0), cln(1 2x) d(1 e x ) 2cx (c 0), 因此,原式左邊 lim ax a 2 原式右邊 , a 4c. x 0 2cx 2c 當(dāng) a 0,c 0 時(shí) ,極限為 0； 當(dāng)a 0,c 0時(shí),極限為 ,均與題設(shè)矛盾 ,應(yīng)選(D). 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】 1.無(wú)窮小的比較： 設(shè)在同一個(gè)極限過(guò)程中 , (x), (x) 為無(wú)窮小且存在極限 lim (x) l

16、. (x) (1) 若l 0,稱 (x), (x) 在該極限過(guò)程中為同階無(wú)窮??； (2) 若 l 1,稱 (x), (x) 在該極 限過(guò) 程中為 等價(jià) 無(wú)窮小,記為 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 (x) (x) ； 3) 若l 0,稱在該極限過(guò)程中 (x) 是 (x) 的高階無(wú)窮小 ,記為 (x) o (x) . 若lim ( x)不存在(不為 ),稱 (x), ( x)不可比較 . 2.無(wú)窮小量的性質(zhì)：當(dāng) x x0時(shí), (x), ( x)為無(wú)窮小 ,則 (x) (x) (x) (x) o( (x) . (5) 【答案】 (C) 【解析】這一類題目應(yīng)當(dāng)用觀察法 .若不易用觀察法時(shí)

17、可轉(zhuǎn)為計(jì)算行列式 (A)：由于 122334410 ,所以(A)線性相關(guān) . (B)：由于 122334410,所以 (B)線性相關(guān) . 對(duì)于(C),實(shí)驗(yàn)幾組數(shù)據(jù)不能得到 0 時(shí) ,應(yīng)立即計(jì)算由 的系數(shù)構(gòu)成的行列式 1 1 0 0 10 11 01 00 2 0, 由行列式不為 0,知道(C)線性無(wú)0關(guān) .0故應(yīng)1選1(C). 當(dāng)然,在處理(C)有困難時(shí) ,也可來(lái)看 (D),由 ( 1 2) ( 2 3) ( 3 4) ( 4 1) 0, 知 (D)線性相關(guān) ,于是用排除法可確定選 (C). 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】 1, 2, , s線性相關(guān)的充分必要條件是存在某 i(i 1,2, ,s) 可 以由

18、1,i 1, i 1, , s線性表出 . 1, 2, , s線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任意一個(gè)i(i 1,2, ,s) 均不能由 1,i 1, i 1, , s線性表出 . 三、 (本題共 3 小題 ,每小題 5 分 ,滿分 15 分.) 2 2 2 1 2 cost2 2t 2 sin t2cost2 2t (1)【解析】 ddyx ddyt ddxt ddxtxyt2t sin t22tt(t 0), dtxt2t sin t 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 同理 yxx (yx)t 1, 2 xt2t sin t 2 代入?yún)?shù)值 t 則 yx t2 , yxx t 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用

19、文檔 1 . 22 1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 :如果 u g(x)在點(diǎn) x可導(dǎo),而 y f(x)在點(diǎn) dy f (u) g (x)或 dy dx dx 2.對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若 F(t) (t u g(x) 可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù) y f g(x) 在點(diǎn) x 可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 dy dy du . du dx f ( x)dx , (t), (t)均一階可導(dǎo) ,則 ) (t) F (t) (t) f (t) (t) f (t) . 111 (2) 【解析】 f (x)ln(1 x) ln(1 x)arctan x x. 442 先求 f (x)的展開(kāi)式.將 f(x)微分后,可得簡(jiǎn)單的展開(kāi)式 ,

20、再積分即得原函數(shù)的 冪級(jí)數(shù)展開(kāi) .所以由 (1 x) 1 x ( 1)x2( 1) ( n 1) xn,( 1 x 1) 2! n! 該級(jí)數(shù)在端點(diǎn) x 1處的收斂性 ,視 而定.特別地 ,當(dāng)1時(shí),有 1 2 3 n n 1xx2x3( 1)n xn , ( 1 x1) 1x 1 1xx2x3xn ,(1 x 1) 1x 1 11 11 11 11 1 得 f (x) 2 1 2 2 1 41 x 41 x 21 x221 x2 21 x2 1 4 1x4n 1x4n(| x| 1), 4n 1 x n 1 4n 1 sin2 2sin cos ,并利用換 (|x| 1). 2 (1 u)(1

21、u)2 du 1 x n 0 n1 積分,由牛頓 -萊布尼茨公式得 x x 4n f(x) f (0) 0 f (x)dx0t4ndt 0 n 1 0 (3)【解析】 方法 1：利用三角函數(shù)的二倍角公式 元積分 ,結(jié)合拆項(xiàng)法求積分 ,得 dx sin2x 2sin x 2sin x(cos x 1) sin xdx dx 2 cosx u 2sin x(cos x 1) 22 ( sin2 x 1 cos2 x) 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 11 2 du ( 2 8 1 u 2 ln |1 u| ln|1 u| (1 u) cosx ln 1 cosx C , 1 cosx

22、1 (1 u) (1 u) 4 (1 u)(1 u) 14 (1 u)(1 u) 8 1 ln 1 8 其中C為任意常數(shù) . 2 2 )du 1 u (1 u)2 C dx 原式 2sin x(cos x 1) 用待定系數(shù)法將被積函數(shù)分解 : 1 2 2sin 2 x(cos x 1) 2 (1 u)(1 u) sin xdx du . 2. 2 (1 u)(1 u)2 BD 2 1 u 1 u2 (1 u)2 (A B)u2 (2A D)u (A B D) AB0 2A D 0 (1 u)(1 u)2 11 A B ,D 42 A1 B 1D 112 1 于是,原式 1 ( 112 2 )d

23、u 1 8 1 u 1 u (1 u)28 1 ln 1 8 四、 ( 本題滿分 6 分) 2 ln 1u ln 1 u 1u C 2 (1 u) cosx ln 1 cosxC. 1 cosx 解析】求第二類曲面積分的基本方法 :套公式將第二類曲面積分化為第一類曲 面積分 ,再化為二重積分 ,或用高斯公式轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的三重積分或簡(jiǎn)單的曲面積 分. 這里曲面塊的個(gè)數(shù)不多 ,積分項(xiàng)也不多 ,某些積分取零值 ,如若 垂直 yOz 平 面,則 Pdydz 0.化為二重積分時(shí)要選擇投影平面 ,注意利用對(duì)稱性與奇偶性 先把積分化簡(jiǎn)后利用高斯公式也很方便的 . 方法 1：注意2z2dx2dy 2 所以Ix

24、2 xSdyy2dzz2 . S x y z 0,(因?yàn)?S關(guān)于 xy 平面對(duì)稱 ,被積函數(shù)關(guān)于 z軸對(duì)稱 ) S由上下底圓及圓柱面組成 .分別記為 S1, S2, S3 .S1,S2與平面 yOz垂直 xdydz y2 z2 s2 x2 xdydz y2 z2 0. 方法 2：換元 cosx u 后,有 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 在S3上將x2 y2 R2代入被積表達(dá)式I s3 Rx2dydzz2 . S3在yz平面上投影區(qū)域?yàn)?Dyz: R y R, R z R,在S3上,xR2 y2 ,S3 關(guān)于 yz平面對(duì)稱,被積函數(shù)對(duì) x為奇函數(shù) ,可以推出 22 R y R 2 2 R I 2 2 2

25、 dydz 2 2 2 0 R2 y2 dy 0 R z 0 0 Dyz 2z R arctan 4 R R 方法 2： S是封閉曲面 ,它圍成的區(qū)域記為,記I 2 2 dV 2 1 2 x R2 z2 R2 z2 2 R (先一后二的求三重積分方法 ) 0 12 2R. dz 22 R2 z2 再用高斯公式得 I 2 R 1 1 2 R 2 2 dz 0 R2 z2 2 其中 D(z) 是圓域： x2 y2 R2 . xdydz S R2 z2 . dVRRdzd2xdy2 R D(z) R2 z2 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域 是由分片光滑的閉曲面 所圍成 ,函 P(x,y,z) 、

26、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則有 PQR dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, z v Pcos Qcos Rcos dS, PQ x xy xRy yz 或 這里 是 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè) ,cos 、cos 、cos 是 在點(diǎn) (x,y,z) 處的法 向量的方向余弦 .上述兩個(gè)公式叫做高斯公式 . 五、 ( 本題滿分 9 分) 【解析】由全微分方程的條件 ,有 2 xy(x y) f (x)y f (x) x2y, yx 即 x2 2xy f (x) f (x) 2xy,亦即 f (x) f(x) x2. y y x2, 因而是初值問(wèn)題的解 ,此方

27、程為常系數(shù)二階線性非齊次方程 ,對(duì) y x 0 0,y x 0 1, 應(yīng)的齊次方程的特征方程為 r 2 1 0 的根為 r1,2 i ,原方程右端 x2 e0 x x2 中的 0,不同于兩個(gè)特征根 ,所以方程有特解形如 Y Ax2 Bx C. 10 代入方程可求得 A 1,B 0,C 2 ,則特解為 x 2. 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 由題給 f (0) 0, f (0) 1,解得 f (x) 2cosx sinx x2 2. f(x) 的解析式代入原方程 ,則有 22 xy 2y (2cos x sin x) ydx x y 2x 2sin x cos x dy 0. 先用

28、湊微分法求左端微分式的原函數(shù)： 1 2 2 1 2 2 ( y dx x dy ) 2(ydx xdy) yd(2sin x cosx) (2sin x cos x) dy 0 , 1 2 2 d( x y 2xy y(cos x 2sin x) 0. 2 其通解為 1x2y2 2xy y (cos x 2sin x) C其中C為任意常數(shù) . 2 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】 1.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè) y*(x) 是二階線性非齊次方 y P(x)y Q(x)y f (x) 的一個(gè)特解 .Y(x) 是與之對(duì)應(yīng)的齊次方程 y P(x)y Q(x)y 0的通解,則 y Y(x) y* (x)是非齊次方程的

29、通解 . 2.二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法： 對(duì)于求解二階常系數(shù)線性齊次方程 的通解 Y ( x) ,可用特征方程法求解：即 y P(x)y Q(x)y 0中的 P(x)、Q(x)均 是常數(shù) ,方程變?yōu)?y py qy 0 .其特征方程寫(xiě)為 r2 pr q 0 ,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解 出兩個(gè)特征根 r1,r2 ； 分三種情況： (1)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 r1,r2 ,則通解為 y C1erx1 C2er2x; (2)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 r1 r2 ,則通解為 y C1 C2x erx1; (3) 一對(duì)共軛復(fù)根 r1,2i ,則通解為 y e x C1cos x C2sin x . 其中 C1,C

30、2 為常數(shù). 3.對(duì)于求解二階線性非齊次方程 y P(x)y Q(x)y f( x)的一個(gè)特解 y*(x) ,可 用待定系數(shù)法 ,有結(jié)論如下： 11 如 果 f ( x) mP ( x)x e 則, 二 階 常 系 數(shù) 線 性 非 齊 次 方 程 具 有 形 如 y* (x) xkQm(x)e x 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 的特解,其中Qm(x)是與 Pm (x)相同次數(shù)的多項(xiàng)式 ,而k按 不是特征方程的根、是 特征方程的單根或是特征方程的重根依次取 0、 1 或 2. 如果 f (x) e xPl(x)cos x Pn(x)sin x ,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方 程 y

31、 p(x)y q(x)y f (x) 的特解可設(shè)為 y* xke x Rm(1) (x)cos x Rm(2) ( x)sin x , 其中 Rm(1)(x)與Rm(2)(x)是 m次多項(xiàng)式 ,m max l,n ,而k按 i (或 i )不是特 征方程的根、或是特征方程的單根依次取為 0 或 1. 六、 ( 本題滿分 8 分) 解析】 ,若能進(jìn)一步確定 lxim0 f (x) 0 表明 x 0 時(shí) f (x) 是比 x 高階的無(wú)窮小 x f(x) 是 x 的 p 階或高于 p 階的無(wú)窮小 , p 1,從而 f (1) 也是 1 的 p 階或高于 p 階 nn 1 的無(wú)窮小 ,這就證明了級(jí)數(shù)f

32、 (1)絕對(duì)收斂 . n 1 n 方法一： 由lxim0 f(x) 0及 f (x)的連續(xù)性得知 f(0) 0,f (0) 0,再由 f(x) 在點(diǎn) x 0的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)以及洛必達(dá)法則 ,lim f(2x)為“ 0”型的極 限未定式 ,又分子分母在點(diǎn) 0 處導(dǎo)數(shù)都存在 ,連續(xù)運(yùn)用兩次洛必達(dá)法則 ,有 f (x) lim 2 x 0 x2 f (x) 1 x2 由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 lim lim x0 f (x) lim x 0 2 2 lim x 0 2x f (0) . f (x) 1f (0) f (1n) n n1 12 1 12 f (0) . 因12 收斂f (

33、1) 收斂,即 f ( 1n)絕對(duì)收斂 . 2n 0 得知 f(0) 0, f (0) 0 ,可用泰勒公式來(lái)實(shí)現(xiàn)估計(jì) . f(x) 在 n 1 n 方法二： 由 lim x0 n1 f (x) x 點(diǎn) x 0 有泰勒公式： 1 2 1 2 f (x) f (0) f (0)x f ( x)x2f ( x)x2(01,x , ) 22 因 f(x)在點(diǎn) x 0的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) , 0,f (x)在x , 有界,即 M 0,有| f (x)| M,x , 12 f(x) 1 f ( x) x2 1Mx2,x , . 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 對(duì)此 0, N,n 1 1

34、 1 1 N 時(shí) ,0f( ) M 2 n 11 2 n2 . 1 1 1 又 12 收斂f (1) 收斂,即 f ( 1 )絕對(duì)收斂 . n 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法： n1 v 設(shè) un 和 vn 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,且 lim vn A, 則 n 1 n 1 當(dāng) 0 A時(shí) , u n 1 n 1 當(dāng) A 0時(shí),若 un收斂,則 vn收斂；若 vn發(fā)散,則 un 發(fā)散； n 1 n 1 n 1 n 1 當(dāng) A時(shí),若 vn 收斂,則 un 收斂；若 un 發(fā)散,則 vn 發(fā)散. n1 n1 n1 n 1 n un n 和 vn 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散； 七、 ( 本題滿分 6 分) 解析】

35、方法 1：用定積分 . 1 設(shè)高度為 z 處的截面 Dz的面積為 S( z) ,則所求體積 V 01S(z)dz. A,B 所在的直線的方向向量為 0 1,1 0,1 0 1,1,1 ,且過(guò) A 點(diǎn), x1z . yz y2 (1 z)2 z2 ,則面積 所以 A,B 所在的直線方程為 x 1 y z 或 1 1 1 截面 Dz是個(gè)圓形 ,其半徑的平方 R2 x2 1 2 2 由此 V (1 z)2 z2dz S(z) R2 (1 z)2 z2 , 1 1 2z 2z2 dz z z 方法 2 ：用三重積分 . 2 1(1 z)2 0 d 0 dz 0 V dV 1 1 2 2 或者 V dV

36、 0 dz d 0 (1 z)2 z2 dz Dz 1 2 1 2z 2z2 dz z z2 2 z3 z z 3 z z22 rdr 3 Dz 八、 ( 本題滿分 8 分) 11 01 【解析】 (1)由已知, ( )的系數(shù)矩陣 ,A 0 1 由于 n r(A) 2,所以解空間的維數(shù)是 2. 13 取x3,x4為自由變量,分別令 x3,x41,0 , 0,1 ,求出Ax 0的解. 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 故 ( ) 的基礎(chǔ)解系可取為 (0,0,1,0),( 1,1,0,1). (2)方程組 ( ) 和( )有非零公共解 . 將( )的通解 x1k2,x2 k1 2k2 , x3 k1 2k2,x4 k2代入方程組 ( ),則有 k2 k1 2k2 0 k1k2. k1 2k2 k2 0 1 2 那么當(dāng) k1 k2 0時(shí),向量 k1(0,1,1,0) k2 ( 1,2, 2,1) k1 (1, 1, 1, 1是) ( ) 與( )的 非零公共解 . 九、 ( 本題滿分 6 分) 【解析】證法一：由于 A* AT,根據(jù) A*的定義有 Aij aij( i,j 1,2,L ,n) ,其中Aij是行列式| A |中aij的代數(shù)余子式 . 由于 A 0,不妨設(shè) aij 0,那么 2 2 2 2 |A| ai1Ai1