三種均勻帶電的圓面中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度賞析

1、三種均勻帶電的圓面中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度賞析兼析三道高考選擇題周林（寧波市鄞州區(qū)正始中學(xué)，浙江 寧波 315131）近幾年高考題中，有些問題的結(jié)論不一定必須通過計(jì)算才能驗(yàn)證，有時(shí)只需通過一定的物理分析就可 以判斷結(jié)論是否正確。因此，不僅要提升物理關(guān)系式的分析鑒別能力，而且更要挖掘出其中蘊(yùn)含的物理思 想和方法。讓學(xué)生知其然還要知其所以然，本文擬用高等數(shù)學(xué)的定積分推導(dǎo)出三種均勻帶電的圓面中心軸 線上的電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式，并分析三道高考選擇題。模型1 :均勻帶電的圓圈中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度如圖1所示，均勻帶電且單位長(zhǎng)度帶電量為 入的一個(gè)半徑為R的圓圈，求其中心軸線上任意一點(diǎn) P（坐 標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度在圓

2、環(huán)上選取長(zhǎng)為 dl的帶電微元圓弧，根據(jù)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度，在點(diǎn) P產(chǎn)生的電場(chǎng)方 向與x軸的夾角為0,沿x軸方向的大小為dE kRdl cos xdl2 2R xxR2k xdl由定積分得k xdlx2R2x2x32 2 R x 22 kR圖1根據(jù)對(duì)稱性和疊加性，2號(hào)決定，大小為 E R2P產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)必沿x軸方向，正負(fù)由均勻帶電圓圈在點(diǎn)kR xx3。若均勻帶電圓圈的電量為q，即q 2 R ，貝U E2 nx 2電荷符R2kqx3。2 nx 2A .B .C.D .A點(diǎn)在O點(diǎn)右側(cè)與O點(diǎn)相距為r（r0），而且電荷均勻分布。兩圓環(huán)的圓心01和02相距為2a，連線的中點(diǎn)為 O,軸線上的A點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度大小

3、 E的表達(dá)式（式中k為靜解析：半徑分別為Rl、R2的兩圓圈在點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)方向必然沿 x軸方向，大小分別為Eikq a rR2i3r 22E2kq a rR22EiE2kq akq aR2iR22點(diǎn)評(píng)：該題利用均勻帶電的兩個(gè)半徑不同的兩圓圈中心軸上某點(diǎn)的電場(chǎng)疊加進(jìn)行求解，上述方法對(duì)學(xué)生來 講有很大難度，巧妙之處在于通過一定的物理分析可以判斷出正確的結(jié)論。用物理思想中的單位法：根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度定義式 E F中場(chǎng)強(qiáng)的單位，采用單位判斷法，滿足條件的答案是 B、D。特殊值法：當(dāng)r=a時(shí), q由對(duì)稱性可知，在右邊圓圈中心02處的合場(chǎng)強(qiáng)為零，即各表達(dá)式中的第二項(xiàng)的值應(yīng)為零，滿足條件的答案是C、D。極值法：當(dāng)

4、Ri、R2T0時(shí)，兩圓圈上的電荷均勻分布且電荷量均為q(q0)，軸線上的A處的合場(chǎng)強(qiáng)不為零，滿足條件的答案是C、D。故選項(xiàng)D正確。(2)兩圓圈帶異種電荷 E Ei E2模型2 :均勻帶電的圓盤中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度 如圖3所示，半徑為 R的均勻帶電圓盤,kq a r3R2i a r 2 2單位面積帶電量為kq a rr22 2R 2 a r 2d,求其中心軸線上任意一點(diǎn) P (坐標(biāo)為X)的電場(chǎng)強(qiáng)度以0為圓心，以r為半徑，在圓環(huán)上選取寬為 dr的帶電微元圓環(huán)，根據(jù)模型1結(jié)論，微元圓環(huán)在點(diǎn) P產(chǎn)生的電場(chǎng)方向必然沿 x軸方向，大小為dE2 rxdrr2x2由定積分得R2 rxdrR2rdrEk03k

5、x0 32 2 -2 2 ;r x 2r x 2Rk xod r22 x2 k 1x312 r2 2x 222 TR x 2圖3討論2 : (1)當(dāng)xR時(shí)，貝U E2 k ，相當(dāng)于無限大均勻帶電平面附近的電場(chǎng)，可看成是均勻電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)垂直于板面，正負(fù)由電荷符號(hào)決定。(2)當(dāng)XR時(shí)，根據(jù)泰勒公式:kx( x1)。得R21R2 x2 ?1 x21R2 x2k R22x2R)，在遠(yuǎn)離帶電圓面處，相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)。若時(shí)，則有E T 0。模型拓展2：無限大均勻帶電平面中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度的電場(chǎng)強(qiáng)度以0為圓心，以r為半徑，在圓環(huán)上選取 模型1結(jié)論，微元圓環(huán)在點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)方向?qū)挒閐r的帶電微元圓環(huán)，根據(jù)必

6、然沿x軸方向大小為圖4如圖4所示，單位面積帶電量為 d的無限大均勻帶電平板，求其中心軸線上任意一點(diǎn)P (坐標(biāo)為x)dE k2r2 rxdr32 2x 2由定積分得2 rxdr32 2x 22 k即與討論模型拓展3：中間挖去一半徑為R的圓盤的無限大均勻帶電平面中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度如圖5所示，單位面積帶電量為b的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為（坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度r為半徑，在圓環(huán)上選取寬為dr的帶電微元圓環(huán)，根據(jù)模型1(1)中的結(jié)論一致。R的圓板，求其中心軸線上任意一點(diǎn) P 以0為圓心，以結(jié)論,微元圓環(huán)在點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)方向必然沿x軸方向，大小為dE2 rxdr3: 2 3x 2由定積分得

7、k2 r2 rxdr3: 2 2x 2例2 :（ 2012年安徽卷）如圖6所示，半徑為r均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為其軸線上任意點(diǎn)P （坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度可以由庫侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理求出:方向沿x軸?，F(xiàn)考慮單位面積帶電量為的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為r的圓板，如圖7所示。則圓孔軸線上任意一點(diǎn) Q （坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度為（）12C. 2 k oxrrD. 2 k o x圖7解析：由模型拓展3結(jié)論可得，選項(xiàng) A正確。點(diǎn)評(píng)：用物理思想中的極值法，當(dāng) rT0時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度恒為定值 E1 2 k0，利用補(bǔ)償法求解:E2E1 E 2 k 02 k 0 12，故選項(xiàng)A正確。有助于

8、提升學(xué)生對(duì)物理關(guān)系式的分析鑒別能力。模型拓展4:兩個(gè)彼此平行且共軸均勻帶電的圓盤中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度如圖8所示，單位面積帶電量分別為 5、b的兩個(gè)彼此平行且共軸的半徑分別為R1和R2的圓盤平面,兩圓的圓心O1和O2相距為I，求其軸線上任意一點(diǎn) P （與O1點(diǎn)相距為X,并在兩圓心之間）的電場(chǎng)強(qiáng)度由模型2結(jié)論和電場(chǎng)疊加原理可得1）兩圓環(huán)帶同種電荷E E1 E2I2 k 1 1（2）兩圓環(huán)帶異種電荷R211x2 22 k 2 1ix1R22l x2 2E EiE22 k 1 11R21 x2 2R22模型3:均勻帶電的圓環(huán)中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度 如圖9所示，單位面積帶電量為 心軸線上任意一點(diǎn) P以0為

9、圓心，以產(chǎn)生的電場(chǎng)方向必然沿b的一個(gè)內(nèi)、（坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度 r為半徑，在圓環(huán)上選取寬為 x軸方向，大小為外半徑分別為 R1和R2的圓環(huán)狀均勻帶電平面，求其中dr的帶電微元圓環(huán)，根據(jù)模型1結(jié)論，微元圓環(huán)在點(diǎn)PdE k 2r2 rxdrx2由定積分得R2R1k2r2 rxdr3x2勺x.R21 x2討論3: （1）當(dāng)xR1時(shí)，則(2)當(dāng)xR2E=0，相當(dāng)于圓環(huán)中心處的場(chǎng)強(qiáng)，根據(jù)對(duì)稱性可得場(chǎng)強(qiáng)為零。1 R22時(shí)，根據(jù)泰勒公式得：E 2 k可2 x21 R212 x2k R22R212x_kq2x(qR22R21）,在遠(yuǎn)離帶電圓環(huán)處，相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)。若例3: （2009年北京卷）帶電量為。取環(huán)

10、面中心0為原點(diǎn)，以垂直于環(huán)面的軸線為 P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為 E。下面給出E的四個(gè)表達(dá)式（式中 可能不會(huì)求解此處的場(chǎng)強(qiáng)E,但是你可以通過一定的物理分析,的判斷，如圖9所示為一個(gè)內(nèi)、外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)狀均勻帶電平面，其單位面積 x軸。設(shè)軸上任意點(diǎn) P到0點(diǎn)的的距離為x, k為靜電力常量），其中只有一個(gè)是合理的。你 對(duì)下列表達(dá)式的合理性做出判斷。根據(jù)你的合理表達(dá)式應(yīng)為（2 k (R1x2R21R2x2R22)xB. E 2 k (1-、x2 R21,1) x.x2R222k (Fr21) xx2 R221D. E 2 k (廠2/ xR21解析： 點(diǎn)評(píng)： 圓盤在中心軸上的電場(chǎng)。上述兩種方法

11、對(duì)學(xué)生來講有很大難度，巧妙之處在于通過一定的物理分析可以判 斷出正確的結(jié)論。用物理思想中的補(bǔ)償法：把帶電圓環(huán)看做從一個(gè)完整的圓盤中挖去一個(gè)較小的圓盤后形 成的，則形成的電場(chǎng)應(yīng)該是這兩個(gè)帶電圓盤各自形成的兩個(gè)電場(chǎng)的差值，滿足條件的答案是A、B。單位法：根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度定義式 E F中場(chǎng)強(qiáng)的單位，采用單位判斷法，滿足q由模型3結(jié)論可得，選項(xiàng)該題也可以根據(jù)兩個(gè)半徑不同的模型2進(jìn)行對(duì)比，利用補(bǔ)償法求解，即半徑大的圓盤減去半徑小的B正確。條件的答案是 B、D。極值法：當(dāng)Rit0時(shí)，對(duì)于選項(xiàng) A而言接得E0,故A項(xiàng)錯(cuò)誤。當(dāng)x 時(shí)，應(yīng)該有0,可知場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)接近零，故 C、D錯(cuò)誤。故選項(xiàng) B正確。模型拓展5:兩個(gè)彼此

12、平行且共軸均勻帶電的圓環(huán)中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度如圖10所示，單位面積帶電量分別為6、(2的兩個(gè)彼此平行且共軸的圓環(huán)平面，左側(cè)圓環(huán)的內(nèi)、外半徑分別為 Ri和R2,右側(cè)圓環(huán)的內(nèi)、外半徑分別為R3和R4，兩圓的圓心 01和02相距為I，求其中心軸線上任意一點(diǎn)P (與Oi點(diǎn)相距為x,并在兩圓心之間)的電場(chǎng)強(qiáng)度由模型3結(jié)論和電場(chǎng)疊加原理可得(1)兩圓環(huán)帶同種電荷E EiE2x.x2R21xI x丨 X 、R222X2R2厶廠R24)(2)兩圓環(huán)帶異種電荷E E1E21R21xx2 R221 x2 2 X R 3I xf 22,x2 R24這三道高考選擇題的解答一改過去傳統(tǒng)教學(xué)中“重結(jié)果，輕過程”的思維方法，貌似復(fù)雜的問題